Integration durch Substitution: Verwendung geeigneter Substitutionen mit Wurzeln mit geradem Index

Question

Integration durch Substitution: Verwendung geeigneter Substitutionen mit Wurzeln mit geradem Index

Sebastiano

Ich habe folgende Integrale

\int X \sqrt{X - 1} D X, Und \int \sqrt{e^{X} - 1} D X

$\int x\sqrt{x-1}\, dx, \quad \text{and} \quad \int \sqrt{e^x-1}\,dx$ Ich interessiere mich nicht für das Lösen von Integralen, sondern für eine Überlegung, die ich mir gedacht habe, als ich die Integrale für meine Gymnasiasten gelöst habe. Ich setze die Positionen generell so, dass kein doppeltes Vorzeichen entsteht. Mit anderen Worten, ich würde in den ersten Fall einordnen

x - 1 = t

$x-1=t$ und im zweiten Fall

e^{x} - 1 = t

$e^x-1=t$ . Ich habe festgestellt, dass im angenommenen Lehrbuch im ersten Fall stattdessen die Position angenommen wird:

X - 1 = T^{2}

$x-1=t^2$ Im zweiten Fall kann ich jedoch zur Analogie verwenden (

e^{x} - 1 = t^{2}

$e^x-1=t^2$ ) Es stimmt, dass

x - 1 > 0

$x-1>0$ , Und

t^{2} > 0

$t^2>0$ , aber falls

X - 1 = T^{2} ⟹ T = \pm \sqrt{X - 1}

$x-1=t^2 \implies t=\pm \sqrt{x-1}$

Warum sollte ich die wählen $+$ Zeichen statt Minuszeichen, wenn ich Substitutionen unter Quadratwurzel verarbeite? Gibt es einen bestimmten Grund?

Antworten (2)

Integration durch Substitution: Verwendung geeigneter Substitutionen mit Wurzeln mit geradem Index

Benutzer905694 · Answer 1

Die Antwort wird die gleiche sein, unabhängig davon, ob Sie die wählen $+$ oder $-$ Zeichen.

Angenommen, Sie möchten integrieren $\int \sqrt{f(x)} \, dx$ . Wir können schreiben $t^2 = f(x) \implies t = \pm \sqrt{f(x)} \implies \pm t = \sqrt{f(x)}$ .

Fall $1$ : Du wählst $t = \sqrt{f(x)}$ .

\frac{D T}{D X} = G (T) ⟹ D X = \frac{D T}{G (T)}

$\frac{dt}{dx} = g(t) \implies dx = \frac{dt}{g(t)}$

∴ \int \sqrt{F (X)} D X = \int T \frac{D T}{G (T)}

$\therefore \int \sqrt{f(x)} \, dx = \int t \, \frac{dt}{g(t)}$

Fall $2$ : Du wählst $-t = \sqrt{f(x)} \implies t = -\sqrt{f(x)}$

\frac{D T}{D X} = - G (T) ⟹ D X = - \frac{D T}{G (T)}

$\frac{dt}{dx} = -g(t) \implies dx = -\frac{dt}{g(t)}$

∴ \int \sqrt{F (X)} D X = \int - T \cdot (- \frac{D T}{G (T)}) = \int T \frac{D T}{G (T)}

$\therefore \int \sqrt{f(x)} \, dx = \int -t \cdot \left(\, -\frac{dt}{g(t)} \right)= \int t \, \frac{dt}{g(t)}$

Wie gezeigt, erhalten Sie in beiden Fällen das gleiche Ergebnis.

Wichtig ist nur, dass Sie sich für das eine oder andere entscheiden. Es ist leicht, dies mit so etwas zu vermasseln $\int_{-1}^1 x^2 dx$ , die bei Unachtsamkeit fälschlicherweise als 0 gewertet werden kann.

Arizus · Answer 2

Wenn du nimmst $t = -\sqrt{x-1}$ (und deshalb $-t = \sqrt{x-1}$ wenn Sie die Substitution vornehmen) dann:

\frac{D T}{D X} = - \frac{1}{2 \sqrt{X - 1}},

$\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}},$

D X = - 2 \sqrt{X - 1} D T .

$dx = -2\sqrt{x-1}dt.$

Beachten Sie jedoch, dass beim Wiedereinsetzen die Minuszeichen aufgehoben werden, sodass Sie wie gewohnt fortfahren können.

Integration durch Substitution: Verwendung geeigneter Substitutionen mit Wurzeln mit geradem Index

Sebastiano

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Benutzer905694

Jan

Arizus

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