Welche mathematischen Kenntnisse sind für den Einstieg in die Quantenmechanik erforderlich?

Könnte mir jemand mit Erfahrung auf diesem Gebiet sagen, welche mathematischen Kenntnisse man mindestens haben muss, um das einführende Buch / den Kurs zur Quantenmechanik zu verstehen?

Ich habe Mathekenntnisse, aber ich muss sagen, derzeit ziemlich schlecht. Ich habe einen grundlegenden Einführungskurs in Analysis, linearer Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie gemacht. Vielleicht könnten Sie mir einige Bücher vorschlagen, die ich durcharbeiten muss, bevor ich mit QM beginnen kann?

Es ist einfacher, etwas zu lernen, wenn Sie es brauchen, also könnten Sie Ihr Interesse an QM nutzen, um sich selbst zu inspirieren, Mathematik zu lernen.
Verwandte Math.SE-Frage: math.stackexchange.com/q/758502/11127
Es gibt viele verschiedene mathematische Ebenen, auf denen man Quantenmechanik lernen kann. Sie können Quantenmechanik mit nichts anderem als Algebra der Junior High School lernen; Sie werden es einfach nicht mit der gleichen mathematischen Tiefe und Raffinesse lernen.

Antworten (6)

Ich hängt von dem Buch ab, das Sie zum Lesen ausgewählt haben. Aber normalerweise reichen einige Grundlagen in Analysis, linearer Algebra, Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeitstheorie aus. Zum Beispiel, wenn Sie mit Griffiths Einführung in die Quantenmechanik beginnen, stellt Ihnen der Autor freundlicherweise im Anhang die Rezension zur Linearen Algebra sowie einige grundlegende Tipps zur Wahrscheinlichkeitstheorie am Anfang des ersten Kapitels zur Verfügung. Um die Schrödinger-Gleichung (die eine (partielle) Differentialgleichung ist) zu lösen, müssen Sie natürlich die Grundlagen der Differentialgleichungen kennen. Außerdem werden zu gegebener Zeit einige Sonderfunktionen (wie Legendre-Polynome, Sphärische Harmonische usw.) auftauchen. Aber noch einmal, in einführenden Büchern, wie dem Buch von Griffiths, werden diese Dinge im Detail erklärt, so dass es keine Probleme für Sie geben sollte, wenn Sie ein aufmerksamer Leser sind. Dieses Buch ist eines der besten für den Anfang.

+1 für die Buchempfehlung. Dies war die, mit der ich unterrichtet wurde, und sie bot einen hervorragenden Ausgangspunkt.

Sie brauchen keine Wahrscheinlichkeit: Die im QM verwendete Wahrscheinlichkeit ist so grundlegend, dass Sie sie einfach aus dem gesunden Menschenverstand herausholen.

Sie brauchen lineare Algebra, aber manchmal wird sie im Buch selbst oder in einem Anhang besprochen.

QM scheint funktionale Analyse zu verwenden, dh unendlich dimensionale lineare Algebra, aber die Wahrheit ist, dass Sie es gut machen werden, wenn Sie die grundlegende endlich dimensionale lineare Algebra im üblichen Kurs über lineare Algebra verstehen und dann so tun , als ob alles für Hilbert-Räume wahr ist. zu.

Es wäre schön, wenn Sie einen Kurs in ODE belegt hätten, aber die Wahrheit ist, dass die meisten ODE-Kurse heutzutage nicht das einzige Thema behandeln, das Sie in QM benötigen, nämlich die Frobenius-Theorie für Gleichungen mit einem regelmäßigen singulären Punkt Die meisten QM-Lehrer wiederholen den Spezialfall dieser Theorie, die für das Wasserstoffatom ohnehin benötigt wird, und gehen leider, aber klugerweise davon aus, dass ihre Schüler es nie gelernt haben. Ein gewöhnlicher Calculus II-Kurs behandelt ODE-Grundlagen wie die Trennung von Variablen und so weiter. Überprüfen Sie es.

Ich schlage vor, Diracs Buch über QM zu verwenden! Es verwendet sehr wenig Mathematik und viel körperliche Einsicht. Die frühere Ausgabe von David Park ist eher standardisiert und einfach genug und kann mit einem linearen Algebrakurs und Calc I, CalcII und CalcIII verstanden werden.

Diracs Buch ist ohne Vorkenntnisse lesbar, +1, und es ist immer noch das Beste, aber es hat kein Pfadintegral, und die Behandlung der Dirac-Gleichung ist (ironischerweise) zu altmodisch. Ich würde empfehlen, die Matrixmechanik zu lernen, die auf Wikipedia schnell überprüft wird. Voraussetzung sind Fourier-Transformationen. Sakurai und Gottfried sind gut, ebenso wie Mandelstam/Yourgrau für Pfadintegrale.
Es gibt eine Geschichte über Dirac. Als sich herausstellte, dass die Parität verletzt war, fragte ihn jemand, was er davon hielte. Er antwortete: "Ich habe in meinem Buch nie etwas darüber gesagt." Die Dinge, die Sie erwähnen, die aus seinem Buch ausgelassen werden, sind Dinge, die man weglassen sollte. Pfadintegrale werden hochgespielt, sind aber nur ein mathematischer Trick und geben keinen physikalischen Einblick, tatsächlich sind sie irreführend. Gleiches gilt für die Matrizenmechanik. Genau aus diesen Gründen empfehle ich Dirac immer noch für Anfänger ... Ich wäre nicht einmal überrascht, wenn sich seine Behandlung von QED in der zweiten Auflage als haltbarer erweisen würde als die von Feynman ...
Die Matrizenmechanik ist gut, weil sie Ihnen zum Beispiel eine Intuition für Matrixelemente gibt, Sie verstehen sofort, dass ein Operator mit konstanter Frequenz ein Aufwärts-/Abwärtsoperator ist. Sie verstehen auch die halbklassische Interpretation von Matrixelementen außerhalb der Diagonale, sie sind nur verkümmerte Fourier-Transformationen klassischer Bewegungen. Sie verstehen auch, warum das Dipolmatrixelement die Übergangsrate angibt, ohne das Photonenfeld zu quantisieren, nur halbklassisch. Das sind alles wichtige Intuitionen, die verloren gegangen sind, weil Schrödinger Heisenberg massentauglich schlug.
Die Anekdote über die P-Verletzung ist, dass viele Leute sagten, dass P nur aus logischer Notwendigkeit in mehreren beschissenen Büchern über die Quantenmechanik erhalten blieb. Dirac wies darauf hin, dass er in seinem Buch nie gesagt habe, dass P eine fundamentale Symmetrie sei, und tatsächlich habe er dieses falsche Argument nicht vorgebracht. Diracs Behandlung von Symmetrien ist sehr gut, die einzige Stelle, die seinem Buch fehlt, ist die Motivation für kanonische Kommutierung. Historisch hat er dies aus Heisenbergs Interpretation der alten Quantenregel gewonnen. Die moderne Version ist Schrödingers. Aber ich finde Heisenbergs Weg immer noch am überzeugendsten.
Ihr Kommentar zu Pfadintegralen ist albern. Das Pfadintegral ergibt eine Vereinigung von Heisenberg und Schrödinger in einem Formalismus, der automatisch relativistisch ist. Es verleiht der imaginären Zeit eine analytische Fortsetzung, die Ergebnisse wie CPT, relativistische Regulatoren, stochastische Renormierung, Übergänge zweiter Ordnung, Fadeev-Popov-Geister, Supersymmetrie und Tausende anderer Dinge liefert, die ohne sie praktisch unmöglich wären. Das Teilchenweg-Weg-Integral ist die Quelle der S-Matrix-Formulierung und der String-Theorie, der Unitaritätsmethoden und allem Modernen.
Betrachten Sie insbesondere nur ein Pfad-Integral-dominiertes Ergebnis – die Operator-Produkterweiterung. Die Heisenberg-Operatoralgebra ist offensichtlich nützlich in der Feldtheorie, aber die Kommutierungsrelation ist nicht offensichtlich kovariant. Was sind die kovarianten Operatorbeziehungen? Diese stammen alle aus dem Pfadintegral, dies sind Operatorprodukte. Das OPE ist von zentraler Bedeutung für die 2D-Quantenfeldtheorie, die sowohl für Strings als auch für die statistische Mechanik von wesentlicher Bedeutung ist. Das Pfadintegral ist der richtige Formalismus für die Quantenmechanik, und ihn wegzulassen ist wie das Weglassen der Newtonschen Gesetze aus der klassischen Mechanik.
@Ron Wie dem auch sei, das ist kaum etwas, das jemand , der mit QM beginnt , verkraften kann oder sollte.
@Lagerbaer: Du hast recht. Aber ein Pfadintegral mit Betonung auf stochastischen Prozessen ist sogar für Nicht-Quantenstudenten zugänglich. Die Quantenversion ist einfach, sobald die stochastische Version verinnerlicht ist.
@RonMaimon Ich musste normalen, unbegabten Leuten stochastische Prozesse und Integrale beibringen. Stohastische Prozesse zählen meiner Meinung nach zur Wahrscheinlichkeitstheorie, einer der kniffligsten Teile, und Pfadintegrale sind auch hier keine Hilfe für Anfänger. Es ist immer noch besser für Anfänger, keinen Wahrscheinlichkeitskurs zu belegen und das, was sie über die Physik der QM lernen, ihre Einführung in stochastische Prozesse sein zu lassen ... Ich meine, neben dem, was sie bereits über stochastische Prozesse beim Spielen von Snakes and Ladders gelernt haben . Das ist Teil meines Themas: Lerne zuerst die Physik und später die mathematischen Tricks
@josef f. Johnson: Ich bin mir nicht sicher, was ich sagen soll – wenn Sie „normalen Leuten“ stochastische Prozesse beibringen (und ich bin mir nicht sicher, wo Sie andere als normale Leute finden würden, weil diese Leute nicht existieren), haben Sie zu sagen, dass X(t) mal dX/dt von der zeitlichen Reihenfolge abhängt und der Kommutator (die Differenz der beiden Ordnungen) 1 ist. Dies ist die Heisenberg-Kommutationsrelation in Form eines Pfadintegrals, und das ist sie auch das Ito-Lemma. Die Beziehung zwischen den beiden ist völlig intuitiv. Aber Sie sagten vorhin, Sie hielten es für einen mathematischen Trick, was nicht der Fall ist.

Es gibt ein schönes Buch mit einem extrem langen Titel: Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles . Es macht die Grundlagen ziemlich gut. Griffith's wäre der nächste logische Schritt. Danach gibt es Shankar .

Versuchen Sie diese zwei Vorträge von Leonard:

https://www.youtube.com/watch?v=5UqDb2BcxZk

https://www.youtube.com/watch?v=2STsUIHCaLU

Auch mehr unter https://glenmartin.wordpress.com/home/leonard-susskinds-online-lectures/

PS: Ich habe keinen physikalischen oder mathematischen Hintergrund, außer ein paar Grundlagen. Also kann ich nicht kommentieren, ob diese zu einfach für Sie waren.

Versuchen Sie es mit Schaums Outlines: Quantum Mechanics, ISBN 0-07-054018-7. Sie werden dort die Mathematik sehen, aber Sie müssen die tiefgreifenden Hintergrundstudien zu der gesamten Mathematik aus Kapitel 2 durchführen.

schönes und günstiges Buch

Gute Frage. Ich habe keinen physikalischen Hintergrund und muss für mein zukünftiges Studium Quantenmechanik lernen. Leider konnte ich im Gegensatz zu Steve Denton hier keine gründliche Antwort auf Stackex finden

Diese Antwort ist Steve Dentons Vorschlag auf der Quora-Website.

Mit den folgenden Voraussetzungen können Sie grundlegendes, nichtrelativistisches QM auf einer einführenden Ebene angehen:

Lineare Algebra (hauptsächlich Vektoralgebra und Matrizenalgebra, insbesondere einschließlich Eigenvektoren und Eigenwerte, die für QM absolut zentral sind) Komplexe Zahlen (insbesondere die Darstellung und Manipulation komplexer Zahlen in Form komplexer Exponentialfunktionen und die Darstellung von Wellen unter Verwendung derselben ) Differential- und Integralrechnung einer einzelnen Variablen, einschließlich gewöhnlicher Differentialgleichungen Grundlegende Wahrscheinlichkeit und Statistik Viele spezialisierte Konzepte und mathematische Funktionen, die in der elementaren QM auftauchen (z. Deltafunktionen, Dirac-Braket-Notation, Projektionsoperatoren etc.) werden Ihnen während Ihres QM-Studiums vorgestellt, sind also keine Voraussetzungen.

Für nichtrelativistisches QM auf mittlerem/fortgeschrittenem Niveau benötigen Sie mindestens ein paar zusätzliche Dinge:

Partielle Differentialgleichungen Sphärische Polarkoordinaten (viel verwendet in der Atom- und Kernphysik) Spezielle Funktionen (z. B. Legendre-Polynome und verwandte Funktionen) Komplexe Analysis (insbesondere die Residuenrechnung - dh komplexe Integration) Greensche Funktionen Fourier-Analyse Gruppentheorie Gute Vertrautheit mit der Klassik Analytische Mechanik, sowohl die Hamilton- als auch die Lagrange-Formulierung, und das Prinzip der kleinsten Wirkung wären an dieser Stelle ebenfalls sehr lohnenswert, da sie absolut zentrale Ideen und Techniken in jeder fortgeschrittenen Physik und insbesondere in der Quantenfeldtheorie sind.

Für die relativistische QM und die Quantenfeldtheorie benötigen Sie mindestens Folgendes:

Variationsrechnung oder Variationsrechnung (und ihre Anwendungen über das Prinzip der kleinsten Wirkung in der klassischen analytischen Mechanik) Funktionale Integration Tensorrechnung (in der 4D-Minkowski-Raumzeit; eine ausgewachsene allgemeine Tensorrechnung wird zum größten Teil nicht benötigt, aber einige Kenntnisse sowohl über sie als auch über die allgemeine Relativitätstheorie können gelegentlich nützlich sein und werden sicherlich benötigt, wenn Sie sich mit Bereichen wie Quantenkosmologie, Stringtheorie, Quantengravitation usw. befassen möchten.)

Darüber hinaus können Ihnen solide Kenntnisse der klassischen Mechanik helfen, da die klassische Mechanik in den Formalismen von Lagrange, Hamilton und Hamilton-Jacobi obligatorisch ist.

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