Warum kann der zweite Hauptsatz der Analysis nicht in nur zwei Zeilen bewiesen werden?

Das Problem mit Ihrem Beweis ist die Behauptung

Jetzt$dF$ist nur die kleine Änderung in$F$Und$f(x)dx$stellt den infinitesimalen Bereich dar, der durch die Kurve und die begrenzt wird$x$Achse.

Das ist in der Tat intuitiv klar und ist die Essenz der Idee hinter dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung. Es ist ziemlich genau das, was Leibniz gesagt hat. Es mag im Nachhinein offensichtlich sein, aber es brauchte Leibniz und Newton, um es zu erkennen (obwohl es damals in der mathematischen Luft war).

Das Problem, das einen „Beweis“ nennt, ist die Verwendung des Wortes „infinitesimal“. Was ist eine infinitesimale Zahl? Ohne eine formale Definition ist Ihr Beweis keine.

Mathematiker brauchten mehrere Jahrhunderte, um dies zu klären. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist der lange Beweis mit Grenzwerten von Riemann-Summen, auf den Sie sich beziehen. Eine andere neuere Möglichkeit besteht darin, die Idee einer infinitesimalen Zahl streng genug zu machen, um Ihr Argument zu rechtfertigen. Das geht, ist aber nicht einfach.

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Bearbeiten Sie als Antwort auf diesen neuen Teil der Frage:

Außerdem machen wir so etwas ständig in der Physik.

Natürlich. Wir tun es auch in der Mathematik, weil es bei Bedarf in eine strenge Argumentation umgewandelt werden kann. Mit diesem Wissen müssen wir dieses Argument nicht jedes Mal aufschreiben und können uns auf unsere geschulte Intuition verlassen. Tatsächlich können Sie diese Intuition sicher nutzen, selbst wenn Sie persönlich nicht wissen oder verstehen, wie man sie formalisiert.

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Variationen zu Ihrer Frage kommen auf dieser Seite häufig vor. Hier sind einige verwandte Fragen und Antworten.

• Die nützlichste Heuristik?

• Was ist$dx$bei der Integration?

• Was ist die Logik hinter der Zerlegung eines abgeleiteten Operatorsymbols? In der Bevölkerungswachstumsgleichung?

• Was bedeutet die Ableitung der Fläche nach der Länge?

• Gibt es Konzepte in der Nichtstandardanalyse, die für einen einführenden Analysisstudenten nützlich sind?

• Das Problem der Momentangeschwindigkeit

• Strenge Definition von "Differenzial"

• Ist$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$kein Verhältnis?

Viele Antworten hier scheinen darauf hinzudeuten, dass Ihrer Argumentation lediglich eine strenge Theorie der Infinitesimalzahlen fehlt.

Nein. Ihr Argument ist einfach falsch, unabhängig davon, ob es eine klare Bedeutung von Infinitesimalen gibt. Beachten Sie, dass Ihr Argument die Bedingung that nicht verwendet$f$ist stetig (also integrierbar). Es gibt jedoch Beispiele für$F$deren Derivate$f$sind nicht integrierbar (siehe zum Beispiel diesen Thread ).

Lassen Sie mich Ihre Zeile "Beide Seiten multiplizieren mit" übersetzen$dx$, wir erhalten$dF=f(x)dx$." in das, was Sie, streng interpretiert, sagten:

„Vorgeben, dass die Symbole$\mathrm{d}x$Und$\mathrm{d}F$außerhalb des Symbols existieren$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$, was nicht gerechtfertigt ist, können wir beide Seiten mit multiplizieren$\mathrm{d}x$, erhalten

$$0 = \mathrm{d}F = f(x) \mathrm{d}x = 0 \text{,}$$ was zwar wahr ist, aber alle Informationen in unserer Gleichung zerstört hat."

Warum ist das? Weil$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$definiert ist

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{(x+h) - x} \text{.}$$ Unter der Annahme, dass diese Grenze existiert (was Sie glücklicherweise behauptet haben), könnten wir versuchen, Grenzwertgesetze anzuwenden, um sie zu erhalten $$\frac{\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x)}{\lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x} \text{.}$$ Dies ergibt jedoch einen Nenner von $0$, ist also nach den Grenzwertgesetzen unzulässig. (Tatsächlich gibt es $0/0$, was darauf hindeutet, dass man vorsichtiger sein sollte, wenn man erklärt, wie man sich an dieses Verhältnis heranschleicht.) Da Sie dieses Problem ignorieren, haben Sie beide Seiten Ihrer Gleichung mit multipliziert $\mathrm{d}x = \lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x = 0$. Glücklicherweise ist Ihre verbleibende linke Seite $\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x) = 0$. So kommen Sie zur wahren Gleichung $0=0$, aber das ist völlig uninformativ. Es sind keine Infinitesimale (was auch immer das sein mag) übrig.

Als Antwort auf die allgemeine Antwort von OP:

Ein Integral ist ein Grenzwert von Summen nicht unendlich kleiner Größen. Ein Integral kann nicht die Summe von Infinitesimalen sein, weil die Summe beliebig vieler Nullen, sogar unendlich vieler Nullen, Null ist. Dies ist recht einfach zu sehen, wenn man die (ordinal indizierte) Folge von Partialsummen betrachtet, die immer Null sind.

Die Ableitung ist eine unbestimmte Form des Typs "$0/0$". Das Integral ist eine unbestimmte Form vom Typ "$\infty \cdot 0$". Wie ich oben anmerke, müssen wir vorsichtig sein, wie wir uns an solche Formulare anschleichen, um Absurditäten zu vermeiden.

Versuche, Infinitesimale rigoros zu verwenden, schlugen fehl. (Aus dem Artikel „Continuity and Infinitesimals“ der Stanford Encyclopedia of Philosophy)

So nützlich es in der Praxis auch gewesen sein mag, das Konzept des Infinitesimal konnte einer logischen Überprüfung kaum standhalten. Im 18. Jahrhundert von Berkeley als „Geister verstorbener Größen“ verspottet, im 19. Jahrhundert von Cantor als „Cholera-Bazillen“ verflucht, die die Mathematik infizieren, und im 20. Jahrhundert von Bertrand Russell rundweg als „unnötig, fehlerhaft und widersprüchlich“ verurteilt ”

Sie stellen fest, dass man anscheinend eine andere Form der Mathematik lernen muss, bevor man sich an Ableitungen und Integrale versucht. Ich stimme zu. Um Grenzwerte von Differenzenquotienten (Ableitungen) und Grenzwerte von Riemann-Summen (Integrale) rigoros zu berechnen, sollte man zuerst lernen, die Grenzwerte einfacher Folgen zu finden. Aber es gibt ein Bootstrapping-Problem. Infolgedessen lehren wir in der Praxis, was man naives Differenzieren und Integrieren in Calculus I/II/III nennen könnte, und rigoroses Differenzieren und Integrieren in einem Kurs mit einem Namen wie Advanced Calculus. Die Rezepte zur Differenzierung der üblichen Funktionen (Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentiale und Logarithmen) sind einfach genug, um sie früh zu lehren. Aber es gibt eine volle$\epsilon$-$\delta$Behandlung von Nutzen für diejenigen, die mit Funktionen konfrontiert sind, die nicht in diesem Korb liegen.

Im 20. Jahrhundert gab es einige Fortschritte darin, Infinitesimalwerte rigoros zu machen. Nützliche Artikel sind Nicht-Standard-Analysen und duale Zahlen . (Nebenbei: Die ersten Worte des Nicht-Standard-Analyse-Artikels sind

Die Geschichte der Infinitesimalrechnung ist voller philosophischer Debatten über die Bedeutung und logische Gültigkeit von Fluxionen oder unendlich kleinen Zahlen. Der Standardweg, um diese Debatten zu lösen, besteht darin, die Rechenoperationen mit Epsilon-Delta-Verfahren anstelle von Infinitesimal zu definieren.

Da man Mathematik ausgehend von selbstverständlichen Wahrheiten durchführen möchte, lehnt man Objekte mit umstrittener Bedeutung oder fragwürdiger logischer Gültigkeit ab.) Es gibt Kritik an der Nichtstandardanalyse . Obwohl ich weiß, dass duale Zahlen zur automatischen Differentiation verwendet werden können, habe ich nie einen Versuch gesehen, sie als Infinitesimale in einer Integrationstheorie zu verwenden.

Außerdem machen wir so etwas ständig in der Physik.

Dies ist eine eigene kurze, leicht philosophische Antwort wert.

Es lohnt sich zu verstehen, wie sich Physik und Mathematik an solchen handwelligen Grenzen verhalten. In der Physik macht man solche Schritte im Wissen, dass man sich irren könnte . Dann suchen Sie gleichzeitig nach Experimenten, um die Berechnung zu untermauern, und nach mathematischen Beweisen. Und in den Fällen, in denen Sie eine experimentelle Rechtfertigung finden, aber keinen mathematischen Beweis, verwenden mathematische Physiker Ihr Experiment als Ausgangspunkt, um nach mathematischen Beweisen zu suchen.

Die Verwendung des Wortes „infinitesimal“ ist ein einzigartiger Punkt, an dem „Slop“ auf „Strenge“ trifft, und hat eine enorme Geschichte hinter sich. Die sehr kurze Geschichte ist, dass Intuition zwar häufig zu korrekten Ergebnissen in zweizeiligen Beweisen führt , aber manchmal zu offensichtlich oder subtil falschen Beweisen . Mathematiker um Leibniz lösten diesen Konflikt mit voller Strenge.

In Ihrem Fall ist es wirklich nur die Tatsache, dass die mathematische Theorie so gut verstanden wird, dass der Physiker schlampig sein und sich nicht klüger zurückziehen kann. Aber auch Physiker verwenden Experimente, um ihre Ergebnisse zu rechtfertigen, und ihre Ergebnisse werden von Mathematikern, die an rigorosen Argumenten interessiert sind, gut unterstützt. Es ist am besten, mit solchen Abkürzungen nicht zu arrogant zu sein, wenn sie aufgrund einer Kombination aus experimentellen Beweisen, der Arbeit anderer streng getriebener Wissenschaftler in Vergangenheit und Gegenwart und einer gewissen Toleranz für die Möglichkeit, sich zu irren, funktionieren.

Und wenn es so einfach ist, was ist so grundlegend daran?

Ein Grund, warum dieses Theorem genau deshalb als "fundamental" bezeichnet werden kann, weil es das grundlegende Werkzeug ist, mit dem wir informelle Argumente wie das Ihre in präzise festgestellte Tatsachen umwandeln können.

(übrigens,$\int_a^b f$Und$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$sind beides vernünftige Notationen, aber$\int_a^b f(x)$ist sehr viel nicht )

Seit$F$ist eine Stammfunktion von$f$, wir haben$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$. Beide Seiten multiplizieren mit$dx$, wir erhalten$dF(x) = f(x)dx$. Jetzt$dF(x)$ist nur die kleine Änderung in$F(x)$Und$f(x)dx$stellt den infinitesimalen Bereich dar, der durch die Kurve und die begrenzt wird$x$Achse. Wenn wir also beide Seiten integrieren, kommen wir zum gewünschten Ergebnis.

(Hinweis: Ich habe grammatikalische Korrekturen an der Mathematik in diesem Zitat vorgenommen

Sicher, aber du stellst die Frage. - Sie verwenden den Fundamentalsatz der Analysis, um zu sagen "Integrieren".$\mathrm{d}F(x)$über ein Intervall gibt Ihnen die Änderung in$F(x)$“, also ist es kein sehr guter Beweis des Theorems.

So würde ein Calc-II-Student dies in eine rigorose Argumentation übersetzen

• Ersetzen$u = F(x)$gibt$\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$
• Die Anwendung des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung sagt uns$\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = F(b) - F(a)$

Ihre Argumentation hat die weitere Komplikation, in Bezug auf Differentiale zu arbeiten – was zwar eine großartige Sache ist, aber Sie an diesem Punkt Ihrer Ausbildung wahrscheinlich nicht wirklich wissen, was das ist, obwohl Sie sie genug verwendet gesehen haben, um sie nachahmen zu können die Argumente, die die Leute mit ihnen machen. Die „unendliche Veränderung in$x$„Heuristik ist eine Analogie und hält nicht wirklich stand, wenn man gestresst ist.

Verstehen Sie mich nicht falsch – meiner Meinung nach sind Differentiale großartige Dinge, und mehr Kalkül sollte in Bezug auf sie formuliert werden.

Dieser Ansatz wird jedoch im Allgemeinen nicht gelehrt, vermutlich, da er die zusätzliche Komplikation mit sich bringt, tatsächlich lernen zu müssen, was Differentiale sind, und die Arbeit mit den verschiedenen Ableitungs- und Integralregeln für die meisten Zwecke ein vollkommen guter Ersatz ist.

Wenn es Ihnen gelingt, eine genaue mathematische Bedeutung zu geben$\Bbb d x$und auf die Multiplikation einer Funktion damit, dann ist Ihr Beweis in der Tat richtig. Aber welche Bedeutung gibst du diesen? Tatsächlich nimmt die gesamte Theorie, die dazu erforderlich ist, Dutzende von Seiten in Anspruch, und da sich Ihr Beweis auf sie stützen würde, bedeutet dies, dass es nicht nur ein Einzeiler wäre.

Der nächste Teil wäre, die Behauptung formal zu rechtfertigen$f(x) \Bbb d x$ist nur ein "unendlich kleiner Bereich" (was könnte das bedeuten?).

Es gibt mehrere Stellen in Ihrem Beweis, an denen Sie Näherungen machen.

Beide Seiten multiplizieren mit$dx$, (…)

Die Regeln der Multiplikation gelten für Zahlen, aber$dx$ist keine Zahl. Wenn$dx$war damals eine Zahl ungleich Null$\dfrac{\cdot}{dx} dx$würde stornieren, aber funktioniert das für$dx$?

$f(x)dx$stellt den infinitesimalen Bereich dar, der durch die Kurve und die begrenzt wird$x$Achse.

$f(x) dx$ist die Fläche eines Rechtecks ​​der Höhe$f(x)$und Breite$dx$. Der Bereich zwischen der$x$Achse und die Kurve ist kein Rechteck (es sei denn$f$ist konstant um$x$). Warum sollte das Summieren ungefährer Flächen am Ende das richtige Ergebnis liefern und nicht eine Annäherung, die gut sein kann oder nicht?

Also beide Seiten integrieren, (…)

Das ist eine unendliche Summe. Funktionieren die Regeln der endlichen Summen für unendliche Summen?

Alle diese Näherungen funktionieren, vorausgesetzt, dass die Funktion einigermaßen regulär ist. Nun, deshalb hat das Theorem einige Hypothesen – “$f$stetig ist und eine Ableitung von ist$F$“ ist eine hinreichende Bedingung für „ziemlich regelmäßig“.

Der klassische Beweis des Theorems, den Sie in Ihrem Buch und auf Wikipedia und anderswo gelesen haben, folgt demselben Weg wie Ihrer, aber es braucht Zeit, um alle Annäherungen zu rechtfertigen:

• Anstatt über „infinitesimal“ nachzudenken$dx$, argumentiert es über reelle Zahlen. Die Intuition der Infinitesimalzahlen ergibt sich aus Zahlen, die gegen Null streben.
• Es überprüft, ob es eine Möglichkeit gibt, die Fläche unter der Kurve mit der Fläche eines Rechtecks ​​der Breite gleichzusetzen$dx$.
• Es gibt eine genaue Vorstellung davon, wie diese sehr kleinen Zahlen summiert werden, und rechtfertigt die Idee einer unendlichen Summe, indem es zeigt, dass es keine Rolle spielt, wie das Intervall in kleine Scheiben aufgeteilt wird.

(Es ist auch möglich, formal mit infinitesimal zu argumentieren , und dann ist weniger Arbeit erforderlich, damit jeder dieser Schritte funktioniert, aber es ist mehr Arbeit erforderlich, um die Gründe am Anfang vorzubereiten.)

Physiker machen ständig Näherungen, aber sie müssen diese Näherungen rechtfertigen, entweder durch mathematische Argumente („Dies ist der Effekt erster Ordnung, also gilt er für kleine Mengen“) oder durch experimentelle Argumente (führen Sie die ungefähre Berechnung durch, messen Sie die Realität und überprüfen Sie, ob sie einverstanden sind). Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wann Annäherungen gerechtfertigt sind, müssen Sie ein gewisses physikalisches Gespür für das Phänomen haben, das durch die Gleichungen modelliert wird. Physiker wissen insbesondere, dass alle Funktionen unendlich regelmäßig sind – außer wenn sie es nicht sind, und das nennt man Singularität.

Singularitäten sind genau dort, wo der Fundamentalsatz der Analysis versagt! Intuitiv gesprochen ist die Regularitätshypothese „keine Singularität“. (Es ist auch möglich, es mit Singularitäten zum Laufen zu bringen, aber dann$f$ist keine Funktion mehr, sondern eine Verteilung .)

Betrachten Sie zum Beispiel die Dirac-Delta-Funktion . Das ist$F(x) = 0$für$x \lt 0$,$F(x) = 1$für$x \gt 0$,$f(x) = 0$für$x \lt 0$und für$x \gt 0$. Es ist nicht klar, wie man es definiert$F(0)$Und$f(0)$, aber es spielt keine Rolle, da es nur ein Punkt ist, hat er eine Breite von null ... richtig?

Na dann,$f(x) dx = 0$seitdem überall$f(x) = 0$, wenn Sie sie also alle zusammenfassen, erhalten Sie$F(x) = 0$überall. Hoppla, wo haben wir einen Fehler gemacht?

Etwas muss geben. Es stellt sich heraus, dass es egal ist, wie$F$Und$f$sind bei definiert$0$. Das kannst du sagen$F$hat keine Ableitung bei$0$und damit gilt das theorem nicht: im ersten schritt gibt es keine gleichung, mit der man multiplizieren kann$dx$. Oder Sie können sagen, dass die Ableitung von$F$ist keine Funktion (es gibt keine passende Funktion), sondern ein Objekt, das sich manchmal wie eine Funktion verhält und manchmal nicht; Deshalb wurden Distributionen erfunden. Dann im zweiten Schritt$f(x)dx$ist nicht infinitesimal$x=0$: das ist, wo sich das ganze Gebiet befindet. Welchen Ansatz Sie auch immer wählen, es gibt eine Singularität bei$0$und die durch Regularität erlaubten Näherungen brechen zusammen.

Ihr Beweis kann in der Tat in Robinsons Rahmen für Kalkül mit Infinitesimalen streng gemacht werden; siehe zB Keislers Lehrbuch Elementary Calculus .

Ihr letzter Kommentar, der gerade zur Frage hinzugefügt wurde, zeigt, dass Sie Physiker sind. Wenn ja, dann können Sie die meisten anderen Antworten hier getrost ignorieren.

An der Physics SE erhalten Sie möglicherweise einige Antworten, die Ihre Bedenken direkter ansprechen. siehe zum Beispiel diese Antwort .

Es sollte beachtet werden, dass Keislers Entwicklung des Kalküls unter Verwendung von Infinitesimalen völlig streng ist. Einige technische Aspekte werden im Begleitband Foundations of Infinitesimal Calculus behandelt .

Dass einige grundlegende Details angenommen werden sollten, ist in einem Studiengang zum Thema Infinitesimalrechnung ganz natürlich. Zum Beispiel konstruiert der typische Analysis-Kurs nicht den Körper der reellen Zahlen, weder über den Ansatz von Cantor noch über den Ansatz von Dedekind. Dieses Material wird zweckmäßigerweise einem weiterführenden Kurs überlassen.

Wenn Sie Infinitesimale sehen ($dx, dy$) in einem Ausdruck ist es hilfreich, sich diese als kleine positive Zahlen vorzustellen ($\Delta x, \Delta y$), zusammen mit dem Verständnis, dass Sie nicht fertig sind, bis Sie die Grenze erreicht haben (dh wo$\Delta x$geht auf Null).

Das ist im Grunde das, was wir in Kalkülbeweisen tun – wir arbeiten mit Deltas und nehmen dann die Grenze des resultierenden Ausdrucks. Bevor wir die Grenze nehmen, arbeiten wir nur mit numerischen Größen. In einigen Fällen kann es also gemeinsame Delta-Faktoren im Zähler und Nenner geben, die beide mit der gleichen Rate auf Null gehen und aufgehoben werden können. Wenn Sie den Ausdruck auf eins reduzieren können, wobei das Setzen der Deltawerte auf Null nicht zu einer Singularität oder einem unbestimmten Ausdruck führt, können Sie sie sicher durch Null ersetzen, um die Grenze zu nehmen.

Beispiel:

$$\frac{d}{dx}x^2 = \frac{d(x^2)}{dx}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 + (2x\Delta x + \Delta x^2) - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0} ( 2x + \Delta x )$$

$$= 2x$$

So lange wie$\Delta x$nicht null ist, können Sie durch teilen$\Delta x$, wodurch Sie den gemeinsamen Faktor berücksichtigen können$\Delta x$aus Zähler und Nenner.

Im verbleibenden Ausdruck$\Delta x$ist nur ein Glied der Summe, und jetzt, wenn es auf Null geht, kann es einfach weggelassen werden.

Dies kann helfen zu erklären, warum "Multiplizieren mit$dx$" scheint zu funktionieren, da es gültig ist, mit zu multiplizieren, bevor Sie das Limit tatsächlich nehmen$\Delta x$. Aber irgendwann müssen Sie das Limit nehmen, und die entscheidende Frage ist, ob Sie das tun können, ohne eine ungültige Operation wie das Teilen durch Null durchführen zu müssen.

Beachten Sie, dass Sie immer eine falsche Gleichung drehen können, wie z$3=5$, in eine wahre Eins, indem beide Seiten mit Null multipliziert werden, aber es beweist nichts über den ursprünglichen Ausdruck, um dies zu tun. Also "beide Seiten multiplizieren mit$dx$" bringt nicht unbedingt etwas Sinnvolles.

Hier ist ein Beweis, der Ihnen gefallen wird: Nehmen Sie g(x) =$\int_{a}^{x} f(t) dt$dann wissen wir nach Teil 1 von FTC, dass g' = f(X). Nehmen wir nun an, dass F(x) eine weitere Stammfunktion von f ist, dann wissen wir das

F(x) = g(x) + C

Beachten Sie nun, wenn wir x = a in die Formel für g(x) einsetzen, erhalten wir:

g(a) =$\int_{a}^{a} f(t) dt$= 0

Und schlussendlich

F(b)-F(a) = [g(b) + C] - [(a) + C] = g(b) - g(a) = g(b) - 0 =$\int_{a}^{b} f(t) dt$

ich hoffe das hilft