Wenn augenblickliche Änderungsraten nicht so streng sind, wie korrekt ist die Verwendung von augenblicklichen Änderungsraten (wie Geschwindigkeit) durch Physiker?

Es ist völlig in Ordnung, bei der Anwendung von Mathematik Intuition zu verwenden - es ist nur so, dass wir in der Mathematik selbst strenge Definitionen wollen, damit wir Dinge tatsächlich beweisen können. Wir suchen nach Definitionen, die unsere Intuition über etwas formalisieren.

Betrachten Sie nur das einfache Beispiel der Bestimmung der Ableitung von$f(x) = x^2$. Mit der "intuitiven Definition" ist nicht wirklich klar, dass dies gleich sein sollte$2x$. Sie könnten sich natürlich ein paar Beispiele ansehen und daraus extrapolieren, dass es wahr sein sollte, aber wie können Sie sich wirklich sicher sein? Im Gegensatz dazu ermöglicht Ihnen die "harte" Definition (die auch als ziemlich intuitiv angesehen werden kann) direkt, die Ableitung zu konstruieren.

Der Ansatz, den Mathematiker oft wählen, besteht darin, ein Konzept zu nehmen, anzugeben, welche Eigenschaften es haben sollte, zu versuchen, diese zu formalisieren und zu sehen, ob das Ergebnis:

• ein Konzept schon gut genug "festnagelt" oder noch zu allgemein ist
• entspricht unserer Intuition.

Also haben wir das mathematische Konzept der Ableitung so definiert, wie wir es getan haben, weil es unserem intuitiven Begriff der Änderungsrate entspricht und daher in Situationen anwendbar sein sollte, in denen das Intuitive gefragt ist.

Bei der Anwendung von Mathematik in Physik, Ingenieurwesen usw. muss man natürlich immer überlegen, ob es sinnvoll ist, ein reales Phänomen über die mathematisch idealisierte Version zu modellieren : Welche Annahmen gehen in eine Ableitung ein? Sind sie mit der realen Welt kompatibel? Sicherlich wird für eine Ableitung ein gewisser Begriff der Stetigkeit benötigt. Ist die reale Welt kontinuierlich? Wir wissen es wirklich nicht, und afaik (kein Physiker) können wir es nie herausfinden. Aus diesem Grund ist Physik mehr als nur das Aufstellen von Theorien – wir müssen auch Experimente durchführen, um zu sehen, ob unsere Theorie bis zu einer akzeptablen Fehlergrenze mit der realen Welt übereinstimmt. Und nach Experimenten zu urteilen und wie erfolgreich wir bei der Modellierung der realen Welt mit Hilfe der Differentialrechnung sind, scheint es, dass es nicht ganz falsch ist, die Intuition hinter Ableitungen in der realen Welt zu nutzen.

1. Ich bin mit der in Ihrer ersten Zeile zitierten Antwort nicht einverstanden: "Momentane Änderungsrate" hat eine formale Bedeutung. Nur weil ein Konzept unter Bezugnahme auf die Details seiner Nachbarschaft definiert wird, heißt das nicht, dass die Idee/das Konzept verschwommen oder informell ist.

   Momentane Änderungsrate $(R)$bei$q$entspricht grob dem Geburtsland $(N)$von$p:$sicher, die Nachbarschaften von$q$Und$p$bestehen unabhängig von$q$Und$p,$Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, dass die Werte von$R$Und$N$bei$q$Und$p,$hängen ab – sind tatsächlich basierend auf – den jeweiligen Nachbarschaften von definiert$q$Und$p.$Die Definitionen von$R$Und$N$sind streng, präzise und eindeutig.

2. Sie stimmen dem für ein Auto zu, das sich konstant bewegt$70\mathrm{km/h}$Geschwindigkeit, seine momentane Geschwindigkeit bei$t=100\mathrm s$streng und genau gleich$70\mathrm{km/h}.$

   Vermutlich stimmen Sie auch zu, dass das Auto, selbst wenn es mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fuhr, weiterhin eine gewisse Momentangeschwindigkeit bei hat$t=100\mathrm s.$

   Wenn ja, lautet Ihre Frage: Ist die Formalisierung der „Momentangeschwindigkeit“ (Änderungsrate, Ableitung) bei der Erfassung der tatsächlichen Momentangeschwindigkeit etwas willkürlich? Ich würde sagen, es trifft wirklich „genau“ zu und spiegelt – auf die Gefahr hin, kreisförmig zu klingen – definitiv die Realität wider.

Ich denke, Sie haben nicht erkannt, dass "Steigung von$f$bei$x$" ist bedeutungslos, bis Sie es definieren, aber wie können Sie es genau definieren ? Das ist das eigentliche Problem.

Sie können auch nicht einfach "Tangente" sagen, denn das tauscht das Problem nur gegen ein schlimmeres Problem aus. Es ist nicht nur schwierig, "Tangente" zu definieren, es scheitert auch in Fällen wie$f : ℝ→ℝ$definiert von$f(0) = 0$Und$f(x) = x^2·\cos(1/x)$für jeden$x∈ℝ_{≠0}$, wenn Sie versuchen, "Tangente" als eine Linie zu definieren, die sich nur einmal in einer kleinen offenen Scheibe um den Punkt herum berührt.

Letztendlich ist eine der besten Möglichkeiten, "Steigung/Steigung von$f$bei$x$" ist über die Standarddefinition. Sie könnten fragen: " Warum diese Definition? “, und die Antwort lautet:

Denn diese Definition gibt schöne Eigenschaften und entspricht sogar der Intuition!

Angenommen, Sie haben einen glatten Hang und kennen zufällig eine Funktion$f$das seine Höhe für jede Koordinate entlang eines geraden Pfads diesen Hügel hinauf erfasst. Dann die strenge Definition von$f'$gibt Ihnen tatsächlich etwas, das mit der intuitiven Vorstellung von Steigung übereinstimmt ! Der Grund dafür ist, dass die Steigung intuitiv „wie schnell sie ansteigt“ ist und Sie sie nicht an einem einzelnen Punkt messen können, aber Sie können sie in der Nähe eines Punkts messen. Wenn Sie auf diesen Punkt am Hang zoomen und es beim Zoomen allmählich immer gerader aussieht, dann ist es dort (streng beweisbar) differenzierbar und zwar$f'$an diesem Punkt ist genau die Steigung der Linie, der Sie sich beim Zoomen nähern.

Ebenso kann die momentane Geschwindigkeit eines Fahrzeugs im wirklichen Leben nicht wirklich gemessen werden, aber was der Tachometer misst, ist, wie viele Umdrehungen sich das Rad in einem kleinen Zeitintervall dreht. In der Tat sollten Sie feststellen, dass der Tacho Ihnen beim schnellen Betätigen des Gaspedals nicht die sich schnell ändernde Geschwindigkeit anzeigt, gerade weil er keine Momentangeschwindigkeit misst und seine zeitliche Auflösung nicht so gut ist. Aber wenn Sie auf einer relativ ruhigen Fahrt reisen, dann stimmt die mathematisch strenge Ableitung genau mit dem überein, was der Tachometer anzeigt, weil jeder kleine Teil des Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms nahezu linear ist.

Es ist nicht so, dass sie nicht rigoros sind, es ist so, dass Bücher über Analysis, wie üblich, nicht unbedingt darauf achten, die relevanten Unterscheidungen zu treffen, um sie vollständig rigoros zu machen. Sie können rigoros gemacht werden.

Eine Sache, die ich argumentieren würde, ist, dass die "momentane Änderungsrate" etwas ist, das als formal äquivalent zu der Ableitung definiert werden kann, sich aber konzeptionell von ihr unterscheidet , wobei die Ableitung allgemeiner ist. Eine Ableitung ist im Fall einer Funktion einer reellen Variablen eine bestimmte Größe, die das lokale Verhalten einer solchen Funktion um einen Eingabepunkt herum charakterisiert und wie sie auf kleine Änderungen in dieser Eingabe reagiert oder besser, wie sich ihre Ausgabe wann unterscheidet Betrachten von Eingabewerten, die sich geringfügig von einer bestimmten Eingabe unterscheiden und mit dem Wert verglichen werden, den sie an dieser bestimmten Eingabe erreichen.

Der Grund, warum ich das sage, ist, dass das Konzept einer "Änderungsrate" implizit einen Zeitfluss voraussetzt und nicht alle Ableitungen Zeit beinhalten.

Die Ableitung von$f$bei$a$ist definiert durch

Wie du bereits weißt.

Aber nun zur momentanen Änderungsrate. Wenn wir diesen Begriff analysieren, möchten wir idealerweise sagen, dass wir, um die Intuition darin streng zu machen, sowohl definieren sollten, was eine „Änderungsrate“ ist, als auch, was es bedeutet, dass diese Rate „sofortig“ ist.

Wie machen wir das? Wenn wir den Begriff weiter analysieren, sehen wir, dass wir „Veränderung“ und „Rate“ definieren müssen. Die Änderung – bevor wir zu „Rate von“ kommen – einer zeitlich variierenden Größe von der Zeit$t_1$zur Zeit$t_2$, als Funktion angegeben$f$der Zeit, wird somit definiert durch

dh Änderung ist nur Subtraktion (Differenz). Die Änderungsrate ist dann das Verhältnis zweier Änderungen (beachten Sie, dass die "Änderung in der Zeit" als Änderung der Identitätsfunktion der Zeit verstanden werden kann, sodass wir keine weitere Definition benötigen):

woraus wir das entnehmen können

Was ist also die momentane Änderungsrate? Logischerweise ist es die Änderungsrate zu einem einzigen Zeitpunkt, dh wann$t_1 = t_2 = t_a$zu einem bestimmten Zeitpunkt$t_a$. Allerdings können wir das mit der obigen Definition nicht erreichen, weil wir einen Division-durch-0-Fehler bekommen. Stattdessen müssen wir eine Grenze verwenden, um sie auszufüllen - insbesondere sollten wir die folgende zweidimensionale Grenze nehmen:

wobei wir nur Punkte berücksichtigen$t_1$Und$t_2$so dass beides$t_1 \le t_a \le t_2$, dh die Wechselintervalle "klammern" unseren gewünschten Punkt ein$t_a$, Und$t_1 \ne t_2$. Dann haben wir

Satz: Wenn das IRoC von$f$besteht bei$a$, dann ist es gleich$f'(a)$.

In der Mathematik werden Definitionen und Systeme nicht einmal geschrieben und zu Ton gebacken.

Stattdessen entwickeln sie sich im Laufe der Zeit. Für Ableitungen können Sie auf Newton und Leibniz zurückgreifen, die Methoden entwickelt haben, um die Steigungen von Gleichungen mit unterschiedlicher Syntax und unterschiedlichen Definitionen zu beschreiben. Nach heutigen Maßstäben waren beide Definitionen nicht "formal".

Im Laufe der Zeit haben sich die Syntax, die wir verwenden, um über Ableitungen zu sprechen, die von uns verwendeten Begriffe und die formalen Definitionen weiterentwickelt.

Die gebräuchlichste formale Definition, die wir für Ableitungen eindimensionaler Funktionen verwenden, ist die auf Epsion-Delta basierende. Es gibt andere, von denen gezeigt werden kann, dass sie die gleichen Ergebnisse bei der Menge gemeinsamer Funktionen liefern, über die wir uns kollektiv und intuitiv einig sind, was "Steigung" bedeutet.

In Grenzfällen können zwei verschiedene Arten, über Derivate zu sprechen, die Dinge unterschiedlich beschreiben; diese Grenzfälle neigen dazu, ziemlich seltsam zu sein.

Und dann gehst du nach oben und fängst an, über Abstraktionen der Ableitung zu sprechen. Was passiert wann statt funktioniert ab$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$, es handelt sich dabei um$\mathbb{Z}$Zu$\mathbb{Z}$oder komplexe Zahlen oder Quaternionen oder Polynome oder Vektoren oder exotischere Gruppenstrukturen oder Lie-Algebren.

In diesen Zusammenhängen finden Sie ableitungsähnliche Strukturen, die auf wichtige Merkmale der Ableitung zurückgehen, sei es „das ist wie eine Steigung“ oder „es hat ähnliche algebraische Eigenschaften wie der Differentialoperator“.

Aber was es zur Ableitung macht, ist, dass wenn Sie eine einigermaßen gut erzogene Zeichnung einer Linie haben, die sich nicht umfaltet, der Wert, den es jedem Punkt entlang der Linie zuweist, die Steigung der Linie ist, die Sie gezeichnet haben. Das ist das Kernkonzept, das die Ableitung von Newton mit modernen Epsilon-Deltas oder infinitesimalbasierten Ableitungsdefinitionen vereint.

Direkt damit zu arbeiten, ist wie Essen zu kochen, wenn Ihre Definition von Essen "Zeug, das Lebewesen essen" ist. Jede technische Definition von Lebensmitteln muss damit im Einklang stehen. Jede gastronomische Definition von Essen muss damit übereinstimmen. Aber das ist keine nützliche Arbeitsdefinition für fast jeden praktischen Zweck.

Wenn morgen jemand eine bessere Definition von Ableitung erfinden und teilen würde, die die Idee der sofortigen Änderungsrate umfasste, sich aber als viel nützlicher herausstellte als die bestehenden, würde ich über einen Zeitraum von Jahrzehnten die aktuelle Epsilon-Delta-basierte Definition erwarten in den Vordergrund treten. Die neue Definition wäre immer noch "das Derivat" (oder würde es schließlich sein), so dass die Aussage, dass die Epsilon-Delta-Definition das ist, was das Derivat "ist", mittel- oder langfristig irreführend ist.