Vorschläge zu Lehrbüchern zur Real- und Fourier-Analyse?

Ich würde Baby Rudin auf jeden Fall für die allgemeine Einführung in die Analyse empfehlen, sein Nachfolge-Lehrbuch ist auch mein Lieblingsanalysebuch. Die Fourier-Analyse ist im Allgemeinen sehr abhängig von der Lebesgue-Integration. Ein Buch, das nur das Riemann-Integral verwendet (wenn ich mich recht erinnere), ist Dastmars erstes .

Der Weg, den ich in die harmonische Analyse einschlug, begann mit A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration von Franks, das hier einen Online-Entwurf hat , der das Lebesgue-Maß/Integral auf sehr strenge Weise einführt, bevor die Grundlagen festgelegt werden$L^{2}$Behandlung von Fourier-Reihen auf$\Bbb{T}$. Danach ist die beste Empfehlung, die die meisten an harmonischer Analyse interessierten Personen lesen sollten, das Buch von Katznelson , das die Standard-Fourier-Transformation behandelt$\Bbb{R}$Material sehr schön, sowie das Skizzieren des lokal kompakten abelschen Gruppenmaterials. Von da an scheint es weniger allgemeinen Konsens zu geben. Ich fand Rudins Fourier Analysis on Groups hervorragend für den lokal kompakten abelschen Fall und lieferte nette Beweise für mehrere Theoreme, für die ich mit den Beweisen in anderen Büchern nicht zufrieden war. Ich mochte auch Classical Harmonic Analysis und Locally Compact Groups von Reiter und Stegeman als eher eine breite Einführung in die abelsche harmonische Analyse, obwohl es einige wichtige Beweise auslässt. Ich kann nicht viele Referenzen über den abelschen Fall hinaus anbieten, und schon gar nicht über den kompakten Fall hinaus, aber das zweite von Deitmars Büchernwar mein bevorzugtes allgemeines Nachschlagewerk für eine Einführung in die nichtabelsche harmonische Analyse. Ich habe nicht viel darüber gelesen, aber meine Lieblingsbehandlung des kompakten Gehäuses ist die in Follands Buch, das hier online ist ; insbesondere fand ich, dass seine Beschreibung der Repräsentationstheorie viel natürlicher war als andere Behandlungen.

Ich bin kein Amerikaner, daher kann ich das, was ich gesagt habe, nicht mit den von Ihnen aufgelisteten Kursen in Verbindung bringen, aber hoffentlich hilft dies etwas. Ich würde auf jeden Fall empfehlen, mit Franks und Katznelson zu beginnen.

Als allgemeine Nebenbemerkung zu Ihren Kommentaren würde ich empfehlen, zu versuchen, so viel wie möglich zu lesen, ohne Ihre Professoren um Hilfe zu bitten - selbst wenn Sie letztendlich um Hilfe bitten müssen, um etwas zu verstehen, werden Sie viel, viel mehr davon bekommen es, wenn Sie erst um Hilfe bitten, nachdem Sie sich den Kopf zerbrochen haben, um es zu verstehen.

Dieses Buch bekommt nicht die Anerkennung, die es verdient:

Pughs „Real Math. Analysis“.

Es bietet einen sehr intuitiven Ansatz und eine gründliche Präsentation. Es gibt viele Beispiele, viele, viele Probleme, darunter einige aus Berkeley-Vorprüfungen.

Besonders gut zum Selbststudium geeignet.

Ich habe alle 4 Stein- und Shakarchi-Bücher und fand sie in meinen ersten paar Jahren an der Graduiertenschule sehr nützlich. Mein Graduiertenkurs für Realanalyse verwendete Buch III, also kaufte ich die anderen, um das komplette Set zu haben. Sie haben natürlich Vor- und Nachteile. Vorteile: Sie decken eine Menge Material ab, haben mehr gute Übungen, als Sie möglicherweise in einem Jahr beenden könnten (wenn Sie können, Requisiten an Sie) und gehen alles so streng wie möglich an. Insbesondere Buch I ist möglicherweise die am besten verdauliche rigorose Einführung in die Fourier-Analyse, die ich kenne, zumindest auf der Ebene des fortgeschrittenen Grundstudiums. Das erste Kapitel befasst sich mit Motivationen aus partiellen Differentialgleichungen, aber von da an entwickeln Sie die grundlegenden Konvergenzergebnisse der Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation weiter$\mathbb{R}$Und$\mathbb{R}^d$. Es gibt Unmengen von „Bewerbungen“, was gut ist, um auf dem Boden zu bleiben. Die letzten beiden Kapitel sind eine schöne kurze Einführung in die endliche Fourier-Analyse und etwas analytische Zahlentheorie, ein schöner Kontrast zum Großteil des restlichen Buches.

Buch III ist meiner Meinung nach wieder eine sehr verständliche Einführung in die Lebesgue-Theorie. Während viele Bücher über reelle Analysis (wie Papa Rudin) dazu neigen, mit der Definition eines Maßraums zu beginnen, bleiben S&S bei Lebesgue-Maß und -Integration$\mathbb{R}^d$für den Großteil des Buches. Ich würde die ersten 3 Kapitel auf jeden Fall empfehlen. Sie können wahrscheinlich besser für die abstrakte Maßtheorie sein (Papa Rudin ist eine gute Wahl). Nachteile der S&S-Bücher: Einige der Beweise sind ein bisschen voreilig, also stellen Sie sicher, dass Sie alle Details für sich selbst herausspülen. Außerdem sind einige der Übungen zunächst etwas verwirrend formuliert. Das andere Problem, das ich mit den Büchern habe, ist, dass jedes Buch nicht wirklich in sich geschlossen ist – sie machen viele Verweise auf die anderen Bücher der Reihe.

Eine weitere gute, wenn auch leichtere Einführung in die Maßtheorie ist „Maß, Integral und Wahrscheinlichkeit“ von Capinski und Kopp.

Was den Einstieg in die harmonische Analyse angeht, bin ich mir nicht sicher, ob es ein perfektes Buch auf Ihrem Niveau gibt. Ich habe letztes Jahr einen Selbststudienkurs gemacht und wir haben uns mit "Real Variable Methods in Harmonic Analysis" von Torchinsky beschäftigt. Es war dicht, aber ich konnte die grundlegenden Kapitel (Schwache Lebesgue-Räume, Interpolation von Lebesgue-Räumen, die Hilbert-Transformation) in weniger als 10 Wochen durcharbeiten. Außerdem ist es ein Dover-Buch, also ist es billig.

Einige mögen mir da nicht zustimmen, aber ich habe herausgefunden, dass eine großartige Möglichkeit, das, was ich lernen muss, zu motivieren, darin besteht, ein „Ziel“-Buch oder eine Abhandlung im Hinterkopf zu behalten, die ich schließlich verstehen möchte. In den letzten ein oder zwei Jahren haben mich einige dieser Regalbewohner angestarrt, einschließlich der Harmonic Analysis Bible (Steins „Harmonic Analysis“), Grafakos „Modern Fourier Analysis“ und so weiter. Gelegentlich gehst du vielleicht in die Bibliothek und blätterst einfach durch ein Buch, um zu sehen, wo du dich befindest (wenn du die meisten Wörter nicht erkennst, hast du noch viel mehr zu tun!)

Nach der Teilnahme an diesen Kursen würde ich definitiv weiterempfehlen

Rudin: Prinzipien der mathematischen Analyse

Und

Pinkus, Zafrany: Fourierreihen und Integraltransformationen

Beides ist schwer zu lesen, aber es lohnt sich ;)