In diesem Artikel (der auch einen Link zur Videoversion des Artikels enthält) beschreibt Grant Sanderson alias 3blue1brown ein Derivat. Er sagt am Ende der Passage mit der Überschrift „Das Paradoxon“ : „Da eine Änderung in einem Augenblick immer noch keinen Sinn macht, sollte man sich, anstatt die Steigung dieser Tangente als eine „augenblickliche Änderungsrate“ zu interpretieren, einen alternativen Begriff ausdenken es als die beste konstante Annäherung für die Änderungsrate um einen Punkt".
Allerdings werde ich des Teufels Advokat sein und ihm nicht zustimmen. Ich habe besonders Probleme mit seiner Verwendung des Wortes "um einen Punkt herum". Ich denke, dass die Steigung der Tangente die Steigung der Kurve an genau diesem Punkt ist, nicht um diesen Punkt herum. Ich werde zwei Zitate für meinen Fall präsentieren:
ist der Annäherungswert und wird als Ableitung von bezeichnet bei .
Kurz gesagt, ich denke, eine Ableitung ist die Steigung eines Diagramms / einer Kurve an einem genauen Punkt, nicht in der Nähe dieses Punkts oder um diesen Punkt herum.
Ich denke, die Argumentation von 3blue1brown kann zu Problemen führen. In der Passage mit dem Titel "The Paradox at Time Zero" argumentiert er im Wesentlichen, dass das Auto zum Zeitpunkt Null nicht statisch ist, obwohl uns die Ableitung gibt an diesem Punkt. Er sagt: „Für immer kleinere Zeitsprünge nähert sich dieses Verhältnis der Abstandsänderung zur Zeitänderung an , obwohl es in diesem Fall nie wirklich darauf trifft". Ich würde jedoch argumentieren, dass wir dies sehen können, wenn sich unsere Annäherungen nähern wir werden genauer. Wenn wir uns willkürlich null nähern, werden unsere Näherungen willkürlich genau. Wir können also verstehen, dass der angenäherte Wert die genaueste Annäherung ist, da unsere Annäherungen immer besser werden, je näher wir dem angenäherten Wert kommen. Siehe den Kommentar von @Javier oben.
Fragen:
Grant Sanderson sagt: „Da Änderungen in einem Augenblick immer noch keinen Sinn machen , anstatt die Steigung dieser Tangentenlinie als „augenblickliche Änderungsrate“ zu interpretieren, besteht eine alternative Vorstellung darin, sie als die beste konstante Annäherung für die Änderungsrate zu betrachten ein Punkt".
Ich habe jedoch Probleme mit seiner Verwendung des Wortes "um einen Punkt". Ich denke, dass die Steigung der Tangente die Steigung der Kurve an genau diesem Punkt ist, nicht um diesen Punkt herum. Ich denke, eine Ableitung ist die Steigung eines Diagramms / einer Kurve an einem genauen Punkt, nicht in der Nähe dieses Punktes oder um diesen Punkt herum. Liege ich richtig oder hat 3blue1brown recht?
Sie haben Recht und stimmen Grant überhaupt nicht zu. Lesen Sie sorgfältig: Zu keinem Zeitpunkt (haha) hat Grant behauptet, dass die Ableitung an einem Punkt die Steigung um den Punkt herum ist.
Der fettgedruckte Teil ist richtig: „ sofortige Änderung “ macht zwar keinen Sinn, aber „ sofortige Änderungsrate “ macht durchaus Sinn. Während die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt ein sinnvolles Konzept ist, ist es nicht sinnvoll, von Änderung zu/über einen Zeitpunkt zu sprechen, da die Änderung über ein Intervall gemessen werden muss, da ein Zeitpunkt infinitesimal/unermesslich klein ist.
(Sie befinden sich in einem Fahrzeug, das sich mit 60 km/h bewegt. Sie erfahren zu keinem Zeitpunkt eine Verschiebung, daher haben Sie keine sofortige Änderung. Ihre sofortige Änderungsrate beträgt jedoch zu jedem Zeitpunkt 60 km/h . )
Grant sagt, dass, obwohl Ableitung „sofortige Änderungsrate“ bedeutet, dies vielleicht nicht die aufschlussreichste Art ist, die Idee zu verstehen; er schlägt vor, dass wir stattdessen über die (mehreren Kopien von) Änderungsraten „um“ den fraglichen Punkt nachdenken und dass die erforderliche Ableitung die „beste“ Tangente ist, die Sie an diesem Punkt finden können (basierend auf diesen mehreren Kopien).
Wenngleich muss bei definiert werden für differenzierbar sein bei Beachten Sie, dass der Differenzquotient ist nur sinnvoll für (dh, ).
Um Blau zu zitieren :
Antwort auf den Kommentar des OP:
"Ihre momentane Änderungsrate beträgt jedoch zu jedem Zeitpunkt 60 km / h." - das kommt meinem Gedankengang näher; Ich denke jedoch, dass Grant Ihnen widersprechen würde; siehe unten: Er stimmt nicht zu, dass die Geschwindigkeit des Autos ist zum Zeitpunkt
Er argumentiert im Wesentlichen, dass das Auto zum Zeitpunkt Null nicht statisch ist, obwohl uns die Ableitung gibt an diesem Punkt.
Ich entnehme Ihren Berichten / Zusammenfassungen, dass Sie Grant falsch interpretieren: Er sagt, dass das Auto nicht statisch ist, ist nicht dasselbe wie er sagt, dass seine Geschwindigkeit ungleich Null ist!
Dave L. Renfro
CyclotomicField
David K
versucht, bestialisch zu sein
David K