Axiomatische Ableitung - was beinhaltet die Instanziierung eines Axioms praktisch?

Das macht für mich Sinn: Wenn$p$stimmt dann$p$ist wahr.

Ich erkenne das$\phi\to(\psi\to\phi)$eine Tautologie ist, ist sie technisch für alle zwei Sätze wahr, unabhängig davon, ob sie verwandt sind.

Diese beiden Bemerkungen legen mir nahe, dass Sie sich der Logik aus einer voreingenommenen Perspektive nähern: Es scheint, dass ein Beweis für Sie intuitiv Sinn ergeben muss, um ein Beweis zu sein.

In gewisser Weise ist dies natürlich wünschenswert, da wir Beweise verwenden, um Schlussfolgerungen zu ziehen, die letztendlich für andere Menschen (oder zumindest für andere Mathematiker) sinnvoll sind . Aber formale Logik ist eigentlich weit mehr als das. Es untersucht die Teile von „Sinn machen“, indem es jeglichen Ballast entfernt, der durch unsere Intuition eingeführt wird, und Argumente auf nichts als das Äußerste reduziert.

Lassen Sie uns also zuerst unsere Intuition loswerden und sie später wieder einführen.

Ein logischer Beweis kann als eine Art Rezept angesehen werden. Sie beginnen mit Grundzutaten, bei denen es sich um Axiome und Inferenzregeln handelt , und erfinden dann einen Beweis , indem Sie Axiome instanziieren (dh einen Satz mit der gleichen Struktur wie das Axiom erstellen, obwohl die Variablen ersetzt werden können) und Inferenzregeln anwenden. Und das ist alles . Nichts sagt uns, dass die Axiome oder die Inferenzregeln sinnvoll sein sollten oder dass sie bestimmte Anforderungen erfüllen sollten, die durch unsere Intuition motiviert sind. Ein Beweis ist also in gewisser Weise nichts anderes als die Manipulation von Symbolen, und diesen Symbolen kann für den Beweis jede "Bedeutung" fehlen.

Schauen wir uns Ihren Beweis an.

Schritt eins ist die Annahme$p$, weil unser Ziel die Ableitung ist$p\vdash q\to p$, Deshalb$p$kann als Annahme gewertet werden, da es einer der Ausdrücke vor dem ist$\vdash$Symbol.

Der zweite Schritt besteht darin, eine Instanziierung des Axioms zu erstellen$\phi\to(\psi\to\phi)$, nicht weil dieses Axiom Sinn macht, sondern weil es ein Axiom ist und die Regeln vorschreiben, dass wir immer Axiome instanziieren dürfen. Das Instanziieren von Axiomen bedeutet, dass wir seine Variablen durch alles ersetzen können, was wir wollen, also können wir ersetzen$\phi$mit$p$Und$\psi$mit$q$. Das haben wir also hergeleitet$\vdash p\to (q\to p)$.

Schließlich, da wir beide hergeleitet haben$\vdash p$Und$\vdash p\to(q\to p)$die modus ponens schlussregel sagt uns, dass wir ableiten dürfen$\vdash q\to p$.

Da wir die Dinge genau nach den Regeln gemacht haben (Annahmen annehmen, Axiome instanziieren, Inferenzregeln verwenden), haben wir einen gültigen Beweis erbracht.

Um nun unsere Intuition wieder ins Bild zu bringen, werden die Axiome und Regeln der Aussagenkalküle so gewählt, dass sie auch intuitiv sinnvoll sind. Wir sehen$p\to q$als Symbol für die Bedeutung von "$p$muss stimmen, bzw$q$muss falsch sein". Dies ist die Semantik des Ausdrucks$p\to q$, und tatsächlich ist die Semantik der Axiome und Regeln der Aussagenkalküle für viele Menschen intuitiv sinnvoll.

Beachten Sie, dass dies auch Ihre zweite Frage beantwortet: Es muss kein (kausaler) Zusammenhang zwischen bestehen$p$Und$q$unter dieser Semantik von$p\to q$. Ihre Intuition sollte sein, dass dies für beides steht$p$stimmt, bzw$q$ist falsch .

Sie können vollständig eine Logik erstellen, in der$p\to q$hat eine andere Semantik, z. B. ein wo$p\to q$kann nur gültig sein, wenn$p$Und$q$sind miteinander verwandt. Ein Beispiel für eine solche (Sammlung von) Logik(en) ist die Relevanzlogik . Aber das ist ein anderes System als die klassische Aussagenlogik, die Sie studieren. Es hat unterschiedliche Axiome, unterschiedliche Inferenzregeln und unterschiedliche Semantiken.

Als Beispiel, um Ihre Intuition herauszufordern, könnte ich eine Logik mit den Axiomen definieren:

• $\psi \sim \bigcirc \psi$
• $\bigcirc \psi \sim \triangle \psi$

und die Schlußregel:

• $\phi,\phi\sim \psi\vdash \psi$

Dann könntest du das beweisen$p\vdash \triangle p$. Macht es einen intuitiven Sinn? Nein, weil wir keine Ahnung haben, was diese Symbole bedeuten. Aber können Sie einen gültigen Beweis erstellen? Absolut:

Wir nehmen an$p$, dann können wir nach dem ersten Axiom ableiten$p\sim \bigcirc p$, also nach der Inferenzregel$p,p\sim\bigcirc p\vdash \bigcirc p$. Nun können wir durch das zweite Axiom ableiten$\bigcirc p\sim \triangle p$, da wir also abgeleitet haben$\bigcirc p$Und$\bigcirc p\sim \triangle p$Wir können die Inferenzregel verwenden, um abzuleiten$\triangle p$. Deshalb$p\vdash \triangle p$.

Es gibt immer noch eine Beziehung in die entgegengesetzte Richtung: Wenn Hanks einen Film herausbringt, müssen Vögel erscheinen

Nein, das ist nicht richtig. Du hast:

$q$= Tom Hanks veröffentlicht einen neuen Film

$p$= Ich sehe einen Vogel am Himmel

Das Axiom, das Sie instanziieren, lautet:$p \rightarrow (q \rightarrow p)$.

Das heißt nicht , „wenn Hanks einen Film herausbringt, müssen Vögel auftauchen“. Das wäre$q \rightarrow p$.

Stattdessen haben Sie$p \rightarrow (q \rightarrow p)$, das heißt "Wenn es [bereits] einen Vogel am Himmel gibt, dann wenn Tom Hanks einen Film herausbringt, dann gibt es einen Vogel am Himmel." Das stimmt natürlich.