Widerspruch zwischen Integration durch Partialbrüche und Substitution

Question

Widerspruch zwischen Integration durch Partialbrüche und Substitution

Integration
Mathematik
Auswechslung
Partialbrüche

Mohammed Mostafa

Integration durch Substitution:

\int \frac{D X}{X^{2} - 1}

$\int \frac {dx}{x^2-1}$ Lassen

x = \sec θ

$x=\sec\theta$ Und

d x = \sec θ \tan θ d θ

$dx=\sec\theta\tan\theta \,d\theta$

\int \frac{D X}{X^{2} - 1} = \int \frac{Sek θ bräunen θ D θ}{{Sek}^{2} θ - 1} = \int \frac{Sek θ bräunen θ D θ}{{bräunen}^{2} θ} = \int \frac{Sek θ D θ}{bräunen θ}

$\int \frac {dx}{x^2-1} = \int \frac{\sec\theta\tan\theta \,d\theta}{\sec^2\theta-1} = \int \frac {\sec\theta\tan\theta\, d\theta}{\tan^2\theta} = \int \frac {\sec\theta \,d\theta}{\tan\theta}$

\int \frac{Sek θ D θ}{bräunen θ} = \int \frac{\cos θ D θ}{\cos θ Sünde θ} = \int \csc θ D θ

$\int \frac {\sec\theta \,d\theta}{\tan\theta} = \int \frac {\cos \theta \,d\theta}{\cos\theta \sin \theta} = \int \csc\theta\, d\theta$

= \ln | \csc θ - Kinderbett θ | + C

$=\ln|\csc\theta-\cot\theta|+C$

= \ln | \frac{X}{\sqrt{X^{2} - 1}} - \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} | + C = \ln | \frac{X - 1}{\sqrt{X^{2} - 1}} | + C

$=\ln| \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}|+C=\ln| \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}|+C$

Welches ist $Undefined$ für $|x|<1$

Integration durch Partialbrüche:

\int \frac{D X}{X^{2} - 1}

$\int \frac {dx}{x^2-1}$

\int \frac{D X}{X^{2} - 1} = \frac{1}{2} \int \frac{D X}{X - 1} - \frac{1}{2} \int \frac{D X}{X + 1} = \frac{1}{2} \ln | X - 1 | - \frac{1}{2} \ln | X + 1 | + C

$\int \frac {dx}{x^2-1}= \frac 12\int\frac{dx}{x-1}- \frac12\int \frac{dx}{x+1} = \frac12 \ln | x-1| - \frac12 \ln|x+1| +C$

= \frac{1}{2} \ln | \frac{X - 1}{X + 1} | + C

$= \frac12 \ln | \frac{x-1}{x+1}|+C$

Welches ist $Defined$ für $|x|<1$ und das ist richtig, weil der Integrand für definiert ist $|x|<1$

Was ist das Problem bei der Substitutionsmethode?

lulu

Als Sie x = erklärt haben

s e c θ

$sec \theta$ Sie haben implizit erklärt, dass |x| ≥ 1.

Khallil

Was meinten Sie am Ende mit der Quellfunktion?

Mohammed Mostafa

Dieser Integrand sollte also nicht durch trigonometrische Substitution integriert werden?

Mohammed Mostafa

@KhallilBenyattou der Integrande

Khallil

Der Integrand ist nur für nicht definiert

x = \pm 1

$x = \pm 1$ . Auf jeden Fall hat Lulu es erklärt.

wackelig

Sie können auch von Ihrer ersten Antwort zu Ihrer zweiten gelangen, indem Sie die Quadratwurzel aus dem Quadrat des Teils innerhalb des natürlichen Logarithmus ziehen, dann den Nenner faktorisieren und vereinfachen.

Mohammed Mostafa

Nein, das kann es nicht, da die Quadratwurzel den absoluten Wert enthalten sollte

\sqrt{| x^{2} - 1 |}

$\sqrt{|x^2-1|}$ die noch definiert für

| x | < 1

$|x|<1$ .

Khallil

Wenn

| x | < 1

$|x|<1$ , Ihre endgültige Antwort in Teilbrüchen ist nicht definiert. Du würdest den natürlichen Logarithmus einer negativen Zahl nehmen.

Mohammed Mostafa

Nein, es gibt einen absoluten Wert, also keinen negativen Logarithmus!!!

Khallil

Ach, entschuldigung! (habe das total übersehen)

Michael Hardy

@MohamedMostafa: Negative Logarithmen sind kein Problem; vielmehr sind Logarithmen negativer Zahlen ein Problem .

${}\qquad{}$

Mohammed Mostafa

@MichaelHardy? Was meinst du ?

Michael Hardy

@MohamedMostafa . Der natürliche Logarithmus von

1 / 2

$1/2$ eine negative Zahl ist, also ein negativer Logarithmus. Aber man kann nicht den Logarithmus von nehmen

- 1 / 2

$-1/2$ .

${}\qquad{}$

Mohammed Mostafa

Und was ist der Zusammenhang zwischen dieser und meiner Frage?

Khallil

Keine wirklich ...

Benutzer84413

Sie haben eine berechtigte Frage. Wie von Lulu betont, die trigonometrische Substitution

x = \sec θ

$x=\sec\theta$ geht davon aus

| x | > 1

$|x|>1$ , und gibt eine Antwort, die nur für diese Werte gültig ist; aber eine weitere Vereinfachung ergibt eine gültige Antwort

| x | < 1

$|x|<1$ ebenso gut wie

| x | > 1

$|x|>1$ . Um die Antwort zu bekommen

| x | < 1

$|x|<1$ mit einer trigonometrischen Substitution können Sie jedoch verwenden

x = \cos θ

$x=\cos\theta$ stattdessen (bzw

x = \sin θ

$x=\sin\theta$ )

Khallil

Womöglich

s i n h

$\mathrm{sinh}$ wäre ein noch besserer Ersatz, da es überall definiert ist?

Mohammed Mostafa

Ich habe es versucht

x = \cos θ

$x=\cos\theta$ und auch der sinus und das problem blieben!

Antworten (3)

Widerspruch zwischen Integration durch Partialbrüche und Substitution

Als Sie x = erklärt haben $sec \theta$ Sie haben implizit erklärt, dass |x| ≥ 1.
Dieser Integrand sollte also nicht durch trigonometrische Substitution integriert werden?
Der Integrand ist nur für nicht definiert $x = \pm 1$ . Auf jeden Fall hat Lulu es erklärt.
Sie können auch von Ihrer ersten Antwort zu Ihrer zweiten gelangen, indem Sie die Quadratwurzel aus dem Quadrat des Teils innerhalb des natürlichen Logarithmus ziehen, dann den Nenner faktorisieren und vereinfachen.
Nein, das kann es nicht, da die Quadratwurzel den absoluten Wert enthalten sollte $\sqrt{|x^2-1|}$ die noch definiert für $|x|<1$ .
Wenn $|x|<1$ , Ihre endgültige Antwort in Teilbrüchen ist nicht definiert. Du würdest den natürlichen Logarithmus einer negativen Zahl nehmen.
Nein, es gibt einen absoluten Wert, also keinen negativen Logarithmus!!!
@MohamedMostafa: Negative Logarithmen sind kein Problem; vielmehr sind Logarithmen negativer Zahlen ein Problem . ${}\qquad{}$
@MohamedMostafa . Der natürliche Logarithmus von $1/2$ eine negative Zahl ist, also ein negativer Logarithmus. Aber man kann nicht den Logarithmus von nehmen $-1/2$ . ${}\qquad{}$
Und was ist der Zusammenhang zwischen dieser und meiner Frage?
Sie haben eine berechtigte Frage. Wie von Lulu betont, die trigonometrische Substitution $x=\sec\theta$ geht davon aus $|x|>1$ , und gibt eine Antwort, die nur für diese Werte gültig ist; aber eine weitere Vereinfachung ergibt eine gültige Antwort $|x|<1$ ebenso gut wie $|x|>1$ . Um die Antwort zu bekommen $|x|<1$ mit einer trigonometrischen Substitution können Sie jedoch verwenden $x=\cos\theta$ stattdessen (bzw $x=\sin\theta$ )
Womöglich $\mathrm{sinh}$ wäre ein noch besserer Ersatz, da es überall definiert ist?
Ich habe es versucht $x=\cos\theta$ und auch der sinus und das problem blieben!

Ennar · Answer 1

Lassen Sie uns versuchen, etwas von der Verwirrung darüber zu beseitigen, was hier vor sich geht.

Erstens, $x\mapsto \frac 1 {x^2 - 1}$ ist kontinuierliche Funktion überall außer für $x=\pm 1$ , also ist es Riemann-integrierbar auf jedem Segment, das nicht enthält $\pm 1$ . Allerdings würden wir sehr gerne eine primitive Funktion finden, die auf definiert ist $\mathbb R^2\setminus\{\pm 1\}$ . Lösung durch Partialbrüche tut genau das,

F_{1} (X) = \frac{1}{2} \ln | \frac{X - 1}{X + 1} | + C

$F_1(x) = \frac 12 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$ ist überall außer at definiert

x = \pm 1

$x=\pm 1$ . Also, wenn wir beides berechnen wollten

{ICH}_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \frac{D X}{X^{2} - 1}

$I_1 = \int_{\frac 12}^{\frac 34} \frac {dx} {x^2 - 1}$ oder

{ICH}_{2} = \int_{2}^{3} \frac{D X}{X^{2} - 1}

$I_2 = \int_{2}^{3} \frac {dx} {x^2 - 1}$ wir können benutzen

F_{1}

$F_1$ ohne Sorgen.

Wenn wir nun versuchen, eine Substitution wie z $x = \sec\theta$ , wie OP feststellt, könnten wir auf lange Sicht auf einige Probleme stoßen. Die auf diese Weise abgeleitete primitive Funktion ist

F_{2} (X) = \ln | \frac{X - 1}{\sqrt{X^{2} - 1}} | + C

$F_2(x) = \ln\left| \frac {x - 1}{\sqrt{x^2 -1}} \right| + C$ die nur für definiert ist

| x | > 1

$|x|>1$ . Ist das schockierend? Nun, nein. Wie Lulu in den Kommentaren betont,

| \sec θ | \geq 1

$|\sec\theta|\geq 1$ für alle

θ

$\theta$ , was eine einfache Konsequenz aus der Definition ist

\sec θ = \frac{1}{\cos θ}

$\sec\theta = \frac 1 {\cos\theta}$ . Also durch Substitution

x = \sec θ

$x=\sec\theta$ , wir haben schon aufgegeben

x \in ⟨ - 1, 1 ⟩

$x\in\langle -1,1\rangle$ , was eigentlich in Ordnung ist, solange wir versuchen zu berechnen

I_{2}

$I_2$ , funktioniert aber nicht für

I_{1}

$I_1$ .

Die Frage ist also: sind $F_1$ Und $F_2$ Beides "gute" Lösungen? Genauer gesagt, wenn wir rechnen wollten $I_2$ , können wir eine dieser beiden verwenden $F$ 'S?

Nun, nehmen wir das an $|x| > 1$ . Dann haben wir:

\ln | \frac{X - 1}{\sqrt{X^{2} - 1}} | = \ln \frac{| X - 1 |}{\sqrt{X^{2} - 1}} = \ln \frac{\sqrt{(X - 1)^{2}}}{\sqrt{X^{2} - 1}} = \ln \sqrt{\frac{(X - 1)^{2}}{X^{2} - 1}} = \frac{1}{2} \ln \frac{X - 1}{X + 1} = \frac{1}{2} \ln | \frac{X - 1}{X + 1} |

$\ln\left| \frac {x - 1}{\sqrt{x^2 -1}} \right| = \ln \frac {\left|x - 1\right|}{\sqrt{x^2 -1}} = \ln \frac {\sqrt{(x-1)^2}}{\sqrt{x^2 -1}} = \ln \sqrt{\frac {{(x-1)^2}}{{x^2 -1}}} = \frac 12 \ln\frac{x-1}{x+1}=\frac 12 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ wo die letzte Gleichheit gilt weil

x - 1

$x-1$ Und

x + 1

$x+1$ habe die gleichen zeichen drauf

| x | > 1

$|x|>1$ . Damit haben wir das gezeigt

F_{2} = {F_{1} |}_{R^{2} ∖ [- 1, 1]}

$F_2 = \left.F_1 \right|_{\mathbb R^2\setminus [-1,1]}$ . Ich hoffe, das verdeutlicht das Problem.

Also. Ihre Vereinfachung, die das Ergebnis der beiden Integrationen gleichsetzt, hängt von der Annahme ab $|x|>1$ und das ist in Ordnung, denn für $|x|<1$ diese Gleichung kann nicht gelten. Ich habe viele Probleme bei der Verwendung der trigonometrischen Substitution bei der Integration festgestellt und weiß nicht genau, wie und warum dies geschieht.!
@MohamedMostafa, weißt du jetzt, was hier passiert? Schauen Sie sich hier genau um. Die Substitution funktioniert ursprünglich für bestimmte Integrale und wird auf unbestimmte Integrale erweitert, aber man muss vorsichtig sein, ob die Substitution im gesamten Bereich des Integranden sinnvoll ist. In diesem Fall $x = \sec\theta$ funktioniert nicht auf der gesamten Domäne des Integranden, und das Problem tritt auf.
Können wir – kurz gesagt – sagen, dass die Substitutionsmethode genau dann funktioniert, wenn der Wertebereich der Substitutionsfunktion gleich dem Definitionsbereich des zu ersetzenden Integranden ist?
Wenn Sie es mit einem bestimmten Integral zu tun haben, muss der Bereich der Substitutionsfunktion das Segment enthalten, in das Sie integrieren (das sollte offensichtlich sein). Wenn Sie es mit unbestimmten Integralen zu tun haben, ist dies nicht erforderlich, aber Sie könnten mit einer Funktion enden, die auf einem kleineren Bereich definiert ist, und dann müssen Sie einen Weg finden, Ihre Funktion auf den maximalen Bereich zu erweitern, so wie wir es können $F_1$ Zu $F_2$ bei deiner Übung. Möglicherweise müssen Sie das Endergebnis differenzieren, um sicherzustellen, dass Sie wirklich die richtige Stammfunktion erhalten haben.

th dh · Answer 2

Über das Vereinfachen

\begin{aligned} \ln \frac{X - 1}{\sqrt{X^{2} - 1}} = \ln \frac{{\sqrt{X - 1}}^{2}}{\sqrt{(X - 1) (X + 1)}} \\ = & \ln \frac{\sqrt{X - 1}}{\sqrt{X + 1}} \\ = & \frac{1}{2} \ln \frac{X - 1}{X + 1} \end{aligned}

$\begin{align} & \ln \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}=\ln\frac{\sqrt{x-1}^2}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} \\[6pt] = {} & \ln\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \\[6pt] = {} & \frac 1 2 \ln \frac{x-1}{x+1} \end{align}$

Ohne absoluten Wert ist das, was Sie geschrieben haben, richtig. aber wenn es um absolute Werte geht, geht das nicht.
Danke Michael für die Bearbeitung. Jetzt sieht es so schön aus. Bitte geben Sie mir einen Link zum Tutorial, wo ich lernen kann, Gleichungen und mathematische Symbole im Internet zu schreiben.
@MohamedMostafa Können Sie bitte erklären, warum dies nicht mit absoluten Werten möglich ist?
@thie, diese Funktionen haben nicht die gleichen Domänen, dh dies sind die gleichen Funktionen, aber nur auf einer kleineren Domäne.

Michael Hardy · Answer 3

\ln \frac{| X - 1 |}{\sqrt{| X^{2} - 1 |}} = \ln \frac{\sqrt{| X - 1 |} \sqrt{| X - 1 |}}{\sqrt{| X - 1 |} \sqrt{| X + 1 |}} = \ln \sqrt{\frac{| X - 1 |}{| X + 1 |}} = \frac{1}{2} \ln | \frac{X - 1}{X + 1} |

$\ln\frac{|x-1|}{\sqrt{|x^2-1|}} = \ln\frac{\sqrt{|x-1|}\sqrt{|x-1|}}{\sqrt{|x-1|}\sqrt{|x+1|}} = \ln\sqrt{\frac{|x-1|}{|x+1|}} = \frac 1 2 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$

Als Antwort auf Kommentare habe ich dies vollständiger gemacht, als es war. Beachte das

Ich ziehe keine Quadratwurzeln außer nicht-negativen Zahlen; Und
$|AB| = |A||B|$ , So $|x^2-1|=|x-1||x+1|$ ; Und
$\sqrt{AB} =\sqrt A \sqrt B$ Wenn $A\ge0$ Und $B\ge0\vphantom{\dfrac 1 1}$ , also ist die Trennung in zwei Quadratwurzeln gültig; Und
$\sqrt A/\sqrt B = \sqrt{A/B\,{}}$ , Wenn $A\ge0$ Und $B\ge0$ , also ist die zweite Gleichheit gültig; Und
$|A|/|B| = |A/B|$ , also ist die letzte Gleichheit gültig.

PS als Antwort auf Kommentare: Das Problem mit der trigonometrischen Substitution ist nur, dass sie nur gültig ist, wenn $|x|>1$ , seit $\sec\theta\ge 1$ für alle Werte von $\theta$ und die Punkte, wo $|x|=1$ sind nicht in der Domäne.

Ohne absoluten Wert ist das, was Sie geschrieben haben, richtig. aber wenn es um absolute Werte geht, geht das nicht.
Richtig .... Dies ist keine vollständige Antwort. Es funktioniert wann $x>1$ . Aber mit diesen Informationen sollte der ursprüngliche Poster in der Lage sein, alles herauszufinden.
Exakt. Das Problem ist, dass Rogawski – der Autor des Textes, den ich studiere – dieselbe Vereinfachung vorgenommen hat, und ich weiß nicht, ob es ein Fehler war!
Ihre ganz linke Seite ist NICHT das Ergebnis der Integration durch Substitution. Dann kann diese Gleichung aufgrund der Vereinfachung nicht gelten $|x|<1$ und das problem ist immer noch da.

Widerspruch zwischen Integration durch Partialbrüche und Substitution

Mohammed Mostafa

lulu

Khallil

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wackelig

Mohammed Mostafa

Khallil

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Michael Hardy

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Ennar

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th dh

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Ennar

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