Den Fundamentalsatz der Analysis in einfachem Englisch verstehen

Der Fundamentalsatz der Analysis (es gibt zwei Teile, aber es scheint, dass Sie sich auf den zweiten Teil konzentrieren) besagt im Wesentlichen, dass wir ein Integral unter Verwendung von Stammfunktionen berechnen können (wie JW Tanner in den Kommentaren sagt). Hier ist der genaue Text des Wikipedia-Artikels:

Die in diesem Artikel besprochenen Integrale werden als bestimmte Integrale bezeichnet. Es ist der fundamentale Satz der Analysis, der die Differenzierung mit dem bestimmten Integral verbindet: wenn$f$ist eine kontinuierliche reellwertige Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall definiert ist$[a, b]$, dann einmal eine Stammfunktion$F$von$f$bekannt ist, das bestimmte Integral von$f$über diesem Intervall ist gegeben durch

$$\int_a^b f(x) \text{ d}x = F(b)-F(a)$$

Ein bestimmtes Integral ist Ihr klassisches „Flächen-unter-dem-Kurven-Integral“. Als die Analysis zum ersten Mal (entdeckt/erfunden?) wurde, wurden das bestimmte und das unbestimmte Integral als völlig getrennt betrachtet. Das unbestimmte Integral findet die Stammfunktion einer Funktion . Im Wesentlichen kehrt dies die Differentiation um. Während die Ableitung von$f(x)=x^2$Ist$f'(x)=2x$, die Stammfunktion von$f'(x)=2x$Ist$f(x)=x^2$. Dies wird symbolisch dargestellt als$\int2x \text{ d}x = x^2$.

Ein bestimmtes Integral ergibt sich jedoch aus der Riemann-Summe. Damit können Sie im Wesentlichen die Fläche unter einer Kurve berechnen. Es wird über ein geschlossenes Intervall definiert , das durch dargestellt wird$a$Und$b$im obigen Integral. Nun, was uns der Fundamental Theorem of Calculus (FTC) zeigt, ist eine Methode zur Berechnung eines bestimmten Integrals. Obwohl Wikipedia sagt, dass die FTC Integration und Differenzierung verbindet (was sie auch tut), ist die wichtigere Idee die Verbindung zwischen unbestimmter und bestimmter Integration . Machen wir ein Beispiel, um dies zu demonstrieren.

Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve $f(x)=2x$ über das Intervall [1,2]

Nun müssen wir dieses Problem zunächst symbolisch darstellen,

$$\int_1^2 2x \text{ d}x$$

Hier kommt die FTC ins Spiel. Das obige Integral ist ein bestimmtes Integral, aber wir müssen die Stammfunktion von kennen$2x$(Denken Sie daran, dass die Stammfunktion das Gegenteil einer Ableitung ist. Die Stammfunktion von$2x$ist die Funktion, deren Ableitung ist$2x$)

Wir können die Stammfunktion symbolisch darstellen,

$$\int 2x \text{ d}x$$

Beachten Sie das Fehlen von Grenzen für das obige Integral. Dies liegt daran, dass es sich um ein unbestimmtes Integral handelt. Wir können mit der Potenzregel lösen

$$\int 2x \text{ d}x = x^2$$

Nun können wir dies durch Differenzieren überprüfen$x^2$unter Verwendung der Potenzregel (für Derivate). Denken Sie daran, die Stammfunktion von$2x$ist die Funktion, deren Ableitung ist$2x$, also die Ableitung von$x^2$sollte sein$2x$. Sie werden feststellen, dass die Ableitung von$x^2$ist in der Tat,$2x$. Daher,$F(x) = x^2$

Jetzt können wir die FTC anwenden

$$\int_1^2 2x \text{ d}x = F(2) - F(1)$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 2^2 - 1^2$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 4 - 1$$ $$\int_1^2 2x \text{ d}x = 3$$

Auf der einfachsten Ebene , aus rein konzeptioneller Sicht, und unter Auslassung aller erforderlichen Bedingungen.

Sei die Fläche unter der Kurve einer Funktion$f$durch den Fixpunkt begrenzt sein$(a,0)$und der Bewegungspunkt$(x,0)$,

$FTC$:

die (augenblickliche) Wachstumsrate dieses Bereichs ist nichts anderes als$f(x)$( der Wert von$f$bei$x$).

Da die Flächenfunktion$A$ist das unbestimmte Integral von$f$(nämlich,$A(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$) und da die (momentane) Änderungsrate der Fläche (per Definition) die Ableitung dieses unbestimmten Integrals ist, gilt:

$FTC :$

$A'(x)=f(x)$.

Wenn Sie nun erklären, was Sie mit diesem Theorem tun können , können Sie vielleicht besser verstehen, was er bedeutet .

Im Klartext kann FTC wie folgt angegeben werden

(1) Sie können die Ableitung einer Funktion indirekt finden, indem Sie die Funktion finden , von der sie ein Integral ist (dh wenn$f_1$ist das Integral von$f_2$, dann die Ableitung von$f_1$ist einfach$f_2$)

(2) Sie können indirekt ein Primitiv einer Funktion finden , indem Sie das Integral dieser Funktion finden ( if$f_1$ist ein unbestimmtes Integral von$f_2$, Dann$f_1$ist ein Primitiv von$f_2$, und deshalb$f_1$ist identisch mit jedem Primitiv$F$von$f_1$, aber für eine Konstante ).

(3) Sie können indirekt das bestimmte Integral einer Funktion finden$f$aus$a$Zu$b$(nämlich die Nummer$\int_{a}^{b}f(x)dx$), indem Sie einfach die Differenz berechnen$F(b)-F(a)$,$F$irgendein Primitiv von sein$f$.

BEARBEITEN :

(1) fügte diesen Punkt hinzu: Funktion F ist identisch mit Funktion A, aber für eine Konstante (dies ist immer der Fall für 2 Grundelemente derselben Funktion).

(2) fügte auch einen dritten Fall hinzu, der die häufigste Aussage der FTC in College Calculus-Büchern ist.

Das sagt nur die FTC

Wenn$f$ist eine im Intervall differenzierbare Funktion$[a,b ]$und wenn seine Ableitung$f '$ist integrierbar bei$[a,b]$Dann haben wir

$$\int_a^bf '(x)dx = \Bigl[ f(x) \Bigr]_a^b=$$ $$f(b)-f(a)$$

Dieser Satz erlaubt es, übliche Integrale zu berechnen und insbesondere durch Teileintegration zu verwenden.

Auf diese Weise können Integrale berechnet werden, indem einfach ein Wert vom anderen subtrahiert wird.

Es besagt, dass die Gesamtänderung einer Funktion (Integral des Differentials der Funktion über ein Intervall) gleich der Differenz der Werte der Funktion an den Endpunkten des Intervalls ist.

Das heißt, gegeben das Integral

$$\int_a^bf'(x)\mathrm dx,$$ seit$f'(x)\mathrm dx$ist das Differential von$f(x),$dann kann das Integral umgeschrieben werden als $$\int_a^b \mathrm d(f(x)),$$ und dies kann berechnet werden, indem die Differenz gebildet wird$f(b)-f(a).$Das ist der fundamentale Satz der Analysis.

Gegeben ein Intervall$[a,b]$und eine Funktion$f: \>[a,b]\to{\mathbb R}$es gibt so etwas wie die "Gesamtwirkung von$f$An$[a,b]$". Diese "Gesamtwirkung" wird als Integral von bezeichnet$f$über$[a,b]$, und wird mit bezeichnet

$$\int_a^b f(x)\>dx\ .$$ Wenn$f(x)>0$An$[a,b]$diese "Gesamtwirkung" wird intuitiv durch den Bereich dazwischen dargestellt$y=0$Und$y=f(x)$über das Intervall$[a,b]$.

Dieses Setup zeigt an, dass wir wollen$\int_a^b f(t)\>dt\geq0$Wenn$f(t)\geq0$, Dann

$$\int_a^b \bigl(\lambda f(t)+\mu g(t)\bigr)\>dt=\lambda \int_a^b f(t)\>dt+\mu\int_a^b g(t)\>dt$$ ebenso gut wie $$\int_a^b f(t)\>dt=\int_a^c f(t)\>dt+\int_c^b f(t)\>dt\qquad(a<c<b)\ .$$ Denkt man über die ganze Situation nach, gelangt man zum Riemann-Integral $$\int_a^b f(t)\>dt=\lim_\ldots\sum_{k=1}^N f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\tag{1}\ ,$$ eine komplizierte Grenze. Natürlich wollen wir dieses Integral in vielen Fällen berechnen. Wenn$f$wird nur numerisch als Datensatz angegeben, den wir dann verwenden können$(1)$für eine numerische Näherung des Integrals.

Aber oft die Funktion$f$wird als analytischer Ausdruck angegeben , und wir hoffen, dass der Wert des Integrals dann auch "analytisch" ausgedrückt werden kann. Hier kommt die FTC ins Spiel. Dieser Satz besagt, dass die obigen Integrale mit den sogenannten Primitives von zusammenhängen$f$. Ein solches Primitiv ist eine Funktion$F$gebunden$f$durch den Zustand$F'=f$. Wenn$f$wird durch einen analytischen Ausdruck in der Variablen angegeben$x$dann ist es oft möglich, einen anderen analytischen Ausdruck zu finden$F(x)$befriedigend$F'(x)\equiv f(x)$, z.B,$\sin'(x)\equiv\cos x$.

Die FTC sagt dann Folgendes: Wenn$F$ist ein Primitiv von$f$gültig über das Intervall$[a,b]$Dann

$$\int_a^b f(t)\>dt=F(b)-F(a)\ .$$ Dieses Theorem ist keine "Umformulierung von Definitionen". Es ist ein Wunder . Es ermöglicht die Berechnung der interessanten Grenze$(1)$durch die Auswertung von$F$-Werte. Aber wir müssen den "analytischen Ausdruck" von kennen$F$Wenn$f$wird als solcher Ausdruck angegeben.

Die FTC sagt, dass Integration und Differentiation umgekehrte Operationen sind. Wenn Sie die richtige Art von Integral differenzieren, erhalten Sie den Integranden zurück. Wenn Sie ein Derivat integrieren, erhalten Sie die ursprüngliche Funktion zurück.

D(I(f)) = f

I(D(f)) = f.