Was sind eigentlich "sofortige" Änderungsraten?

In der Mathematik gibt es Intuition und Strenge. Sprichwort

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$ ist eine strenge Aussage. Es ist sehr formell. Zu sagen „die Ableitung ist die momentane Änderungsrate“ ist intuitiv. Es hat keinerlei formale Bedeutung. Viele Menschen finden es hilfreich, ihr Bauchgefühl über Derivate zu informieren.

( Bearbeiten Ich sollte die Bedeutung des Bauchgefühls nicht unterschätzen. Sie müssen Ihrem Bauchgefühl vertrauen, wenn Sie jemals harte Dinge beweisen wollen.)

Davon abgesehen gibt es hier keinen Grund, warum Sie es hilfreich finden sollten. Wenn es zu flauschig ist, um für Sie nützlich zu sein, ist das in Ordnung. Aber Sie brauchen eine gewisse Intuition, was Derivate beschreiben sollen. Ich stelle es mir gerne so vor, als ob ich meine Augen so stark zusammengekniffen hätte$f$wurde dann fast irgendwann linear$f$würde aussehen wie$f'$in der Nähe dieses Punktes." Finden Sie etwas, das für Sie funktioniert.

Die Idee dahinter

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ ist die Steigung des Graphen $y=f(x)$.

Vergessen Sie jetzt für einen Moment Ihre momentane Geschwindigkeit und denken Sie an Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit. Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Ich denke, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist

$$\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$$ . Wenn Sie sich das jetzt genau ansehen, ist dies meine Steigung, aber in einem bestimmten Zeitintervall.

Sie könnten sich also fragen, was der Unterschied zwischen Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit ist. Beide sprechen von Intervallen.

Nein, das ist nicht die Idee hier drüben. Wenn es nun ein lineares Diagramm gewesen wäre, wäre es sehr einfach gewesen, Ihre momentane Geschwindigkeit zu berechnen, aber in Ihrem Diagramm ist das nicht der Fall. Hier sehen Sie, dass das Teilchen (oder Objekt) seine Geschwindigkeit in jedem Moment der Zeit ändert und dass es unmöglich wird, damit umzugehen. Um dieses Element des Zweifels zu beseitigen, versuchen wir also, die Grenze zu nehmen und zu versuchen, dem Zeitrahmen nahe zu kommen, und versuchen, die Geschwindigkeit zu finden und sie Momentangeschwindigkeit zu nennen.

Momentane Änderungsrate an einem Punkt, nicht über ein Intervall

Sie können die Änderungsrate ohne Intervall an einem bestimmten Punkt beschreiben . Tatsächlich widerspricht der Versuch, ein Intervall einzubeziehen, sogar ein sehr kleines, dem Konzept. Wenn Sie ein Intervall in die Beschreibung einer Änderungsrate einbeziehen, sprechen Sie von einer durchschnittlichen Änderungsrate. Wenn beispielsweise Personen die Geschwindigkeit (Rate der Positionsänderung) eines Fahrzeugs über ein Intervall von 100 Fuß beschreiben, sprechen Sie normalerweise von der Durchschnittsgeschwindigkeit, vorausgesetzt, sie war nicht über das gesamte Intervall konstant.

Daher ist eine Änderungsrate immer augenblicklich. Sie können jeden Punkt identifizieren , der keine Länge/kein Intervall hat, und sagen, wie hoch die Änderungsrate an diesem Punkt ist. Die momentane Änderungsrate ist analog zu einem Punkt.

Dies hilft auch zu verstehen, warum bestimmte Punkte eine undefinierte Änderungsrate aufweisen und warum das Konzept „immer kleineres Intervall“ etwas irreführend ist.

Wenn Sie versuchen würden, das sehr sehr kleine Intervallkonzept zu verwenden, um die Änderungsrate über Punkt p und Punkt q zu identifizieren , indem Sie einen Punkt direkt links und rechts von p abtasten , um ein Intervall zu definieren, würden Sie eine sehr große Änderung sehen. Vielleicht befindet sich Punkt p bei der x-Koordinate 1,00, und wir definieren ein Intervall von 0,99 bis 1,01 und Beispielwerte von 0,99,2 und 1,01,10. Dies wäre eine Änderungsrate von 400 y pro x . Wenn Sie Ihr Intervall immer kleiner machen, scheint sich Ihre Änderungsrate unendlich zu nähern, was wiederum sehr irreführend ist, da die momentane Änderungsrate bei p undefiniert ist.

Ich versuche nicht, das Intervallkonzept als nutzlos zu missachten, sondern zu betonen, dass sehr kleine Intervalle ein Konzept sind, das nicht rigoros angewendet werden kann . Sie helfen sicherlich dabei, das Konzept einer Ableitung zu verstehen, denn wenn Sie sich vorstellen würden, dass Sie die momentane Änderungsrate an einem bestimmten Punkt nicht kennen, müssten Sie beobachten, wie viel Änderung in einem bestimmten Intervall aufgetreten ist um die Änderungsrate abzuschätzen. Es hilft zu verstehen, wie diese Funktionen "entworfen" wurden.

Es gibt keine beobachtete Veränderung, aber wir kennen die RATE der Veränderung

Nehmen wir zum Beispiel die Momentangeschwindigkeit. Wenn es wirklich augenblicklich ist, gibt es keine Änderung in x (Zeit), da es kein Zeitintervall gibt.

Du liegst absolut richtig! Es gibt keine Positionsänderung, da es kein definiertes Intervall gibt. An einem bestimmten Punkt können wir jedoch immer noch beschreiben, wie hoch die momentane Änderungsrate ist, was eine Art zu sagen ist, wie stark sie sich ändern wird, wennein Intervall definiert wurde. Stellen Sie sich vor, wir frieren ein Bild eines Films ein, in dem Ihnen jemand sagt, dass eine Kugel gerade mit einer Momentangeschwindigkeit von 300 Metern/s aus einem Lauf ausgetreten ist. Das ist nicht schwer zu verstehen, oder? Wenn jemand fragen würde, ohne Rücksicht auf Luftwiderstand und Schwerkraft, wo wird diese Kugel in zwei Sekunden sein? Jetzt haben Sie ein Intervall eingeführt und anhand von zwei Dingen, der Anfangsposition und der momentanen Änderungsrate an dieser Position, können Sie getrost eine Linie entlang der Flugbahn der Kugel ziehen und daraus schließen, dass sie in diesen zwei Sekunden 600 Meter entfernt sein wird. Basierend auf diesen sofortigen Informationen können wir für jedes Intervall modellieren, wie sich die Position dieser Kugel ändern wird. Wir können die Momentangeschwindigkeit nur deshalb über das gesamte Intervall anwenden, weil wir davon ausgegangen sind, dass sie über das Intervall konstant ist.

Der Kalkül kommt uns zu Hilfe, weil wir es oft mit nicht konstanten Änderungsraten zu tun haben. Wir wissen in Wirklichkeit, dass die Kugel aufgrund des Luftwiderstands A() langsamer wird und ihre Flugbahn aufgrund der konstanten Beschleunigung der Schwerkraft G() (was zu einer nicht konstanten Geschwindigkeit führt) ein Bogen anstelle einer geraden Linie ist. Wenn wir Funktionen haben, die den Einfluss von Luftwiderstand und Schwerkraft auf unsere Geschwindigkeit beschreiben, dann können wir die nicht konstanten Momentangeschwindigkeiten über jeden Punkt im gesamten Intervall beschreiben. Da dies momentane Punkte sind und nicht konstant sind, sind sie etwas nutzlos. Wir könnten den Ansatz des "sehr kleinen Intervalls" verwenden, bei dem Positionsänderungen abgetastet werden, um über das gesamte Intervall zu summieren, aber da sich die Geschwindigkeit ständig ändert, würden wir viele Fehler ansammeln. Z.B Wenn die Anfangsgeschwindigkeit 300 m/s beträgt, sich aber nach einer halben Sekunde auf 250 m/s verlangsamt, wie weit hat sich die Kugel dann in einer halben Sekunde bewegt? Sie könnten versuchen, zu mitteln, aber das setzt eine lineare Geschwindigkeitsänderung voraus, was möglicherweise nicht der Fall ist. Nahezu jeder iterative Ansatz, der kleine Intervalle beinhaltet, führt zu Fehlern.Mit Hilfe der Analysis können wir jedoch den Einfluss von A() und G() auf unsere nicht konstante Geschwindigkeit direkt und genau einbeziehen, um die Positionsänderung direkt zu berechnen.

Mehr als nur ein Konzept

Das Konzept des "sehr kleinen Intervalls" ist nicht nur eine Hilfe beim Verständnis von Konzepten, sondern wird auch häufig in Rechenmodellen angewendet, bei denen direkte Methoden nicht durchführbar sind, möglicherweise weil ein Computeralgorithmus keine direkte Methode bestimmen kann. Genau so wird Physik in vielen Computerspielen simuliert. Bei jeder Iteration kann es wissen, dass 0,03 Sekunden vergangen sind, und basierend auf verschiedenen Änderungsraten (normalerweise zuerst basierend auf den einwirkenden Kräften bestimmt) wird es bestimmen, was sich in diesem Intervall geändert hat. In bestimmten Situationen kann dies extrem ungenau sein, aber in anderen Fällen kann es bei ausreichend kleinen Intervallen ausreichend genau sein, um die gewünschten Anforderungen zu erfüllen.

Denken Sie an einen Berg: weit entfernt ist er fast flach; oben ist es steiler.

Wenn Sie fragen " Wie steil ist es dort, wo ich gerade stehe?" , fragen Sie genau das Gleiche wie "Wie groß ist die Änderungsrate meiner Höhe in Bezug auf meine Position hier?"

Ich denke, das sollte ziemlich intuitiv sein; das ist, was sofortige Änderungsrate bedeutet.

(Nebenbemerkung: In diesem Fall können Sie sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen: Nord/Süd und Ost/West. Das bedeutet, dass es für jede dieser Richtungen an jeder möglichen Position auf dem Boden eine separate Höhenänderungsrate gibt . Aber in In Ihrem Fall haben Sie es nur mit der Zeit zu tun , die nur vorwärts/rückwärts gehen kann, und daher müssen Sie sich in jedem Moment nur um eine Zahl kümmern, nicht um zwei.)

Wie in der akzeptierten Antwort angegeben, ist die englischsprachige Erklärung informell und dient nur der Intuition.

Das bedeutet nicht, dass es nicht verfeinert werden könnte.

Wenn man umformuliert

Rate of change applying at a specific instant

dann denke ich, dass dies konsistent ist mit:

1. Eine Änderungsrate, die nur in Intervallen definiert ist
2. Diese Intervalle sind beliebig klein
3. Wir haben einen eindeutigen Wert, der für einen gegebenen Moment sinnvoll ist, vorausgesetzt natürlich, dass die Grenze existiert.

Ich werde Ihre Frage mit einer Frage beantworten.

Du fährst ein Auto. 60 Meilen pro Stunde sind 88 Fuß pro Sekunde (was an und für sich ziemlich cool ist. Sie schauen für eine halbe Sekunde auf einen Text hinunter? Sie haben sich 44 Fuß bewegt.) Wenn ich Sie jetzt frage, wo Sie in einer bestimmten Sekunde waren , Sie hätten überall innerhalb von +/- 44 Fuß sein können. Sie sagen also: "Nach welcher 1/100-Sekunde fragen Sie?" Aber 44 Fuß sind 528 Zoll, also selbst wenn ich Zeit = 6,31 Sekunden nach 2:30 sage, wissen Sie nur innerhalb eines 10-Zoll-Bereichs.

Können Sie mir jemals genau sagen, wo Sie sich befinden, wenn Sie in Bewegung sind?

Die Momentanrate ist ein mathematisches Konzept, aber es sollte für Sie als Steigung einer Tangente verständlich sein.

Die Tangente an die Parabel hat eine Steigung von 2. Obwohl die "Steigung" nur ein Punkt ist.

Ich denke, die Antwort von @ZachStone drückt bereits die Essenz deiner Frage aus.

Ich würde einen physikalischeren/technischeren Standpunkt hinzufügen, weil man die Intuition einbezieht, und in der angewandten Mathematik, wie sie normalerweise im Ingenieurwesen zu finden ist, braucht man viel Intuition.

Betrachten wir als konkretes Beispiel die Geschwindigkeit eines Autos (oder einer beliebigen Punktmasse). Da ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die trivial und sehr verständlich definiert ist als:

$$v_m = \dfrac{\Delta s} {\Delta t}$$

Sie definieren die Momentangeschwindigkeit als Grenze dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen Null geht:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s} {\Delta t}$$

Wenn Sie einen mathematischen Ausdruck für s(t) kennen, können Sie natürlich all Ihre üblichen Berechnungen durchführen, und das ist in Ordnung. Aber was bedeutet diese Grenze in der praktischen Anwendung ? Das heißt, man sucht einen Wert der „Durchschnittsgeschwindigkeit“ über ein „sehr kleines“ Zeitintervall, wobei „sehr klein“ „so klein wie möglich in Bezug auf die Anwendung“ bedeutet. Das bedeutet normalerweise$\Delta t$ist so klein, dass s über dieses Zeitintervall als konstant angesehen werden kann, da der zulässige Messfehler größer ist als die Variation von s über dieses Intervall.

In gewissem Sinne nähern Sie sich Ihrer Bewegung an, während Sie weiterfahren: Sie sagen sich zu jedem Zeitpunkt: "Wenn ich jetzt die Bewegung mit einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit approximieren müsste, welche Geschwindigkeit hätte das Auto?". Die Antwort ist "die momentane Geschwindigkeit" (die, wie ich bereits sagte, ungefähr als Durchschnittsgeschwindigkeit über ein "ausreichend kleines" Zeitintervall berechnet wird).

Ich denke, diese Frage sollte in Meta gehören, da es eine Frage zwischen Finitismus und Platonismus ist, aber ich versuche, Ihnen so gut wie möglich zu antworten:

Die Trennlinie war eine Zahl$\epsilon$klein genug ist, wenn dir jemand eine Nummer gibt$\delta>|x-c|>0$, es existiert$\epsilon>|f(x)-L|$, Wo$c$ist ein Punkt in der Nähe$x$,$L$ist die Grenze. Sie brauchen also nicht zu denken$h$als Intervall, sondern als Zahl.

Im arithmetischen Sinne kann man unendlich viele Terme addieren, wenn sie einer mathematisch konstruierbaren Regel folgen: Die geometrische Reihe ist ein gutes Beispiel. Die Existenz von Integralen ist daher ganz natürlich.

Um Ihre erste Frage philosophisch anzugehen:

Angenommen, es gibt Ereignisse, die sofort eintreten. Wenn sie vorhanden sind, müssen sie beachtet werden. Damit die Beobachtung stattfinden kann, muss Zeit vergehen, sodass wir uns „sofort“ als ein Ereignis vorstellen können, das in der kürzestmöglichen Zeit eintritt, damit das Ereignis tatsächlich eintritt.

Dies wurde in einer anderen Antwort in anderer Form angegeben , aber ich dachte, ich würde es auf eine Weise sagen, die konzeptionell leichter zu verstehen ist:

Die momentane Änderungsrate an jedem Punkt einer Funktion ist die Steigung der Linie, die die Funktion an diesem Punkt tangiert.

Wenn Sie sich eine Linie vorstellen, die zwei Punkte auf einer beliebigen Funktion schneidet, die in einem beliebigen Abstand voneinander entfernt sind, und diese Punkte dann zusammenschieben, werden Sie sehen, dass sich die Steigung der Linie je nach Abstand zwischen ihnen ändert. Wenn die beiden Punkte so nahe beieinander liegen, dass sie eins werden, dann ist die Steigung der Linie gleich der momentanen Änderungsrate dieser Funktion.

Warum sagen wir nicht einfach "ungefähr sofort", um unsere Intuition zu beruhigen, und definieren dann unsere Geschwindigkeit als eine willkürlich nahe Annäherung an eine durchschnittliche?

Nebenbei gesagt, „Nähe“ ist mit so vielen höheren Ebenen der Mathematik verbunden. Daran hängen so viele Dinge. Topologie, Analyse und dergleichen, um sicher zu sein. Als Mathematiker haben wir uns also an die Vorstellung gewöhnt, dass der Grenzwert ein definitiver Wert ist, damit so viele andere Dinge funktionieren.

Ich habe immer im Hinterkopf, dass dieser Nenner NICHT null ist, sondern ihm sehr nahe kommt. Und für mich besteht die Grenze darin, an dieser Nähe festzuhalten und die Idee abzulehnen, dass es tatsächlich Null sein kann – weil es nicht sein kann.

Der Ausdruck$\dfrac{x^3-8}{x-2}$ist bei undefiniert$x = 2$. Wenn$x = 2$du erhältst$\dfrac 0 0$, was undefiniert ist. Angenommen, wir entscheiden uns, den Wert von zu definieren$\dfrac{x^3-8}{x-2}$Wenn$x = 2$. Welche Zahl macht am meisten Sinn und warum? Na gut, wann dann$x \ne 2$wir können vereinfachen

$$\dfrac{x^3-8}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}=x^2 + 2x + 4$$

Und$x^2 + 2x + 4 = 12$Wenn$x = 2$.

Wenn Sie grafisch dargestellt haben$y = \dfrac{x^3-8}{x-2}$Sie würden den Graphen von erhalten$y = x^2 + 2x + 4$. Je nachdem, wie gut Ihre Grafiksoftware ist, kann dies darauf hindeuten, dass etwas nicht stimmt$x = 2$, aber der Punkt$(2, 12)$fehlt eigentlich. Wir nennen solche Punkte "behebbare Diskontinuitäten".

Eine Änderungsrate einer Funktion$f(t)$zwischen einer variablen Zeit$t$und eine feste Zeit$a$sieht aus wie$\dfrac{f(t) - f(a)}{t-a}$und das merkt man, wenn man es zulässt$t=a$, du erhältst$\dfrac 0 0$.

Eine ganze Menge Zeit,$y = \dfrac{f(t) - f(a)}{t-a}$weist eine entfernbare Diskontinuität auf$t = a$. Wenn der fehlende Punkt (a, A) ist, stellt sich heraus, dass dies der Fall ist$\displaystyle lim_{t \to a}\frac{f(t)-f(a)}{t - a} = A$. Die Zahl A heißt „die Ableitung von$f(t)$bei$t = a$“ und es wird beschrieben als „die momentane Änderungsrate von$f(t)$gegenüber$t$bei$t=a$.

Was Calculus in der „realen Welt“ „nützlich“ macht, ist nicht der Formalismus über Grenzen oder Infinitesimale ¹ . Es ist die Tatsache, dass die meisten Funktionen in der "realen Welt" relativ reibungslos und gut funktionieren.

Solche Funktionen verhalten sich linear, wenn Sie "genug" hineinzoomen - sie verhalten sich wie kleine lineare Funktionen (na ja, affine Funktionen - linear mit einem Offset).

Die Ableitung ordnet jedem Punkt im Funktionsbereich (gültige Eingabe) eine lineare Funktion zu. Dies beschreibt die "Steigung" an diesem Punkt.

Wenn Sie "nah genug" an dem Punkt sind, dann ist die lineare Funktion, die Ihnen die Ableitung gibt, eine gute Annäherung an die ursprüngliche Funktion.

Da lineare Funktionen lächerlich einfacher zu handhaben sind als andere Funktionen, erleichtert dies das Verständnis der ursprünglichen Funktion. Selbst wenn wir gezwungen sind, eine unendliche Anzahl solcher linearer Funktionen zu verstehen, um eine einzige nichtlineare Funktion (die Familie der Ableitungen) zu verstehen.

Geht eine Funktion aus$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$, dann haben die linearen Abbildungen eine natürliche Bijektion mit Elementen von$\mathbb{R}$-- Anstatt dass die Ableitung eine Funktion zurückgibt, bezeichnen wir sie als Rückgabe eines einzelnen reellen Werts.

Wenn$f'(x) = g(x)$, dann die affine Abbildung, die approximiert$f$nahe$x_0$Ist$h(x) = f(x_0) + g(x_0)*(x-x_0)$. Das meiste davon ist langweilig, also reden wir einfach darüber$g(x_0)$.

In höheren Dimensionen ist der von "der Ableitung" zurückgegebene Wert eine lineare Funktion höherer Dimension, die durch eine Matrix dargestellt wird.

Diese linearen Funktionen sind "garantiert" "nützlich", wenn Sie nahe genug an dem betreffenden Punkt sind. Wie nahe kann mit der betreffenden Funktion variieren (siehe die Fehlergrenzen für Präfixe der Taylor-Reihe).

Dies ist die "Steigung am Punkt", denn es ist schwer, über das Intervall um den Punkt zu sprechen, an dem es halbwegs anständig ist, aber wir wissen, dass es gut sein wird, wenn wir den Bereich klein genug machen.

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¹ Es gibt mehrere Formulierungen von Kalkülen, die auf Infinitesmiale wirken – die glatte analytische Analyse oder die Nicht-Standard-Analyse .

Darin sprichst du eigentlich von Punkten$x+h$unendlich nahe$x$, und auswerten$\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$. Das Ergebnis ist die Ableitung von$f$.

Das Delta –$h$-- ist kleiner als jede klassische reelle Zahl. In einem Sinn,$x+h$ist „noch bei$x$" (was klassische reelle Zahlen betrifft), aber in der Nicht-Standard-Analyse ist es nicht derselbe Wert.

Unter diesem Formalismus könnte sich "am Punkt" auf "am Punkt und unendlich nahe am Punkt" beziehen.

Um über die augenblickliche Änderungsrate zu sprechen, müssen Sie zunächst eine ausreichend nichttriviale Vorstellung von einem Augenblick haben . Der Hauptpunkt der Differentialrechnung besteht darin, die Idee eines Augenblicks zu konkretisieren, wie man Berechnungen in Augenblicken durchführt und wie man Integrale verwendet, um sie alle zu "addieren".

Genauer gesagt ist die zentrale Idee, dass Sie an einem Punkt Zahlen haben können, die codieren, was in der Nähe dieses Punktes passiert.

Das einfachste Beispiel dafür ist die Bedeutung von Kontinuität: wenn du es weißt$f(a) = b$, dann weißt du das auch$f(c) \approx b$wann immer$c \approx a$. Wenn Sie also mit kontinuierlichen Funktionen arbeiten, bedeutet das Wissen, was an einem bestimmten Punkt passiert, dass Sie auch eine Vorstellung davon haben, was in der Nähe dieses Punkts passiert. Ein weiteres Beispiel für etwas, das Sie wissen, ist das$\lim_{x \to a} f(x) = b$.

Die Ableitung ist ein weiteres Beispiel dafür, und es gibt viele Indizienbeweise , die sie mit einer Änderungsrate in Verbindung bringen. Zum Beispiel:

• Der Mittelwertsatz, die Differentialnäherung und ähnliche Dinge ermöglichen es Ihnen, eine Ableitung zu verwenden, um eine Änderungsrate zu schätzen. z.B $$y - y_0 \approx (x - x_0) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}y}$$
• Ich kann ein Integral verwenden, um die Ableitungen zu "akkumulieren", um eine tatsächliche Änderung zu erzeugen: $$\int_a^b f'(x) \mathrm{d}x = f(b) - f(a)$$
• Wenn Sie den Graphen der Änderungsrate (dh des Differenzenquotienten) einer differenzierbaren Funktion zwischen zeichnen$x_0$Und$x$, gibt es ein Loch, das eigentlich nicht da sein sollte (in einem ganz ähnlichen Sinne, wie man das sagen möchte$t/t = 1$). Die Ableitung ist der Wert, der dieses Loch füllt.
• In vielen Fällen (alle bei entsprechender Behandlung) kann man eine Ableitung formal durch das Verfahren des Niederschreibens berechnen$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$, indem Sie Vereinfachungen vornehmen, um den Nenner aufzuheben, und dann die Substitution vornehmen$x \to x_0$.

Anstatt an der Tatsache festzuhalten, dass Präkalkül-Tools die Idee einer Änderungsrate in der Situation, in der die Ableitung gilt, nicht ausdrücken, sollten Sie stattdessen nachsehen, wie die Methode der Verwendung von Ableitungen es Ihnen ermöglicht, die Idee von zu untersuchen Änderungsraten in Situationen, in denen die Vorkalkül-Tools nicht helfen konnten.

Ich hatte vor langer Zeit gelernt, die Steigungsintuition von Ableitungen zu akzeptieren, als ich zum ersten Mal Analysis lernte. Ich muss es gestehen, ich habe es nie wirklich verstanden, aber da es sich in so vielen verschiedenen Anwendungen (insbesondere in der Physik) als nützlich erwiesen hat, begann ich, diese Interpretation zu akzeptieren, ohne darüber nachdenken zu müssen ab einem bestimmten Punkt.

Als ich mich etwas formaler mit Analysis befasste, gewann ich ein besseres Verständnis des Konzepts von Grenzwerten und Ableitungen als Ganzes. Der Durchbruch kam, als ich verstand, wie Folgen/Reihen von Zahlen und ihre Grenzpunkte funktionieren. Betrachten Sie die folgende unendliche Summe:

$$\begin{equation} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \end{equation}$$

Die 'Grenze' dieser Summe ist gleich$2$. Offensichtlich können Sie nicht unendlich viele Terme hinzufügen, um genau zu erhalten$2$, dennoch sagen wir (und wir sagen dies als richtige mathematische Aussage - nicht als zweideutiger Ausdruck unserer Intuition), dass die Grenze der Folge ist$2$.

Die Idee hinter dem Limit (im Fall von Sequenzen/Reihen) ist, dass Sie, wenn Sie die Sequenz mit immer mehr Begriffen auswerten, immer näher kommen würden$2$. Sie würden nicht "konvergieren".$\textbf{any other number}$außer$2$. Wir nennen$2$ein Grenzpunkt der Folge.

In ähnlicher Weise sagen wir, wenn wir von „Momentankursen“ sprechen, dass wir, wenn wir die Rate mit immer kleineren Intervallen berechnen, immer näher an den Wert herankommen, den wir „Sofortkurs“ nennen. Diesen Wert erreichen wir eigentlich nie, aber wir kommen ihm immer näher.

In gewisser Weise ist es so etwas wie ein „heiliger“ Wert, den Ihr Ausdruck immer anstrebt. Sie können sich dessen nie wirklich sicher sein, selbst wenn Sie das Verhalten des Ausdrucks sehr lange studieren. Als Beispiel könnten Sie schlussfolgern, dass die Sequenz, die ich oben gezeigt habe, eine Grenze von hat$2.000000000001$, indem man einfach den Wert mit immer mehr Termen berechnet. Aber wenn Sie noch weiter gingen, würden Sie feststellen, dass die Summe aus der Ferne ist$2.000000000001$beginnt nach einiger Zeit anzusteigen (angenommen, Sie erreichen den Mittelpunkt von$2.000000000001$Und$2$, die wahre Grenze; Weiter mit der Auswertung der Summe von da an würde Sie näher heranführen$2$, und damit weiter weg von$2.000000000001$).

Sie sehen also, die Sache mit dem Grenzwert eines Ausdrucks ist, dass es keine leichte Aufgabe ist, ihn zu bestimmen, indem man einfach untersucht, wie sich der Ausdruck numerisch verhält (was die intuitive Erklärung von „sofort“ Sie glauben machen könnte). . Deshalb ist die Mathematik der Grenzen so tiefgreifend. Sie können die berechnen$\textbf{exact}$Wert, gegen den der Ausdruck konvergiert, unabhängig von „praktischen Artefakten“ wie der numerischen Genauigkeit. Es ist eigentlich ein ziemlich schwer fassbarer Wert, die Grenze eines Ausdrucks ... aber es hat eine Menge Bedeutung.

Würde man immer weiter in Richtung Limit gehen, würde man sich dem Grenzwert (Grenzpunkt) immer näher kommen, aber nie erreichen. Wenn wir die Rate in immer kürzer werdenden Intervallen messen könnten, würden wir uns dem Momentanwert annähern – aber wir bekommen nie eine exakte Übereinstimmung.