Welche Mathematik ist erforderlich, um die Schrödinger-Gleichung zu verstehen?

Wenn ich jetzt die Schrödinger-Gleichung sehe , sehe ich nur ein paar seltsame Symbole, aber ich möchte wissen, was sie eigentlich bedeutet. Ich nehme also an einem Kurs in Linearer Algebra teil und plane, nächsten Monat mit PDEs zu beginnen. Welche „andere Mathematik“ außer linearer Algebra und (partiellen) Differentialgleichungen ist erforderlich, um ein vollständiges Verständnis dieser Gleichung zu erlangen?

Da Sie bald einen Kurs über PDEs beginnen, hatten Sie vermutlich schon früher Kontakt mit Analysis (Ableitungen, Integrale usw.). Daher wird dieses Wissen über PDEs und lineare Algebra ausreichen, um mit dem Erlernen der Quantenmechanik und insbesondere der Schrödinger-Gleichung zu beginnen. Bevor Sie es wirklich beherrschen, müssen Sie viele andere Themen verdauen, aber es ist gut, zuerst zumindest etwas körperliche Intuition zu bekommen.

Antworten (3)

Sehen Sie sich die folgenden Fragen an, die zuvor auf physical.SE gestellt wurden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie meiner Erfahrung nach lineare Algebra kennen sollten (aber ich denke, es ist besser, Mathematik hinter dem Hilbert-Raum zu kennen - in unendlichen Dimensionen, was für Eigenwerte relevant ist), PDE , ein bisschen Analysis (Dirac- δ Funktion, Fourier-Transformation usw.). Das ist das grundlegendste Wissen, das von QM benötigt wird. Und natürlich Statistik und Wahrscheinlichkeit.

Wenn Sie einige gängige Familien von Polynomen kennen (Legendre, Laquerre, Airy), wäre das ein großes Plus.

Für einige fortgeschrittene Themen ist Gruppentheorie erforderlich.

Aber müssen Sie all diese mathematischen Formalismen kennen, um die Essenz der Gleichung zu verstehen? Laut Wikipedia, auf das in der Frage verwiesen wird, ist die Gleichung nichts anderes als (Gesamtenergie) = (kinetische Energie) + (potentielle Energie). Gibt es noch mehr?
@Zeynel Das ist ungefähr so, als würde man sagen, wenn man Kraft = Masse * Beschleunigung kennt, ist man ein Raketenwissenschaftler. Am Ende des Tages läuft die gesamte Physik darauf hinaus, etwas zu erhalten (Masse, Impuls, Energie, Ladung), aber das bedeutet nicht, dass Sie das Thema oder die Gleichungen verstehen, wenn Sie wissen, dass etwas erhalten bleibt.
Genauer gesagt hilft Ihnen die Mathematik dabei, die Natur der Begriffe zu verstehen. Ist es eine Quelle oder eine Senke? Linear oder nichtlinear? Wie würden Lösungen in jedem dieser Fälle aussehen? Wie ändert sich die Lösung, wenn sich die Randbedingungen ändern? Wie groß ist die relative Größe der Terme? All das sind Fragen, die man meiner Meinung nach bequem beantworten müsste, um zu sagen, dass man die Essenz der Gleichung versteht.

Um ein Gefühl dafür zu haben, was die Gleichung ist

ich ℏ ∂ ∂ T Ψ = H   Ψ

wie es um diese geht, hier einige Heuristiken:

Ein quantenmechanischer Operator wie P , die messbare physikalische Größen liefern, müssen Informationen über reelle Zahlen (nicht komplexe) enthalten . Dies wird dadurch gewährleistet, dass die Operatoren selbstadjungiert sind : P † = P . Eine Folge davon ist, dass Sie ein svalar-Produkt haben ⟨ Ψ , Φ ⟩ , dann haben Sie für den hermiteschen Operator ⟨ Ψ , P Φ ⟩ = ⟨ P † Ψ , Φ ⟩ = ⟨ P Ψ , Φ ⟩ . Ich gehe hier nicht auf die Unterscheidung zwischen selbstadjungiert und hermitisch ein, aber der Punkt ist, dass sie den Begriff einer symmetrischen Matrix verallgemeinern.

Der Hamilton-Operator H ist ein solcher "symmetrischer" Operator

H † = H ,
und dann die ich macht die physikalische Interpretation von Ψ vernünftig:

Der Betreiber

ICH := − ich ℏ   1
ist anti -selbstadjungiert

ICH † = ( − ich ℏ   1 ) † = − ich ∗ ℏ   1 = − ICH ,
und damit das Produkt
A := − ich ℏ H = ICH H
ist auch

A † = ( ICH H ) † = ( H ICH ) † = ICH † H † = − ICH H = − A .

Nummer bringen ich ℏ in der Schrödinger-Gleichung auf der anderen Seite lautet die Gleichung

∂ ∂ T Ψ = A   Ψ .

(Mit der formalen Lösung Ψ = e A T Ψ 0 .)

Wir sind zufrieden mit A anti-selbst-adjungiert sein: Die Schrödinger-Gleichung macht die Zeitentwicklung einheitlich , ähnlich wie in diesem Beispiel

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matixExp%5B%7B%7B0%2C-1%7D%2C%7B1%2C0%7D%7Dt%5D

Das Exponential einer antisymmetrischen Matrix ist eine Drehung.

Zum Beispiel, wenn Ψ ist eine Wellenfunktion, ⟨ Ψ , Ψ ⟩ ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Auffinden des/der beschriebenen Partikel(s). Diese Menge sollte sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Und dafür ist gesorgt A anti-selbstadjungiert sein:

∂ ∂ T ⟨ Ψ , Ψ ⟩ = ⟨ ∂ ∂ T Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ Ψ , ∂ ∂ T Ψ ⟩ = ⟨ A Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ Ψ , A Ψ ⟩ =
= ⟨ A Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ A † Ψ , Ψ ⟩ = ⟨ A Ψ , Ψ ⟩ + ⟨ ( − A ) Ψ , Ψ ⟩ = 0.

⟹ ⟨ Ψ , Ψ ⟩ = konst.

Die einfache Antwort: alles. Ich denke, es ist der Teil, in dem Sie mehr als nur Grundkenntnisse in jedem einzelnen Bereich der Mathematik verstehen müssen. Die Beherrschung von Calculus II, Linearer Algebra II, Statistik und Wahrscheinlichkeit II ist ein Muss. Ganz zu schweigen von Mehrgrößenrechnung, Differentialgleichungen bis hin zur Differentialgeometrie (wozu natürlich auch die Tensorrechnung gehört). Und viel, viel Geduld. Ich fürchte, es ist nichts Wunderbares und erfordert viel mehr als Ausdauer.

Welche Mathematik ist erforderlich, um die Schrödinger-Gleichung zu verstehen?
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