Was bedeutet eigentlich die Ableitung?

Da Ihnen „Empfindlichkeit“ am besten gefällt, ist eine Möglichkeit, sich die Ableitung vorzustellen, „wie stark die Funktion ein kleines Intervall dehnt oder schrumpft“. Angenommen, die Ableitung von$f(x)$bei$x=x_0$Ist$1/3$. Wenn Sie ein kleines Intervall nehmen$(x_0-\delta,x_0+\delta)$was Breite hat$2\delta$und füge all diese Werte in die Funktion ein, dann ihr Bild (auf der$y$-Achse) ist ein weiteres kleines Intervall. Die Breite dieses Intervalls beträgt ca$(1/3)2\delta.$Je kleiner das Intervall auf der$x$-Achse, desto enger die Breite des Intervalls auf der$x$-Achse wird genau sein$1/3.$Die Ableitung sagt Ihnen, dass kleine Nachbarschaften von$x_0$um den Faktor schrumpfen$1/3$wenn du sie durchdrückst$f$.

Dies ist eine hervorragende Frage – insbesondere von jemandem, der erst seit ein paar Wochen mit der Infinitesimalrechnung beschäftigt ist.

Differenzierung ist ein Versuch, Dinge zu verstehen, die eine variable Rate ändern. Es beginnt mit der einfachen Idee, die durch die Formel veranschaulicht wird

Wenn Sie sich nicht mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, ist das Problem schwieriger. Ein fallender Stein fällt immer schneller. Der Graph der Abstands-Zeit-Funktion ist eine Kurve, die mit fortschreitender Zeit immer steiler wird. An jedem Punkt sagt Ihnen die Steigung der Tangente, wie schnell der Stein fallen würde, wenn die Schwerkraft plötzlich aufhören würde zu wirken. Die Beschleunigung würde aufhören, aber der Stein würde nicht mitten in der Luft einsinken. Die Abstandsfunktion würde von diesem Punkt an der Tangente folgen.

Das wirft eine Frage auf: Hat der fallende Stein zu einem bestimmten Zeitpunkt überhaupt eine Geschwindigkeit? Das ist Ihre Frage (1) und sie hat die Griechen lange vor dem Rechnen verwirrt. Es ist eines von Zenos Paradoxien.

Die praktische Antwort ist, dass Newton in der Lage sein musste, richtig über die Momentangeschwindigkeit zu urteilen, um seine Physik zu erfinden, also betrachtete er sie als die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein verschwindend kleines Zeitintervall. Er hat nie klargestellt, was "infinitesimal" bedeutet, und seine Zeitgenossen haben ihn dafür kritisiert. Heute vermeiden wir Infinitesimale, indem wir die Momentangeschwindigkeit so definieren , dass sie der Durchschnittsgeschwindigkeit nahe kommt, wenn Sie den Durchschnitt über kleine, aber reale Zeitintervalle berechnen. Das ist die "Grenze des Differenzquotienten" in Ihrem Lehrbuch. (Natürlich verdrängt das nur die philosophische Frage, was "nahezu" und "Grenze" bedeuten. Einige Kurse für Anfänger in Analysis sprechen das an, andere verschieben es auf Kurse für Fortgeschrittene.

Auf einer philosophischeren Ebene ist Kalkül „wirklich“ mehrere Dinge. Stellen Sie sich die Antworten auf "Was sind Zahlen und Arithmetik wirklich?" vor. Nützliche Tools für den Handel. Regeln zum Lösen von Problemen. Ein formales System mit Axiomen und Theoremen. Für manche Leute schöne Muster.

Sie können die gleichen Arten von Antworten für Kalkül geben. Es wurde für die Physik erfunden. Es gibt Regeln für das Erhalten der Antworten. Es hat Definitionen und Theoreme. Es ist wunderschön.

Hier ist eine hilfreiche Sequenz, in der Sie Dinge definieren können (wenn Sie bereits wissen, was Grenzen sind, da der zweite Aufzählungspunkt sie benötigt):

• Für$h\ne0$, eine Sekante von$x=a$Zu$x=a+h$An$y=f(x)$ist die Verbindungsgerade$(a,\,f(a))$Zu$(a+h,\,f(a+h))$. Seine Steigung ist unumstritten.
• Der$h\to0$Grenze des Sekantengradienten ist die Ableitung bei$a$, bezeichnet$f^\prime(a)$, oder$\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=a}$. Wir können dies einmal für jede Auswahl von tun$a$, wodurch eine Funktion erhalten wird, die die Ableitung der ursprünglichen ist. Um ein zweifelsohne bekanntes Beispiel zu nehmen, $$y(x):=x^2\implies\underbrace{\left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=a}=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h}=2a}_{\forall a}\implies\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2x.$$
• Die Tangente an$x=a$ist die Linie durch$(a,\,f(a))$dessen Steigung die Ableitung bei ist$a$.

Lassen Sie uns nun Ihre nummerierten Optionen durchgehen:

1. In der frühen Geschichte der Infinitesimalrechnung tauchte Ihr erster Einwand in einer Differenzierungskritik auf, die den Ausdruck „Geister vergangener Größen“ verwendete. In Bezug auf die obigen Aufzählungspunkte lautet die Antwort, dass die Ableitung eine Grenze von Sekantenableitungen ist, also definieren wir die Tangente in Bezug darauf, anstatt zuerst die Tangente zu berechnen.
2. Diese Tatsache ist eine logische Folge unseres Tangens-Last-Ansatzes, nicht wie wir die Ableitung überhaupt definieren.
3. Wie würden Sie quantifizieren, wie schnell$f$Änderungen bei$a$? Wenn$f$variiert zwischen$x=a$Zu$x=a+h$, wird der Sekantengradient auf den Einwand stoßen, "aber er erfährt keine lineare Änderung zwischen diesen Werten von$x$; die Funktion ist nicht ihre eigene Sekante". Aber wenn die$h\to0$Grenze existiert, wird diese Grenze willkürlich gut angenähert durch Sekantengradienten, wenn$h$ist klein genug. Sonst würden Tachos nicht funktionieren.