Warum verwendet 3blue1brown das „um einen Punkt“, um eine Ableitung zu beschreiben?

In diesem Artikel (der auch einen Link zur Videoversion des Artikels enthält) beschreibt Grant Sanderson alias 3blue1brown ein Derivat. Er sagt am Ende der Passage mit der Überschrift „Das Paradoxon“ : „Da eine Änderung in einem Augenblick immer noch keinen Sinn macht, sollte man sich, anstatt die Steigung dieser Tangente als eine „augenblickliche Änderungsrate“ zu interpretieren, einen alternativen Begriff ausdenken es als die beste konstante Annäherung für die Änderungsrate um einen Punkt".

Allerdings werde ich des Teufels Advokat sein und ihm nicht zustimmen. Ich habe besonders Probleme mit seiner Verwendung des Wortes "um einen Punkt herum". Ich denke, dass die Steigung der Tangente die Steigung der Kurve an genau diesem Punkt ist, nicht um diesen Punkt herum. Ich werde zwei Zitate für meinen Fall präsentieren:

1. Um mich teilweise aus meiner letzten Frage zu zitieren , lassen Sie uns zwei verschiedene Punkte betrachten$A$&$B$der obigen Grafik. Nun, wenn wir die Steigung der Sekantenlinie finden$AB$, es wird eine Annäherung an die Steigung von sein$A$. Wenn wir einen Punkt auswählen, der näher liegt$A$als$B$,$C$, die Steigung von$AC$wird eine bessere Annäherung an sein$A$s Steigung. Nun, wenn wir wissen, was der Wert ist, dem sich die Steigungen der Sekanten annähern, wenn die Punkte immer näher kommen$A$, werden wir in der Lage sein, die beste Annäherung und die richtigste Antwort auf die Steigung dieses Punktes zu finden: den angenäherten Wert. Es ist die beste Annäherung, weil wir wissen, dass die Annäherungen immer besser werden, je näher die Annäherungen an den angenäherten Wert herankommen, so dass der angenäherte Wert die genaueste Annäherung ist, und es ist die Steigung der Kurve bei genau diesem Wert Punkt , nicht um diesen Punkt herum. Wir können diesen angenäherten Wert berechnen, indem wir die Grenze nehmen:

$f'(x)$ist der Annäherungswert und wird als Ableitung von bezeichnet$f$bei$x$.

2. Um den Kommentar von @Javier zu dieser Frage zu zitieren: „Vielleicht sollten Sie versuchen, Grenzen nicht als Bewegung zu betrachten, denn dann kommen Sie, wie Sie sagen, nie „an“. Stellen Sie sich vielmehr vor, wenn Sie eine Grenze wie die Ableitung sehen, dass es eine gibt eine Zahl, die Sie nicht berechnen können, die Sie aber mit beliebig hoher Genauigkeit approximieren können. Dies ist kein unscharfes Denken, das schummelt, indem es das Konzept der momentanen Änderungsrate umgeht; wenn Sie eine Zahl beliebig gut approximieren können, dann wissen Sie genau , was es ist ist, auch wenn man sie nicht "direkt" berechnen kann. Aus dieser Sicht ist die Grenze kein Prozess, der niemals endet, sondern eine indirekte Art, eine Zahl (ohne Mehrdeutigkeit) anzugeben, die man sonst nicht berechnen könnte .Vielleicht hilft das."

Kurz gesagt, ich denke, eine Ableitung ist die Steigung eines Diagramms / einer Kurve an einem genauen Punkt, nicht in der Nähe dieses Punkts oder um diesen Punkt herum.

Ich denke, die Argumentation von 3blue1brown kann zu Problemen führen. In der Passage mit dem Titel "The Paradox at Time Zero" argumentiert er im Wesentlichen, dass das Auto zum Zeitpunkt Null nicht statisch ist, obwohl uns die Ableitung gibt$0$an diesem Punkt. Er sagt: „Für immer kleinere Zeitsprünge nähert sich dieses Verhältnis der Abstandsänderung zur Zeitänderung an$0$, obwohl es in diesem Fall nie wirklich darauf trifft". Ich würde jedoch argumentieren, dass wir dies sehen können, wenn sich unsere Annäherungen nähern$0$wir werden genauer. Wenn wir uns willkürlich null nähern, werden unsere Näherungen willkürlich genau. Wir können also verstehen, dass der angenäherte Wert die genaueste Annäherung ist, da unsere Annäherungen immer besser werden, je näher wir dem angenäherten Wert kommen. Siehe den Kommentar von @Javier oben.

Fragen:

1. Liege ich richtig oder hat 3blue1brown recht?