Aussagenkalkül und intuitionistische Logik

Die Wahrheitstabellensemantik ist eine Besonderheit der klassischen Aussagenlogik. Wenn der Autor also spezifisch wäre, hätte er diesen Qualifizierer hinzugefügt. (Es ist jedoch wahrscheinlich eine gute Faustregel, dass, wenn Sie nur „Aussagenkalkül“ sehen, sie sich in den meisten Kontexten auf die klassische beziehen.)

Während „propositional“ ein Deskriptor ist, der sich hauptsächlich auf die Sprache bezieht (insbesondere das Fehlen von nicht logischen Symbolen außer Satzbuchstaben), haben wir, sobald wir anfangen, über Beweissysteme oder Semantik zu sprechen, eine bestimmte Logik im Sinn: klassisch , intuistionistisch, minimal, modal usw.

In der klassischen Aussagenlogik kann eine semantische Interpretation allgemeiner durch eine Boolesche Algebra bereitgestellt werden, die eine Menge ist$X$mit Konstanten$\top, \bot$, unäre Operation$\lnot$, und binäre Operationen$\wedge, \vee$bestimmte Axiome erfüllen. Die prototypische Boolesche Algebra ist$\{ T, F \}$mit den offensichtlichen Interpretationen.

In der intuitionistischen Aussagenlogik ist die entsprechende Konstruktion eine Heyting-Algebra, die eine Menge ist$X$mit Konstanten$\top, \bot$, und binäre Operationen$\wedge, \vee, \rightarrow$bestimmte Axiome erfüllen. Bei gegebener Heyting-Algebra können wir dann oft definieren$\lnot x := (x \rightarrow \bot)$; In einer allgemeinen Heyting-Algebra werden jedoch einige der Axiome der Booleschen Algebra oder abgeleitete Identitäten wie z$x \vee \lnot x = \top$,$\lnot(\lnot x) = x$, Und$\lnot(x \wedge y) = (\lnot x) \vee (\lnot y)$nicht mehr halten.

Ein interessantes Beispiel für eine Heyting-Algebra, die keine Boolesche Algebra ist, ist if$X$ist die Menge der offenen Teilmengen von$\mathbb{R}$, mit$\top := \mathbb{R}$,$\bot := \emptyset$,$U \wedge V := U \cap V$,$U \vee V := U \cup V$, Und$U \rightarrow V := \operatorname{int}((\mathbb{R} \setminus U) \cup V)$. In dieser Heyting-Algebra zum Beispiel, wenn wir setzen$U := \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, Dann$\lnot U = (U \rightarrow \emptyset) = \operatorname{int}(\{ 0 \}) = \emptyset$, So$U \vee \lnot U = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \neq \top$, Und$\lnot (\lnot U) = \mathbb{R} \ne U$. (Natürlich gibt es nichts Besonderes$\mathbb{R}$In diesem Beispiel funktioniert die gleiche Konstruktion für die offenen Teilmengen eines beliebigen topologischen Raums.)

Falls Sie mit Topologie oder echter Analyse nicht vertraut sind, gibt es auch ein endliches Beispiel, das oft verwendet wird:$X := \{ 0, \frac{1}{2}, 1 \}$;$\top := 1$;$\bot := 0$;$x \vee y := \max(x,y)$;$x \wedge y := \min(x,y)$; Und$x \rightarrow y$ist durch eine Tabelle gegeben. In dieser Heyting-Algebra gilt$\lnot(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} \rightarrow 0) = 0$, So$\frac{1}{2} \vee \lnot(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \ne \top$.

Welchen Autor liest du? Der Autor bezieht sich möglicherweise auf die Semantik im Kontext der Kategorientheorie und der Typentheorie, wo verschiedene Begriffe der Gleichheit in der Typentheorie die gleiche strukturelle Eigenschaft in der Kategorientheorie haben, die verschiedene Begriffe der Semantik sind.