Ist die Summe zweier linearer Ausdrücke immer ein linearer Ausdruck?

Vor ein paar Wochen kam mein Sohn zu mir und fragte mich, warum das automatisierte Mathe-Hausaufgabenprogramm der Schule ihm sagte, dass die Summe zweier linearer Ausdrücke nicht immer ein linearer Ausdruck sei. An dieser Stelle stellen wir unsere Fragen aus eigenem Interesse, geweckt durch das Hausaufgabenproblem. Als jemand, der sich hauptsächlich mit Gleichungen und nicht mit Ausdrücken beschäftigt, hat es einige Wochen gedauert (wir sind beschäftigt), um herauszufinden, weil ich nicht damit vertraut bin, wie Dinge definiert werden. Lassen Sie mich also einige Definitionen teilen, bevor ich meine Frage stelle Fragen.

Ausdruck

"Ausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen und Operatoren kombiniert, um den Wert von etwas zu zeigen." Es enthält kein Gleichheitszeichen. Unterschied zwischen Ausdruck und Gleichung

Sie tauschen in diesem Zusammenhang gerne das Wort auswerten mit gleich aus, wenn Sie den Wert einer Variablen einfügen und das Problem lösen.

Zum Beispiel:

5 X + 4 ist ein Ausdruck, aber 0 = 5 X + 4 ist nicht.

Linear

Anstatt eine grafische/geometrische Definition über eine Linie zu haben oder eine bestimmte Gleichungsform zu haben, sagt das Lineare in diesem Fall, dass die Potenz jeder Variablen im Ausdruck ist 1 .

Zum Beispiel:

5 X , 5 X + 5 j , 5 X + 2 sind alle linear. 5 X 2 ist nicht linear.

Die Fragen:

Die Lösung der Antwort impliziert Folgendes. Nehmen wir an, Sie haben zwei lineare Ausdrücke, wobei ein Ausdruck den entgegengesetzten Variablenwert des anderen Ausdrucks hat (z. B.: 5 X + 2 Und − 5 X + 2 ), dann ist die Addition dieser beiden Ausdrücke eine Konstante und kein linearer Ausdruck, da Sie keine Variable mit einer Potenz von haben 1 .

  1. Warum wäre eine Antwort auf das vorherige Beispiel der Addition der beiden Ausdrücke 5 X + 2 Und − 5 X + 2 nicht sein 0 X + 2 anstatt nur 2 ? Würde 0 X + 2 angesichts der obigen Definitionen immer noch als linearer Ausdruck angesehen werden? Wenn wir uns später mit linearen Funktionen befassen würden, falls Sie dies getan haben F ( X ) = 2 , dann hast du eine implizite 0 X da drin. Warum wird dies anders betrachtet?

  2. Sind diese Definitionen allgemein gebräuchlich oder wird dies von einem bestimmten Autor / Herausgeber erstellt? Ich glaube, es soll sich auf den Common Core-Standard für die Klassen 6-8 zu Ausdrücken und Gleichungen beziehen, aber ich konnte nicht herausfinden, wie.

  3. Woher kommen diese Definitionen in Bezug auf welchen Zweig der Mathematik? Ich habe sie meistens aus dem Internet gejagt.

  4. Wo wird diese Form außer im Mathematikunterricht verwendet? Wo kann ich mehr darüber erfahren, wie es verwendet wird und warum es existiert?

    Ich möchte meinem Kind entweder erklären können, wo, wie und warum es auf diese Weise verwendet wird. Wenn es nur einer dieser Bauschritte mit einer zusätzlichen Wendung ist, die in der Schule verwendet werden, um zum nächsten Thema zu gelangen (lineare Gleichungen), und die er, sobald er über dieses Jahr hinaus ist, im Grunde ignorieren kann, um den Rest der Mathematik zu machen, das ist auch gut.

  5. Es scheint, als gäbe es in dieser Bewertung eine implizite Gleichheit. Sogar an den verschiedenen Stellen, an denen es in den Schulbüchern der Kinder verwendet wird, sehe ich, dass sie das Gleichheitszeichen verwenden, wenn sie über die Bewertung des Ausdrucks sprechen. Welchen Unterschied versucht man in diesem Zusammenhang mit der Unterscheidung zwischen Evaluation und Gleichberechtigung zu vermitteln?

Ergänzungen aufgrund von Kommentaren:

Das computergestützte System selbst lieferte eine Aussage, bei der Sie die Antwort ändern konnten, ob sie gültig ist oder nicht. Es hatte die umschriebene Form "Ihr Freund sagt, die Summe zweier linearer Ausdrücke ist immer ein linearer Ausdruck. Hat er Recht?" Ihnen wurde dann eine Aussage gegeben, in der Sie den Wortlaut einer Aussage ändern konnten, die wie folgt lautete, wiederum paraphrasiert. „Wenn Sie zwei lineare Ausdrücke addieren, wobei ein Ausdruck den entgegengesetzten Wert [Variable | Konstante] hat, dann ist das Ergebnis ihrer Addition [kein|kein] linearer Ausdruck.

Hier ist ein Beispiel, in dem angezeigt wird, dass die Addition dieser beiden Ausdrücke kein linearer Ausdruck ist.

  • Ausdruck 1: 4 X + 2
  • Ausdruck 2: − 4 X + 2
  • ( 4 X + 2 ) + ( − 4 X + 2 ) ⟹ 2
  • 2 ist eine Konstante und somit kein linearer Ausdruck.

Ich habe diese spezielle Definition für linear noch nie irgendwo anders gesehen. Ich bin mit dem Begriff linear besser vertraut, als der Kommentar von JMoravitz unter Verwendung des Begriffs affine oder in den algebraischen Gleichungsformen beschrieben hat j = M X + B und seine verwandten Formen. Meine Fragen beziehen sich darauf, woher diese Definition von linear kommt und wo ich mehr darüber erfahren kann.

Können Sie ein Beispiel für zwei "lineare Ausdrücke" geben, bei denen das System nicht glaubte, dass ihre Summe linear war? Automatisierte Systeme können natürlich zutiefst dumm sein. Ich hätte gesagt, dass "linearer Ausdruck" hier nur " A X + B für einige A , B ∈ R ". Vielleicht fordert das System A ≠ 0 ?
Wenn ein linearer Ausdruck definiert ist als "die Potenz jeder Variablen ist 1", dann ist jede Konstante (vage) linear, da es keine Variablen gibt. Ich denke jedoch nicht, dass dies zum Beispiel eine gute Definition ist j 2 − j 2 + X wäre unter dieser Definition nicht linear, obwohl sie äquivalent ist zu X .
@Jean-ClaudeArbaut Einverstanden, obwohl es für elementare mathematische Texte ziemlich üblich ist, sich auf Systeme wie zu beziehen A X + B als linear. Schließlich ist der Graph einer solchen Funktion eine Linie.
Nur um es zu betonen: Ich habe Beispiele für absurde Starrheit von automatisierten Systemen gesehen. Selbst wenn beispielsweise Wahrscheinlichkeiten in der Aufgabe als Dezimalzahlen angegeben sind, weist das System alle Antworten zurück, die nicht als Prozentzahlen gepostet wurden. Ich würde solche Dinge "Fehler" nennen, ich würde nicht versuchen, gute Mathematik darauf aufzubauen.
Abgesehen davon, wegen der Verwechslung zwischen linear im Sinne von "der Graph einer Linie" und linear im Sinne der linearen Algebra, werden Sie sehen, dass die Bedeutung des Graphen einer Linie stattdessen " affin " genannt wird, um weitere Verwirrung auf höheren Ebenen zu vermeiden . Leider haben Lehrbücher auf niedrigerem Niveau und die allgemeine Öffentlichkeit die Konvention noch nicht verstanden.
@Jean-ClaudeArbaut Auch auf Englisch! Obwohl, wie gesagt, Elementartexte neigen dazu, in Bezug auf die Unterscheidung ziemlich nachlässig zu sein.
Ich habe diese Frage als zu allgemein gekennzeichnet. Ich sehe hier mindestens drei Fragen: (1) Was bedeutet es, dass eine Funktion linear ist? (2) Wo kann ich diese Definition nachlesen? und (3) Was sagt der gemeinsame Kern dazu? (1) hat mit ziemlicher Sicherheit eine Antwort auf MSE; (2) könnte hier eine vernünftige Frage sein, aber sie wird wahrscheinlich besser an Mathematiklehrer gestellt ; und (3) passt definitiv besser zu Mathematiklehrern .
Als zusätzliche Nebenbemerkung in Bezug auf linear aus dem Sinn der linearen Algebra, F ( X ) = 5 X + 2 ist nicht linear ( obwohl es affin ist ), da es die Anforderung nicht erfüllt, dass F ( a X 1 + β X 2 ) = a F ( X 1 ) + β F ( X 2 ) , zum Beispiel F ( 0 X ) = 2 ≠ 0 = 0 F ( X )
In Bezug auf eine lineare Funktion ist mir bewusst, was eine lineare Funktion ist. Ich war mehr an dieser alternativen Definition interessiert, die verwendet wurde, und woher sie kommt. Die zahlreichen Fragen zu diesem Thema sollen den Leser in die richtige Richtung weisen, wonach ich gesucht habe. Der Common Core war nur eine Referenz, die ich bei der Recherche zu diesem Thema verwendet habe. Es ist mir egal, was der Common Core dazu zu sagen hat, abgesehen davon, wie es sich auf die Gesamtfrage bezieht. Wenn Sie der Meinung sind, dass matheducators.stackexchange.com den Zweig der Mathematik besser bewältigen kann, frage ich dort nach.
Es ist immer so, dass Beispiele viel nützlicher sind als Definitionen, besonders wenn es zu Verwirrung kommt. Können Sie ein Beispiel für zwei "lineare Ausdrücke" geben, die die Maschine zu etwas summiert, das kein "linearer Ausdruck" ist? Ich wette, ein Beispiel wird die ganze Frage klären.

Antworten (1)

Kurze Antwort: Die angegebene Lösung ist falsch. Linearität sollte nicht charakterisiert werden durch „den Wert der Macht, zu dem X wird erhoben".

Eine genaue Definition hängt vom Kontext ab – Grundschule, Algebra I, Lineare Algebra im Studium. Dein Argument über Linien in der Ebene ist das Richtige für die 6. Klasse.

Mit jeder vernünftigen Definition wird die Summe der linearen Dinge linear sein.

Für eine Diskussion des Gleichheitszeichens kann dies hilfreich sein:

Was genau ist eine Gleichung?

Ist die Summe zweier linearer Ausdrücke immer ein linearer Ausdruck?
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