High School Algebra-Lehrbücher für begabte Schüler

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Ich suche Algebra/Mathematik-Lehrbücher für Gymnasiasten, die sich an begabte Schüler richten, als Vorbereitung auf vollständig strenges Rechnen à la Spivak. Ich interessiere mich für die besten verfügbaren Materialien in Englisch, Französisch, Deutsch oder Hebräisch.

Idealerweise sollten die Bücher eine umfassende Einführung in die Algebra auf diesem Niveau bieten, beginnend mit den grundlegendsten Operationen mit Polynomen. Es sollte die notwendige Theorie enthalten (z. B. Bezouts Restsatz über Polynome, Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik, Euklids Algorithmus, eine ehrlichere Diskussion reeller Zahlen als üblich, Beweise der Eigenschaften rationaler Exponenten usw. und eine allgemeine Einstellung dass alle Aussagen bis auf wenige Ausnahmen zu beweisen sind). Es sollte auch Probleme haben, die von Übungen reichen, die die Schüler mit den grundlegenden algebraischen Manipulationen von Polynomen vertraut machen, bis hin zu viel schwierigeren.

Konkret suche ich nach etwas, das im Geiste einer Reihe ausgezeichneter russischer Bücher von Vilenkin für Schüler in sogenannten "mathematischen Schulen" der Klassen 8 bis 11 ähnelt, obwohl ich nur nach dem Äquivalent zu den Büchern der Klassen 8 und 9 suche , die sich auf der Präkalkülebene befinden. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben, hier ein Beispiel typischer Probleme aus dem Buch der 8. Klasse.

1. Führen Sie die angegebenen Vorgänge aus.$\frac{3p^2mq}{2a^2 b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2 y^2} : \frac{9a^2 b^2 c^3}{28pxy}$

2. Beweisen Sie das wann$a \ne 0$, das Polynom$x^{2n} + a^{2n}$ist weder durch teilbar$x + a$noch durch$x - a$.

3. Beweisen Sie, dass wenn$a + b + c = 0$, Dann$a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c) (b + c) = 0$.

4. Beweisen Sie, dass wenn$a > 1$, Dann$a^4 + 4$ist eine zusammengesetzte Zahl.

5. Beweisen Sie, dass wenn$n$ist relativ prim zu$6$, Dann$n^2 - 1$ist durch 24 teilbar.

6. Vereinfachen$\sqrt{36x^2}$.

7. Vereinfachen$\sqrt{12 + \sqrt{63}}$.

8. Beweisen Sie, dass die Differenz der Wurzeln der Gleichung$5x^2 -2(5a + 3)x + 5a^2 + 6a + 1 = 0$hängt nicht davon ab$a$.

9. Löse die Ungleichung$|x - 6| \leq |x^2 - 5x + 2|$.

Und hier sind die Kapitelüberschriften für die Bücher der Klassen 8 und 9.

Klasse 8: Brüche. Polynome. Teilbarkeit; Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Reale Nummern. Quadratische Gleichungen; Systeme nichtlinearer Gleichungen; Auflösung von Ungleichheiten.

Klasse 9: Elemente der Mengenlehre. Funktionen. Kräfte und Wurzeln. Gleichungen und Ungleichungen und Systeme davon. Sequenzen. Elemente der Trigonometrie. Elemente der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

An anderer Stelle wurden im Großen und Ganzen ähnliche Fragen gestellt, aber die dort gemachten Vorschläge sind für meine Zwecke nicht zufriedenstellend.

1. Die englischen Übersetzungen von Gelfands Büchern sind gut; Sie sind jedoch keine ausreichend breite Einführung in die Algebra der High School und enthalten nicht genügend Material zur Computertechnik. Sie haben eher den Charakter von Ergänzungen zu einem gewöhnlichen Lehrbuch.

2. Einige Bücher aus dem 19. Jahrhundert wie Hall und Knight wurden vorgeschlagen. Was konzeptionelles Material anbelangt, so sind diese in Sprache und Sichtweise tendenziell zu alt.

3. Basic Mathematics von Serge Lang scheint sich eher mit verschiedenen Themen zu beschäftigen, als eine gründliche Einführung in die Algebra zu geben.

4. Ich neige nicht zu Büchern mit einer sehr starken "Neuen Mathematik"-Orientierung (z. B. 1971-1983 Frankreich). Ich denke nicht, dass ein Student die Gruppe der affinen Transformationen von verstehen sollte$\mathbb{R}$zu wissen, was eine Linie ist.

Auch frühere Fragen haben sich vielleicht implizit auf Material in englischer Sprache konzentriert. Ich denke an einen Studenten, der auch problemlos Französisch, Deutsch oder Hebräisch lesen kann, wenn sich in diesen Sprachen etwas Besseres finden lässt.

Bearbeiten. Ich möchte klarstellen, dass ich nicht nach etwas frage, das mit diesen Büchern identisch ist, sondern nur etwas, das ihrem Geist so nahe wie möglich kommt. Im Wesentlichen bedeutet dies: 1. Es ist ein Ersatz für ein reguläres Schulalgebra-Lehrbuch und nicht nur eine Ergänzung. 2. Es richtet sich an die fähigsten Schüler. 3. Es vermittelt die Botschaft, dass Beweise und kreatives Problemlösen für die Mathematik zentral sind.