Konsistenz in Hilberts Grundlagen der Geometrie

Nachdem ich den Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy über die Korrespondenz von Hilbert und Frege bezüglich der Grundlagen der Geometrie gelesen habe, bin ich ziemlich verwirrt über eine Behauptung, die von der Autorin des Artikels auf Seite 7 aufgestellt wird. Dort schreibt sie, dass das folgende Paar von Sätzen ist „nachweislich konsistent im Sinne Hilberts“:

  • Punkt B liegt auf einer Linie zwischen den Punkten A und C
  • Punkt B liegt nicht auf einer Linie zwischen den Punkten C und A

Ich hatte noch keine Gelegenheit, Hilberts Originalarbeit zu diesem Thema zu lesen, aber es scheint mir unwahrscheinlich, dass diese beiden Aussagen keinen Widerspruch in seinem formalen System bedeuten würden. Es wäre sehr dankbar, wenn jemand klären könnte, ob ich mich in dieser Hinsicht tatsächlich irre.

Warum sollte dies zu einem Widerspruch führen? Dies sind äquivalente Aussagen in der euklidischen Geometrie (in jeder vernünftigen Hintergrundtheorie, z. B. ZF + C), und Hilberts Arbeit war eine minimalistische Axiomisierung der euklidischen Geometrie ...
@BrevanEllefsen Nun, das ist ein peinlicher Fehler in meinem allerersten Beitrag auf dieser Seite! Die zweite Behauptung war ein falsches Zitat und sollte lauten: „Punkt B liegt nicht auf einer Linie zwischen den Punkten C und A.“ Ich habe die Frage entsprechend bearbeitet. Danke, dass Sie mich darauf aufmerksam gemacht haben.

Antworten (1)

Einer der Kernpunkte der sogenannten Frege-Hilbert-Kontroverse war die von Hilbert verwendete Methode der "alternativen Interpretationen", um Konsistenz- und Unabhängigkeitsergebnisse zu beweisen.

Für Frege hat eine mathematische Theorie eine Bedeutung: die beabsichtigte Interpretation, während für Hilbert ein "formales System" entwickelt werden muss, ohne die beabsichtigte Interpretation zu berücksichtigen.

„Die zentrale Idee der alternativen Interpretation ist, dass für Frege die Frage, ob ein gegebener Gedanke logisch aus einer Sammlung von Gedanken folgt, nicht nur von der formalen Struktur der Sätze, die verwendet werden, um diese Gedanken auszudrücken, sensibel ist, sondern auch von deren Inhalt die einfachen (z. B. geometrischen) Begriffe, die in diesen Sätzen vorkommen.“

Kurz gesagt: Wenn „zwischen“ nicht als zwischen gelesen wird, und es wie auch immer als binäre Relation behandelt wird, können wir ohne weitere Axiome nicht behaupten, dass die Relation symmetrisch ist .

Formal gesehen, R ( A , C , B ) Und ¬ R ( A , C , B ) sind widersprüchlich, während R ( A , C , B ) Und ¬ R ( C , A , B ) sind nicht.

Vielen dank für Ihre Antwort. Was ich verwirrend finde, ist, wie jede Interpretation von „liegt dazwischen“, ob Standard oder Nichtstandard, gleichzeitig Euklids Axiome, wie sie von Hilbert formalisiert wurden, und die beiden Sätze, die ich oben zitiert habe, erfüllen könnte. Ich verstehe das, isoliert betrachtet, R ( A , C , B ) ∧ ¬ R ( C , A , B ) muss nicht widersprüchlich sein; jedoch seit R ( A , C , B ) ∧ R ( C , A , B ) lässt sich vermutlich aus Euklids Axiomen ableiten, wie könnte irgendein Modell der euklidischen Geometrie genügen R ( A , C , B ) ∧ ¬ R ( C , A , B ) ? Hier sehe ich nicht, wie diese beiden Sätze konsistent sind.
@MenanderI - ja, es kann abgeleitet werden; siehe Hilberts Axiome für Geometrie: Ordnung : Die "Symmetrie" ist ein Axiom (II.1).
Was ist mit einer "alternativen Interpretation"? Nicht einfach: ternäre Beziehungen sind nicht üblich ... Aber wir können uns etwas unter "elterlichen Beziehungen" vorstellen: Der Bruder der Frau ist nicht der Bruder des Mannes.
Vielleicht bezog sich der Kommentar des Autors zur Konsistenz auf Beziehungen im Allgemeinen? Dies ist jedoch nicht das, was in dem Artikel rüberkommt. Das R ( A , C , B ) Und ¬ R ( C , A , B ) könnte für eine generische Beziehung konsistent sein R ist nicht dasselbe wie diese, wenn sie konsistent sind R ist die Beziehung, die in Hilberts Axiomatisierung der euklidischen Geometrie erscheint, jedoch letztendlich in einem Modell interpretiert wird. Daher verstehe ich nicht wirklich, wie dies einen grundlegenden Fehler in Hilberts Konsistenzbeweis identifiziert, der im SEP-Artikel behauptet wird.
@MenanderI - warum ein "Fehler in Hilberts Konsistenzbeweis"? Es gibt keine ... Hilberts Ansatz besteht darin, (relative) Konsistenz durch ein Modell zu zeigen: für die euklidische Geometrie ein Modell, das auf reellen Zahlen basiert (analytische Geometrie). Die Technik des "alternativen Modells" wird für die Unabhängigkeit benötigt : Das Beispiel zu nicht-euklidischen Geometrien zeigt, dass das parallele Postulat unabhängig von den übrigen Axiomen von Euklid ist. Natürlich ist die Linie in der nicht-euklidischen Ebene nicht das, was Euklid (und wir) hatten mit "Linie" im Sinn (ist aber dennoch konsistent mit dem, was Euklids andere Axiome und Definitionen über Linien sagen).
Vielleicht habe ich etwas missverstanden, das entweder Hilbert oder Frege (oder beide) tatsächlich geschrieben haben. Von den Zusammenfassungen, die ich gelesen habe, ist der Konsistenzbeweis vollkommen überzeugend und ich persönlich sehe darin keine Mängel. Aber es klingt so, als ob Freges Einwand war, dass der modelltheoretische Konsistenzbeweis illegitim sei, weil Euklids Sätze über „Punkte“ und „Linien“ einerseits und Hilberts Umdeutung dieser in der realen Ebene andererseits das nicht ausdrücken dieselben „Gedanken“, und Konsistenz des einen bedeutet nicht Konsistenz des anderen. Meiner Meinung nach ein zweifelhaftes Argument...
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