Vom Ingenieursstil zur richtigen Mathematik

Ich habe derzeit eine ingenieurwissenschaftliche Ausbildung in Mathematik. Wir haben ziemlich viel Material behandelt (z. B. reelle und komplexe Analysis, etwas Wahrscheinlichkeitstheorie und Graphentheorie), aber meistens haben wir Theoreme ohne formale Beweise aufgestellt, und was noch schlimmer ist, es gab eine beträchtliche Menge an Handbewegungen (Grenzen verschieben). herum ohne angemessene Begründung und dergleichen).

Jetzt komme ich zu der Erkenntnis, dass dieser Ansatz mit der Einnahme von Steroiden zum Muskelaufbau vergleichbar ist: Während Sie damit in relativ kurzer Zeit viel erreichen können, schafft es auf lange Sicht mehr Probleme als es löst.

Was ich gerne hätte, wären Vorschläge, wie ich mein Mathematikwissen in richtiges Wissen „umwandeln“ kann, indem ich einen Selbststudienansatz verwende, der durch Fragen hier ergänzt wird. Was ich im Sinn habe, sind Fragen wie (aber nicht beschränkt auf):

  • Wo soll ich anfangen? (Mengenlehre?, Prädikatenlogik?).
  • Was folgt? (Reale Analyse? Komplexe Analyse?).
  • Soll ich ganze Bücher durcharbeiten und jedes Problem lösen?
  • Was sind die Kernthemen, die jeder Mathematiker mit Selbstachtung gut kennen sollte?
Wie man es beweist von Velleman.
Ich frage mich, was deine Motivation ist? Wenn Sie einfach nur ein besserer Ingenieur werden wollen, sollten Sie Ingenieure danach fragen. Wenn Sie Mathematik aus Liebe lernen wollen, tun Sie das, und meiner Meinung nach lassen Sie sich nicht sagen, was Sie lernen sollen, sondern folgen Sie einfach dem, was Sie begeistert.
Schlagen Sie Kenneth S. Millers Advanced Real Calculus in einer Bibliothek nach, wenn Sie Zugriff darauf haben. Es ist eine der nettesten Behandlungen, die ich kenne, was ich für Ihren Hintergrund schätze. Das Buch ist kurz, streng und wäre eine großartige Voraussetzung für Rudins Prinzipien der mathematischen Analyse . Weinbergers Ein erster Kurs in partiellen Differentialgleichungen: mit komplexen Variablen und Transformationsmethoden ist ebenfalls einen Blick wert (lernen Sie alles über gleichmäßige Konvergenz und dergleichen, indem Sie sie "natürlich" entstehen lassen).
Hast du auch lineare Algebra studiert? Du erwähnst es in deinem Post nicht ausdrücklich.

Antworten (2)

Zwei Möglichkeiten:

  1. Nehmen Sie das, was Sie gelernt haben, als selbstverständlich an (ja, es gibt Löcher; aber was Ihnen durch energisches Händewinken erklärt wurde, kann rigoros bewiesen werden). Stöbern Sie nach Bedarf in den formalen Beweisen für neues Material, und füllen Sie vielleicht das zugrunde liegende Material aus, das Ihnen Unbehagen bereitet.
  2. Beginnen Sie von vorne und füllen Sie alle Löcher aus.

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit würde ich mit (1) gehen, (2) wird lange dauern, bis Sie dorthin gelangen, wo Sie hin möchten. Tatsächlich habe ich (durch persönliche Erfahrung) festgestellt, dass der Versuch, präventiv zu lernen, dazu neigt, Sie in die Irre zu führen, weil Sie kein Ziel vor Augen haben. Außerdem passiert es oft, dass Sie etwas vergessen haben, wenn Sie etwas bereits Gelerntes brauchen; oder, vielleicht noch schlimmer, Sie brauchen es nie.

Es ist in meinem Fall nicht wirklich eine Frage der Zweckmäßigkeit. Das Problem mit dem „Learn as you do“-Ansatz ist, dass Sie häufig in Endlosschleifen stecken bleiben: Sie versuchen, einen Beweis in der echten Analyse zu verstehen, aber Sie können es nicht, weil Sie die zugrunde liegende Mengenlehre nicht kennen usw. I Schätze, ein Bottom-up-Ansatz wäre in meinem Fall besser?
@ user60297 Alles, was Sie über die Mengenlehre und andere "Grundlagen" wissen müssen, um die reelle Analyse vollständig zu verstehen, ist vollständig in Rudins PMA-Kapitel 1 und 2 enthalten.
Wenn Sie in eine Endlosschleife geraten, haben Sie einen mathematischen Fehler gefunden ;-) Ich würde den Top-Down-Ansatz bevorzugen. Finden Sie zuerst heraus , warum so etwas wie der Zwischenwertsatz entscheidend ist, und graben Sie sich dann in den Beweis ein. Gibt Sinn. Aber Menschen sind verschieden...

Um die Grundlagen der meisten in der Technik verwendeten Mathematik zu verstehen, schlage ich vor, dass Sie mit der realen Analyse beginnen und dann zur komplexen Analyse, Funktionsanalyse und Maßtheorie übergehen. Eine echte Analyse kann anfangs etwas schwierig sein, wenn Sie nicht daran gewöhnt sind, strenge Beweise zu finden und zu schreiben, aber danach wird es einfacher.

Ich versuche, mir jemanden mit wenig (kein) Beweiserfahrung vorzustellen, der Prinzipien der mathematischen Analyse aufgreift, und ich kann mir nicht vorstellen, dass es sehr gut läuft. Ich denke, ein kurzer Proof-Kurs wäre ein viel besserer Anfang.
@Tyler Ich stimme voll und ganz zu. Rudins Buch ist nicht gut für den Einstieg in die Mathematik. Aber ich fand Berberians „Real Analysis“ perfekt für den gleichen Zweck. Es ist eines meiner Lieblingsbücher. Es deckt jedoch nicht viel Material ab.
@fgp Ich denke, es kommt darauf an. Wenn Sie einen Ingenieurstudiengang durchlaufen haben, verstehen Sie wahrscheinlich bereits einen großen Teil der echten Analyse auf einer intuitiven Ebene. Ich habe nie Rudins Buch über reelle Analyse verwendet, aber ich habe sein Buch über Funktionsanalyse verwendet und festgestellt, dass es für mich recht gut funktioniert.
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