Sind Grenzen so unglaublich cool, wie ich sie finde?

Ich habe kürzlich alle Grenzberechnungen durchgeführt, aber ich habe nicht viel über ihre Bedeutung nachgedacht. Ich dachte, okay, es ist vollkommen vernünftig, das zum Beispiel als zu sagen X → 1 , ( X 2 − 1 X − 1 ) → 2 . In jüngerer Zeit habe ich jedoch, glaube ich, entdeckt, dass Grenzen weitaus nützlicher sind. Der angenäherte Wert kann durch die unbestimmte Form selbst ersetzt werden!

Was ist zum Beispiel die Steigung eines Punktes? Antworten: F ( X + 0 ) − F ( X ) 0 = 0 0 . Wir haben eine unbestimmte Form erreicht, na und? Verwenden Sie einfach Grenzen: lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H . Es ist wichtig zu erkennen, dass die Steigung eines Punktes ist F ( X + 0 ) − F ( X ) 0 = 0 0 , und durch Bestimmung der Steigung eines Punktes durch lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H , sagen wir lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H = 0 0 . Der angenäherte Wert kann durch die unbestimmte Form selbst ersetzt werden! ...(ich)

Wenn das der Fall ist, warum definieren wir nicht einfach 0 0 und andere undefinierte/unbestimmte Formen dann? Warum diese "undefinierte" Sache in der Mathematik am Leben erhalten (ich sage nicht, dass wir es tatsächlich tun; ich möchte nur sicher sein, dass meine Argumentation vernünftig ist; deshalb stelle ich diese Frage)? Die Definition lautet etwa so: „Der Wert einer unbestimmten Form, der durch Eingabe eines Werts in eine Funktion gefunden wird, ist der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt.“ … (ii)

Fragen:

  1. Liege ich mit (i) & (ii) richtig? Wenn ich in (i) falsch liege, wie dürfen Mathematiker die Steigung des Punktes als nehmen lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H wann es sein soll F ( X + 0 ) − F ( X ) 0 ?
Das Problem mit 0 / 0 (und ähnliche Situationen) ist, dass Sie finden können F ( X ) → 0 Und G ( X ) → 0 Wo F ( X ) / G ( X ) konvergiert gegen eine beliebige Zahl.
0 0 selbst ist nicht definiert, weil es jede reelle (oder komplexe) Zahl sein könnte, weil X ⋅ 0 = 0 gilt für alle X . In einem Limit nähert sich die Variable dem gegebenen Wert, sie ist niemals der Wert. Trotzdem ist die Grenze, falls vorhanden, exakt und nicht nur eine Annäherung. Bezüglich der Neigung: Wenn H = 0 , haben wir einen einzigen Punkt und keine Steigung.
Kennen Sie die Bedeutung unbestimmter Größen? Wahrscheinlich nicht, da Sie sagen: "Warum definieren wir dann nicht einfach 0/0 und andere undefinierte / unbestimmte Formen?" 0/0 kann in verschiedenen Fällen zu unterschiedlichen Lösungen führen. 0/0 kann alles sein. Haben Sie solche Probleme gelöst, bei denen eine direkte Substitution 0/0-Form ergibt? Haben Sie versucht zu wissen, warum dasselbe 0/0 in verschiedenen Fällen unterschiedliche Lösungen ergibt? Wie kann man 0/0 definieren?
@Prothala Ja, ich verstehe, dass der Wert von 0 0 kann alles sein. Meine Beta-Definition ermöglicht 0 0 irgendetwas sein: "Der Wert einer undefinierten Form, der durch Eingabe eines Werts in eine Funktion gefunden wird, ist der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt."
@tryingtobeastoic Weißt du, dass es einen Unterschied zwischen unbestimmten Mengen und undefinierten Mengen gibt? Es gibt im Grunde 7 Unbestimmte Mengen , während jeder Bruch, bei dem der Nenner ist 0 ist nicht definiert. Ich habe Ihre Frage bearbeitet, um diesen Fehler zu beheben.
Der angenäherte Wert kann durch die unbestimmte Form selbst ersetzt werden! . Ihre diese Aussage scheint falsch zu sein. Betrachten wir das von Ihnen in der Frage erwähnte Beispiel lim X → 1 ( X 2 − 1 X − 1 ) = 2 Hier ist Ihre Aussage, dass der angefahrene Wert das ist 2 kann durch die unbestimmte Form ersetzt werden, die ist 0 / 0 . Glaubst du, dass das überhaupt Sinn macht? Um diese unbestimmten Größen zu vermeiden, haben wir das Konzept der Grenzen eingeführt. Wir können 2 nicht durch 0/0 ersetzen. Das macht alles keinen Sinn, denke ich.
Durch Bestimmung der Steigung eines Punktes durch lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H , sagen wir lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H = 0 0 . Ihre this-Anweisung, die im ersten Beispiel verwendet wird, ist ebenfalls falsch. Wie können wir sagen lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H = 0 0 ? Diese unbestimmten Größen müssen wir durch den Begriff der Grenze vermeiden. Sie können den Grenzwert einer Funktion an einem bestimmten Punkt nicht wirklich vergleichen A mit dem Wert der Funktion at A was gar nicht existiert.

Antworten (1)

wie dürfen Mathematiker die Steigung des Punktes als nehmen lim H → 0 F ( X + H ) − F ( X ) H wann es sein soll F ( X + 0 ) − F ( X ) 0 ?

F ( X + H ) − F ( X ) H , Differenzquotient genannt , ist nur die Steigung einer geraden Linie, die wiederum die vertikale Änderung geteilt durch die horizontale Änderung ist, wenn zwei verschiedene Punkte auf der geraden Linie verglichen werden. Daher, H ist niemals Null; es ist einfach nicht aussagekräftig.

Der Punkt ist folgender: beim Rechnen F ' ( C ) , wir nehmen unendlich viele Steigungen, die um den Bezugspunkt schwenken C ; Dieses „Schwenken“ stabilisiert sich, wenn sich die Vergleichspunkte nähern C ; da sich die Hänge entsprechend stabilisieren, wird der ideale Bestwert zugeordnet F ' ( C ) .

Bitte erläutern Sie die Lösungen aller Fragen, die vom Fragesteller gestellt werden.
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