Die nützlichste Heuristik?

Ich mag Richard Feynmans Heuristik, eine Allgemeinheit anhand eines einfachen (aber ausreichend nuancierten), gut verständlichen Beispiels zu verstehen. Der Beginn eines induktiven Beweises ist eine Art Anwendung davon: Überzeuge mich, dass die Aussage für einige einfache Fälle wahr ist, und schaue, wo es ein allgemeines Muster für jeden solchen Fall geben könnte.

Lehren und Verwenden von Differentialen in der elementaren Analysis. Sie helfen bei linearen Näherungen, Produktregel, Kettenregel, Bogenlänge, Cavalieri-Prinzip, Integrationsanwendungen. In jedem Fall kann das Handwinken rigoros gemacht werden, aber die Bemühungen um Strenge verdunkeln die zugrunde liegende Idee.

Eine der nützlichsten Heuristiken, die Taos Kommentar dort aufgreift, stellt sich die Potenzierung als Iteration einer unendlichen Anzahl von infinitesimalen Multiplikationen vor. Dies ist eine nützliche Heuristik, nicht nur in Lie-Gruppen, sondern immer dann, wenn man es mit dem infinitesimalen Generator eines Flows zu tun hat. Tatsächlich kann man sich den Fluss als Schatten eines Spaziergangs in unendlich kleinen Schritten (natürlich unendlich viele davon) vorstellen.

Auf einer elementareren Ebene das Denken an$\frac{dy}{dx}$als Verhältnis und die Buhrufe aus dem Publikum ignorieren :-)

Ich teste gerne Wahrscheinlichkeitsabzüge mit realen Experimenten. Besonders Würfelprobleme sind sehr anschaulich für Leute, die gerade erst anfangen.

Ein Bild sagt mehr als tausend Worte.

Für junge Schüler ist es hilfreich, das Konzept der Multiplikation einzuführen, indem Objekte in Gruppen mit einer gleichen Anzahl von Objekten in jeder Gruppe angeordnet werden, oder indem die Objekte in einer rechteckigen Anordnung mit der gewünschten Anzahl von Zeilen und Spalten angeordnet werden.

Für Algebrastudenten können wir das veranschaulichen$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, indem man ein Quadrat zeichnet, das ist$a+b$auf jeder Seite, und teilen Sie es mit einer horizontalen und vertikalen Linie in vier Bereiche: Quadrate, die sind$a^2$Und$b^2$auf jeder Seite und zwei Rechtecke, die sind$a$von$b$in Größe.

Für Studenten der Analysis ist es bei der Einführung der Konzepte von Ableitungen oder Integralen hilfreich, das Problem, das wir zu lösen versuchen, mit einem Graphen zu veranschaulichen, dann die Lösung mit endlichen Methoden zu approximieren und zu überlegen, wie wir unter Verwendung von Grenzwerten zur gewünschten Lösung konvergieren könnten.

Wir könnten also eine Linie zeichnen, die an einem bestimmten Punkt eine Kurve tangiert, und fragen: "Wie können wir die Steigung der Linie bestimmen?" Führen Sie dann eine endliche Näherung ein, wie z. B. die Sekantenmethode, und beobachten Sie, dass wir eine bessere Näherung erhalten, wenn die beiden Punkte näher zusammenrücken.

Eine ähnliche Strategie kann verwendet werden, wenn bestimmte Integrale eingeführt werden, indem gefragt wird, wie die Fläche unter einer kontinuierlichen Kurve über ein geschlossenes Intervall bestimmt wird. Führen Sie die Mittelpunktmethode ein, um die Fläche anzunähern, und überlegen Sie, wie die Annäherung verbessert wird, wenn wir die Breite der Rechtecke verringern.

Zeichnen Sie bei der Einführung der Fourier-Reihe Beispiele wie z$sin(x)+sin(3x)/3$, Dann$sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5$usw., um zu zeigen, wie sich die Summe mit zunehmender Anzahl von Termen einer Rechteckwelle nähert. Dies bietet auch die Gelegenheit, Themen wie Überschwingen und Klingeln zu diskutieren oder wie ein Tiefpassfilter solche Signale beeinflussen könnte.