Vor einer Woche habe ich die Leute auf dieser Seite gefragt , welchen mathematischen Hintergrund man braucht, um die Quantenphysik zu verstehen, und die meisten von Ihnen haben Lineare Algebra erwähnt, also habe ich beschlossen, ein Selbststudium der Linearen Algebra durchzuführen. Natürlich bin ich erst seit 1 Woche dabei, aber ich habe einige Fragen.
Wie lässt sich das auf die Quantenphysik übertragen? Ich habe etwas über Matrizen gelernt (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Inversion) und darüber, wie man mehrere Gleichungen mit 3 Unbekannten mithilfe von Matrizen löst, und jetzt fange ich an, etwas über Vektoren zu lernen. Ich bin erst 1 Woche dabei, also ist dies wahrscheinlich nicht einmal die Spitze des Eisbergs, aber ich möchte wissen, wie mir das helfen wird.
Sagen wir auch, ich beherrsche lineare Algebra im Allgemeinen in einem halben Jahr (ich bin in der High School, aber ich bin extrem schnell in Mathe), welche anderen "Arten" von Mathematik müsste ich selbst lernen, bevor ich rudimentär verstehen kann Quantenphysik mathematisch?
Die Quantenmechanik „lebt“ in einem Hilbert-Raum, und der Hilbert-Raum ist „nur“ ein unendlichdimensionaler Vektorraum, sodass die Vektoren tatsächlich Funktionen sind. Dann ist die Mathematik der Quantenmechanik so ziemlich „nur“ lineare Operatoren im Hilbert-Raum.
Quantenmechanik Lineare Algebra -------------- -------------- Wellenfunktionsvektor Lineare Operatormatrix Eigenzustände Eigenvektoren Physikalisches System Hilbert-Raum physikalisch beobachtbare hermitische Matrix
Nun, lerne lineare Algebra. Ein weiterführender Text (über lineare Algebra über "Feld"-Zahlensystemen) sind diese Vorlesungsnotizen [html] von UC Davis.
Sobald Sie das erledigt haben, sollten Sie Differentialgleichungen studieren. Oder wenn Sie weiter springen möchten, vielleicht Fourier-Analyse. Eine kostenlose Referenz wären meine Notizen [pdf]. Es ist leicht physikalisch orientiert, verbindet die Ideen aber mit der linearen Algebra.
Quantenmechanik ist, wenn man es auf den Punkt bringt, Fourier-Analyse. (Anstelle des "Frequenzbereichs" haben Sie "Impulsraum" usw.)
Nun, wenn Sie quantitative Einblicke in QM gewinnen wollen, müssen Sie sich auch etwas mit Analysis befassen - hauptsächlich Differentialgleichungen, und wenn Sie wirklich darauf bestehen, auch Fourier-Analyse. In der High School wurde mir anständiges Grundrechnen beigebracht, also kennst du vielleicht schon einige der Grundlagen.
Ich schlage vor, sich eine gebrauchte Kopie von Zetteli zu besorgen . Kapitel 2 ist ein Überblick über die mathematischen Werkzeuge der QM, und ganz am Anfang von Kapitel 3 stehen die Postulate der QM.
Das zeigt Ihnen direkt die Mathematik, die Sie brauchen, und Sie können andere Bücher zu Rate ziehen, um detailliertere Erklärungen der Teile zu erhalten, die Ihnen Probleme bereiten.
Die Matrizen und Vektoren sind wichtig, weil sie sich sehr gut auf die Mathematik der QM abbilden lassen und somit die grundlegende Sprache bilden, in der die QM ausgedrückt wird. Während Sie sich weiter mit linearer Algebra beschäftigen, lernen Sie Eigenvektoren und Eigenwerte kennen. Diese dienen zur Beschreibung des für das QM wesentlichen Messprozesses.
Der erste große Schritt wäre Kalkül. Wirklich nur mit der Integration und Differenzierung aller Arten von Funktionen vertraut werden. Von da an kann ein wenig Wissen über Differentialgleichungen einen langen Weg zurücklegen. Wenn Sie nur dies wissen, können Sie einige grundlegende Probleme lösen. "Early Transcendentals" von Thomas ist ein gutes Rechenbuch. Dann gibt es einige schöne Bücher über Mathematik und Physik, die viele verschiedene Themen von linearer Algebra bis hin zu komplexer Analysis abdecken. Ich mag dieses Buch nicht besonders, aber ich benutze es, "Mathematical Methods in the Physical Sciences" von Mary Boas.
Quadratsymmetrische Matrizen (oder eher komplexe hermitesche Matrizen) repräsentieren die Observablen eines quantenmechanischen Systems. Ihre Eigenwerte repräsentieren die möglichen beobachteten Werte in idealen Experimenten. Es gibt eine Basis aus orthonormalen Eigenwerten, die es Ihnen ermöglicht, jeden Zustandsvektor als Linearkombination (Superposition) von Basisvektoren zu schreiben. Quadratische Absolutwerte von Skalarprodukten definieren Wahrscheinlichkeiten. Dann benötigt man Funktionen von Matrizen, insbesondere die Exponentialmatrix, die die Dynamik eines Systems angibt, und eine explizite Lösung der Schrödinger-Gleichung im Falle eines n-stufigen Systems.
Sie müssen also genug lernen, um diese Konzepte gut verstehen zu können: Matrix, Transponierte, konjugierte Transponierte, Linearkombination, Basis, Eigenwert, Eigenvektor, inneres Produkt, Matrix-Potenzreihe, Matrix-Exponential. Wikipedia hat gute zusammenfassende Artikel zu jedem dieser Themen, um Ihnen zu helfen, sich einen Überblick zu verschaffen. Sie können andere Dinge überspringen und bei Bedarf darauf zurückkommen.
In der Analysis benötigen Sie Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (diese beziehen sich auf die Exponentialmatrix) und die Fourier-Transformation. Letzteres beinhaltet die Integration in 3 Dimensionen, aber auch hier können Sie viel überspringen und zu übersprungenen Dingen zurückkehren, wenn Sie sie brauchen.
Dann können Sie in verschiedene quantenmechanische Texte oder Vorlesungsmitschriften schauen, zum Beispiel in mein Online-Buch http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 – das erste Kapitel davon sollte auch mit geringen Vorkenntnissen verständlich sein, wenn Sie es ansatzweise können Konzepte ohne vollständiges Verständnis akzeptieren. Vielleicht hilft auch mein FAQ http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html . Indem Sie diese lesen und notieren, wo Sie den Überblick verlieren, können Sie herausfinden, welche anderen Konzepte Sie benötigen, um Ihrer Lektüre einen Sinn zu geben. Dies wird Ihnen sagen, was Sie sonst noch lernen müssen. Letztendlich ist fast die gesamte lineare Algebra und Analyse in der Quantenmechanik nützlich, aber was und wann hängt davon ab, woran Sie interessiert sind.
Es gibt ein nettes Buch, das sich an begabte Highschool-Schüler richtet und von Thomas Jordan an der University of Minnesota, Duluth, geschrieben wurde. Es heißt Quantenmechanik in einfacher Matrixform und ist eine kurze Einführung in komplexe Zahlen, lineare Operatoren und QM. Ich glaube, der Autor hat es verwendet, um eine Sommerschule für Gymnasiasten und einen Universitätskurs in QM für geisteswissenschaftliche Hauptfächer zu unterrichten; Es ist kein schlechter Ausgangspunkt für jemanden auf der Ebene der OP (High School).
Schwerkraft_CK
sahan kt