Warum gibt mir die partielle Integration die falsche Antwort?

Question

Warum gibt mir die partielle Integration die falsche Antwort?

Integration
Mathematik
Auswechslung
Gewöhnliche Differentialgleichungen

Julian Risos

Ich löse eine Differentialgleichung erster Ordnung.

\frac{D j}{D X} + 2 X j = X

$\frac{dy}{dx}+2xy=x$

Ich habe mit dem Integrationsfaktor multipliziert, um die Gleichung in der Form zu erhalten $f\left(x\right)\frac{dy}{dx}+f'\left(x\right)y=f\left(x\right)Q$

F (X) = e^{X^{2}}

$f\left(x\right)=e^{x^{2}}$

So

e^{X^{2}} \frac{D j}{D X} + 2 X e^{X^{2}} j = X e^{X^{2}}

$e^{x^{2}}\frac{dy}{dx}+2xe^{x^{2}}y=xe^{x^{2}}$

Neu geordnet

e^{X^{2}} j = \int X e^{X^{2}} D X

$e^{x^{2}}y=\int{xe^{x^{2}}}dx$

Ich weiß, der einfachste und richtige Weg, dies zu tun, ist die Verwendung von au substitution for $e^{x^{2}}$ aber ich habe versucht, die Integration nach Teilen zu verwenden, und ich habe eine völlig andere Antwort auf die Verwendung von au sub erhalten.

ich habe

j = \frac{1}{2} - \frac{1}{4 X^{2}} + \frac{C}{e^{X^{2}}}

$y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4x^{2}}+\frac{c}{e^{x^{2}}}$

Die richtige Antwort mit u sub ist

j = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{X^{2}}}

$y=\frac{1}{2}+\frac{c}{e^{x^{2}}}$

Ich verstehe nicht, warum ich eine andere Antwort bekomme.

Wenn ich nehme $u = x$ Und $\frac{dv}{dx} = e^{x^{2}}$

Mit Integration nach Teilen bekomme ich

\int X e^{X^{2}} = X (\frac{1}{2 X} e^{X^{2}}) - \int \frac{1}{2 X} e^{X^{2}} D X

$\int{xe^{x^{2}}}=x\left(\frac{1}{2x}e^{x^{2}}\right)-\int\frac{1}{2x}e^{x^{2}}dx$

Kann mir jemand erklären, was ich falsch mache oder warum dies mir eine andere Antwort gibt? Oder warum kann ich es nicht verwenden, um die gleiche Antwort zu bekommen?

Danke an alle, die mir sagen können, was ich falsch mache.

Engelwurz

Nun, zum einen,

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x} e^{x^{2}}) \neq e^{x^{2}}

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x}e^{x^2}\right)\neq e^{x^2}$ . Tatsächlich gibt es keinen Ausdruck für

v

$v$ so dass

\frac{d v}{d x} = e^{x^{2}}

$\frac{dv}{dx}=e^{x^2}$ .

KCd

@Angelica es ist nicht wahr, dass "es keinen Ausdruck gibt" für eine Funktion mit Ableitung

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ . Zum Beispiel,

v (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t

$v(x) = \int_0^x e^{t^2}\,dt$ ist ein solcher Ausdruck

d v / d x = e^{x^{2}}

$dv/dx= e^{x^2}$ . Was

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ fehlt ist eine elementare Stammfunktion im technischen Sinne elementarer Funktionen. Es fehlt überhaupt kein Derivat. Eine Art, den Fundamentalsatz der Analysis zu beschreiben, besteht tatsächlich darin, dass er zeigt, dass jede stetige Funktion auf einem Intervall eine Stammfunktion auf diesem Intervall hat (wie die stetige Funktion

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ An

(- \infty, \infty)

$(-\infty,\infty)$ ).

Tom Keen

Der Fehler kommt von der Integration von

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ , tatsächlich hat das Integral dieser Funktion keine geschlossene Form in Bezug auf Elementarfunktionen.

Engelwurz

@KCd Das habe ich gemeint, ich denke, ich hätte spezifischer sein sollen als jeder Ausdruck

v

$v$ wird für die Integration wahrscheinlich nicht nützlich sein

David C. Huang

Das Bestehen darauf, dass ein so grundlegendes Werkzeug wie die Integration von Teilen eine falsche Antwort gibt, weist normalerweise auf einen Fehler des Benutzers und "wahrscheinlich" nicht des Werkzeugs hin

Lutz Lehmann

Man könnte auch die Gleichung auf die Form bringen

y^{'} = - 2 x (y - \frac{1}{2})

$y'=-2x(y-\frac12)$ , die jetzt trennbar ist.

Julian Risos

Danke Jungs, ich weiß es wirklich zu schätzen. Ich verstehe jetzt, was ich falsch gemacht habe. Ich war neulich so frustriert und ich fühle eine große Last von mir genommen zu wissen, dass Mathematik nicht grundlegend kaputt ist!

Antworten (4)

Warum gibt mir die partielle Integration die falsche Antwort?

Nun, zum einen, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x}e^{x^2}\right)\neq e^{x^2}$ . Tatsächlich gibt es keinen Ausdruck für $v$ so dass $\frac{dv}{dx}=e^{x^2}$ .
@Angelica es ist nicht wahr, dass "es keinen Ausdruck gibt" für eine Funktion mit Ableitung $e^{x^2}$ . Zum Beispiel, $v(x) = \int_0^x e^{t^2}\,dt$ ist ein solcher Ausdruck $dv/dx= e^{x^2}$ . Was $e^{x^2}$ fehlt ist eine elementare Stammfunktion im technischen Sinne elementarer Funktionen. Es fehlt überhaupt kein Derivat. Eine Art, den Fundamentalsatz der Analysis zu beschreiben, besteht tatsächlich darin, dass er zeigt, dass jede stetige Funktion auf einem Intervall eine Stammfunktion auf diesem Intervall hat (wie die stetige Funktion $e^{x^2}$ An $(-\infty,\infty)$ ).
Der Fehler kommt von der Integration von $e^{x^2}$ , tatsächlich hat das Integral dieser Funktion keine geschlossene Form in Bezug auf Elementarfunktionen.
@KCd Das habe ich gemeint, ich denke, ich hätte spezifischer sein sollen als jeder Ausdruck $v$ wird für die Integration wahrscheinlich nicht nützlich sein
Das Bestehen darauf, dass ein so grundlegendes Werkzeug wie die Integration von Teilen eine falsche Antwort gibt, weist normalerweise auf einen Fehler des Benutzers und "wahrscheinlich" nicht des Werkzeugs hin
Man könnte auch die Gleichung auf die Form bringen $y'=-2x(y-\frac12)$ , die jetzt trennbar ist.
Danke Jungs, ich weiß es wirklich zu schätzen. Ich verstehe jetzt, was ich falsch gemacht habe. Ich war neulich so frustriert und ich fühle eine große Last von mir genommen zu wissen, dass Mathematik nicht grundlegend kaputt ist!

Kman3 · Answer 1

Wie in den Kommentaren erwähnt, machen Sie einen Fehler, wenn Sie annehmen

\frac{D v}{D X} = e^{X^{2}} ⟹ v = \frac{e^{X^{2}}}{2 X}

$\frac{dv}{dx}=e^{x^2} \implies v=\frac{e^{x^2}}{2x}$

Dies ist nicht wahr (verwende die Quotientenregel und überprüfe es selbst!). $e^{x^2}$ hat keine elementaren Stammfunktionen: Mit anderen Worten, Sie können es nicht integrieren und ein Ergebnis in Bezug auf elementare Funktionen wie Polynomfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen usw. erhalten.

Ich habe versucht, die Integration nach Teilen mit durchzuführen $\frac{dv}{dx}=x$ Und $u=e^{x^2}$ , und wenn ich nicht irgendwo in meinen Berechnungen einen Fehler gemacht habe, subtrahieren Sie am Ende ein Integral, das hat $e^{x^2}$ multipliziert mit höheren Potenzen von $x$ , also kommst du nirgendwo hin*. Ich würde die vorschlagen $u$ -Substitutionsmethode statt wie Sie es beschrieben haben.

* Eigentlich habe ich gerade diese Antwort gefunden , die es schafft, aber nur durch die Verwendung von unendlichen Reihen. Es ist also möglich, aber ich bezweifle, dass dies die ganze Arbeit wirklich wert ist.

Danke sm mann. Ich denke, meine Annahme war völlig falsch, aber jetzt, wo Sie es sagen, macht es sehr viel Sinn. Ich frage mich, ob e hoch aller Potenzen von x kein elementares Integral haben. Ich bin nur in der Highschool, also lerne ich noch. Ich werde auf jeden Fall versuchen, das selbst herauszufinden.

Tommik · Answer 2

\int X e^{X^{2}} D X

$\int x e^{x^2}dx$

Ist unmittelbar der Integrand in der Form $f' e ^f$ .

\frac{1}{2} \int 2 X e^{X^{2}} D X = \frac{1}{2} e^{X^{2}}

$\frac{1}{2}\int 2x e^{x^2}dx =\frac{1}{2}e^{x^2}$

F.Wright · Answer 3

Du hast,

e^{X^{2}} j = \int X e^{X^{2}} D X = \frac{1}{2} \int D (e^{X^{2}}) = \frac{1}{2} (e^{X^{2}} + C)

$e^{x^2}y=\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int d(e^{x^2})=\frac{1}{2}(e^{x^2}+C)$ Wo

C

$C$ ist die Integrationskonstante. Deshalb,

j = \frac{1}{2} (1 + C e^{- X^{2}})

$y= \frac{1}{2}(1+ Ce^{-x^2})$ was die Differentialgleichung erfüllt.

Maschinenlerner · Answer 4

Ich möchte nur hinzufügen, dass Sie diese gewöhnliche Differentialgleichung auf einfachere Weise lösen können. Diese gewöhnliche Differentialgleichung ist trennbar.

\frac{D j}{D X} = X - 2 X j

$\dfrac{dy}{dx} = x -2xy$

\frac{D j}{D X} = X (1 - 2 j)

$\dfrac{dy}{dx} = x(1-2y)$

\frac{D j}{1 - 2 j} = X D X

$\dfrac{dy}{1-2y}=xdx$

- \frac{1}{2} \ln (1 - 2 j) = \frac{1}{2} X^{2} - \frac{1}{2} C

$-\dfrac{1}{2}\ln (1-2y) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}c$

\ln (1 - 2 j) = C - X^{2}

$\ln(1-2y)=c-x^2$

1 - 2 j = \exp (C) \exp (- X^{2})

$1-2y=\exp(c)\exp(-x^2)$

j = \frac{1 - \exp (C) \exp (- X^{2})}{2}

$y=\dfrac{1-\exp(c)\exp(-x^2)}{2}$

j = \frac{1}{2} - C_{0} \exp (- X^{2})

$y=\dfrac{1}{2}-c_0\exp(-x^2)$

Unsere Lösung impliziert $1-2y>0 \implies y<1/2$ . Somit, $c_0>0$ .

Warum gibt mir die partielle Integration die falsche Antwort?

Julian Risos

Engelwurz

KCd

Tom Keen

Engelwurz

David C. Huang

Lutz Lehmann

Julian Risos

Antworten (4)

Kman3

Julian Risos

Tommik

F.Wright

Maschinenlerner

Was ist die Antwort auf ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Lösen der nicht exakten Differentialgleichung

Widerspruch zwischen Integration durch Partialbrüche und Substitution

Lösung für ODE erster Ordnung, die ein einfaches physikalisches System darstellt

Konstante und integrale Fourier-Reihe finden

Integrieren nach Verwendung des Integrationsfaktors

Was habe ich beim Lösen von ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx falsch gemacht?

Warum funktioniert die Trennung von Variablen zur Lösung von Differentialgleichungen? [Duplikat]

Ausdrücken von erfi mit "regulären" Funktionen (ODE)

Analysis und der Zwischenwertsatz