Wie baut man ein starkes Fundament für die Hochschulmathematik auf?

Mein Ziel: Nächstes Jahr reine Mathematik auf Universitätsniveau studieren. Ich finde Abstrakte Algebra, Zahlentheorie und Grundlagen der Mathematik (Mengentheorie, FOL usw.) faszinierend, aber mit meiner derzeitigen mathematischen Reife meist unzugänglich, aber ich würde gerne in der kommenden Zeit mehr darüber erfahren. Ich möchte sicherstellen, dass ich, wenn es soweit ist, das meiste Material verdauen kann, ohne mich zu verzetteln. Letztendlich möchte ich einen sinnvollen Beitrag auf dem Gebiet der reinen Mathematik leisten :)

Mein Hintergrund: Ich habe vor kurzem die High School abgeschlossen und mich mit Kalkül mit einzelnen Variablen (Kalkül 1), einigen Matrizen-Determinanten (hauptsächlich Rechenprobleme) und einigen elementaren Begriffen von Mengen, Beziehungen, Funktionen, Kombinatorik, Grundlagen der Vektoralgebra und diskreten Wahrscheinlichkeiten befasst.

Ich habe zufällig ein Jahr Zeit zur Verfügung, und ich kann konsequent mehrere Stunden dem Studium widmen. Ich versuche jedoch seit einiger Zeit, eine Vielzahl von Themen zu lernen, aber durch unorganisiertes Lernen verliere ich den Überblick über meine Fortschritte. Ich möchte die kommende Zeit gewinnbringend nutzen, um einen besseren Einblick in die Mathematik zu bekommen und gleichzeitig eine solide Grundlage zu schaffen. Ich habe versucht, einen groben Überblick zu organisieren, wie ich in dieser Zeit möglicherweise studieren könnte, unterteilt in 3 Tracks :

Track 1-Fortsetzung der Schulmathematik: Wenn ich mit Calculus 1 fortfahre, könnte ich anfangen, in Calculus 2 und 3 einzutauchen; In ähnlicher Weise erweitere ich mein Wissen über Matrizen-Determinanten auf die grundlegende lineare Algebra. Während ich dies tue, könnte ich etwas mehr Wert darauf legen, Ergebnisse zu beweisen und zu verstehen, anstatt nur mechanische Berechnungen durchzuführen.

Track 2-Lernen für High-School-Mathematikolympiaden: Das bedeutet nicht, dass ich mich für irgendeine Olympiade anmelden würde; Vielmehr würde ich Mathematik behandeln, die normalerweise nicht in der Schule gelehrt wird, aber Fragen in Mathematikolympiaden darstellt, die sich an Oberschüler richten. Ich werde versuchen, Themen wie elementare Zahlentheorie, Euklidische Geometrie, Funktionsgleichungen, Ungleichungen, Gleichungstheorie, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit usw.

Track 3 – Beginnen Sie mit dem Eintauchen in die Mathematik im Grundstudium: Aufgrund der derzeit vorherrschenden Umstände gab es eine Flut von Online-Lernressourcen für alle Lernniveaus. MOOCs zur höheren Mathematik sind da keine Ausnahme. So konnte ich mit dem Studium einiger grundlegender reeller Analysis, einführender linearer und abstrakter Algebra, Mengenlehre und Logik beginnen. Ich mag es, Dinge zu beweisen, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich diese Fähigkeit verfeinern kann.

Ich habe reichlich Lernressourcen zur Verfügung (eine Fülle von Mathematiklehrbüchern wie Analysis 1 und 2 von T.Tao, Contemporary Abstract Algebra von Gallian, Ordinary Differential Equations von M.Tenenbaum, um nur einige zu nennen - ich würde nicht davor zurückschrecken preisgünstigere Lehrbücher zu kaufen, die notwendig sind, um mein Ziel zu erreichen). Allerdings bin ich hier etwas verwirrt:

1)Welche der oben genannten Strecken ist am besten geeignet, um mein Ziel zu erreichen? Ich erwarte sicherlich nicht, innerhalb eines Jahres ein Alleskönner zu werden, aber ich möchte einen festen Stand in späteren Jahren meiner Mathematikausbildung haben. Detaillierte Vorschläge zu anderen Tracks sind ebenfalls willkommen.

2) Wie kann ich in Abwesenheit eines Ausbilders meine Fortschritte zeitgebunden auswerten und überwachen? Natürlich kann nichts das Studium der Mathematik an der Universität ersetzen, aber was könnte ich mindestens tun, um meine Arbeit zu bewerten? Ich möchte sicher sein, dass ich mich nicht in der Mitte verzettele, nicht weiß, wohin ich mit meinem Studium gehe.

Meine Vorliebe in diesen Tracks geht als$3>2>1$. Ich bin begeistert von der Perspektive, höhere Mathematik zu lernen (ich habe während der High School etwas grundlegende Gruppentheorie gemacht), habe aber schließlich aufgegeben, weil ich es nicht war, obwohl ich einen einzigen Beweis in 40-50 Minuten erstellt habe sicher, ob es am Ende überhaupt richtig war. Darüber hinaus sind Themen auf höheren Ebenen miteinander verbunden und erfordern daher einige Hintergrund-/Voraussetzungen (ein Grund, warum ich mit dem Studium der Gruppentheorie aufgehört habe, war mein fehlender Hintergrund in modularer Arithmetik) zusammen mit mathematischer Reife, die manchmal zu einer Lernbarriere werden. Dennoch begrüße ich jeden Vorschlag, der von einer Gemeinschaft von Mathematikstudenten, Lehrern und Fachleuten kommt. Randnotiz:Ich habe bereits mehrere Fragen überprüft, die zu verwandten Themen auf MSE und anderswo gestellt wurden, konnte mich aber auf keine davon vernünftig beziehen.