Finden der Anzahl der reellen Wurzeln eines Polynoms

Ich möchte die Anzahl der echten Wurzeln von finden F ( T ) = T 4 − 2 T 2 + 4 T + 1 . Als F ( 0 ) = 1 > 0 , F ( − 1 ) = − 4 < 0 Und F ( − 2 ) = 1 > 0 , kann ich sagen, dass es zwei reelle Wurzeln gibt, da das Polynom stetig ist. Für den Rest der Wurzeln (die komplex sind) kann der Satz von Rolle verwendet werden, aber ich konnte keinen Weg finden, dies zu zeigen. Wie kann ich vorgehen?

Wie haben Sie die Möglichkeit von 3 oder mehr echten Wurzeln ausgeschlossen?

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Nun, es gibt keine nicht-negativen Wurzeln als F ( T ) = ( T 2 − 1 ) 2 + 4 T , und die Zeichenregel von Descartes besagt, dass es beides gibt 2 oder keine negativen Wurzeln. Wie Sie beobachtet haben, gibt es tatsächlich zwei negative Wurzeln als F ( − 1 ) = − 4 < 0 , also gibt es keine wirklichen Wurzeln mehr.

Danke schön. Gibt es eine andere Möglichkeit, fortzufahren?
Kann mir keinen einfacheren Weg vorstellen. Es gibt natürlich kompliziertere Möglichkeiten, wie die Überprüfung der Vierteldiskriminante, aber diese scheinen für diesen Fall übertrieben zu sein.

Die Ableitung ist gegeben durch F ' ( T ) = 4 ( T 3 − T + 1 ) also entstehen Wurzeln aus dem kubischen Polynom G ( T ) := T 3 − T + 1 . Ein solches Polynom hat eine schöne Formel für die Diskriminante. Sie sollten in der Lage sein, die Anzahl der reellen Wurzeln der Ableitung zu analysieren. Sie haben herausgefunden, dass es mindestens zwei echte Wurzeln von gibt F aufgrund eines lokalen minimalen Eintauchens unter die X -Achse. Die Informationen über die Ableitung sollten es Ihnen ermöglichen, mehr auf die Form zu schließen F .

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