Reale Analyse im Selbststudium – Tao oder Rudin?

Die Anfragen nach Referenzen für Analysebücher sind so zahlreich geworden, dass sie jegliche Nützlichkeit, die sie hätten haben können, zunichte gemacht haben. Hier kommt also noch einer.

Vor kurzem habe ich begonnen, über Rudin echte Analyse zu lernen. Ich würde alle Übungen machen, und wenn ich sie nicht innerhalb eines Zeitlimits (normalerweise etwa 30 Minuten) schaffen könnte, würde ich die Antworten nachschlagen. Kombiniert mit den hervorragenden Online-Vorlesungen von Francis Su machte ich schnell Fortschritte. Ermutigt beabsichtige ich nun, Analysis II und Funktionentheorie im Selbststudium zu studieren. Abgesehen von seinem wenig informativen und trockenen Stil deckt Rudins Buch jedoch nicht alles ab, was ich studieren möchte.

Nach der Suche nach einem geeigneten Lehrbuch hat mich Analysis I&II von Terry Tao besonders angesprochen. Seine Breite an Wissen und sein Talent für eine klare Darstellung sind berühmt, aber ich mag besonders, dass er ganz am Anfang anfängt und von dort aus aufbaut, sowie echte Analysen in ein größeres einheitliches Ganzes einfügt. Seine Bücher würden genau das abdecken, was ich studieren möchte. Zum Beispiel deckt er Fourier-Serien ab, was Rudins nicht tut.

Nach stundenlanger Suche konnte ich jedoch keine Lösungssätze finden. (abgesehen von einigen wenigen über die frühesten Kapitel). Es ist meine Erfahrung, dass es selbst mit einem hervorragenden Lehrbuch fast unmöglich ist, ein Thema ohne Lösungen oder ständiges Feedback gründlich zu studieren. Was mir nur wenige Optionen lässt:

  1. Fahren Sie mit Rudin fort, vielleicht mit einem ergänzenden Buch.
  2. Versuchen Sie, ohne Lösungen mit Terry Taos Analysis I&II zu arbeiten.
  3. Finden Sie ein ganz anderes Buch, das sowohl umfassend und lesbar ist als auch mindestens einen Teillösungssatz enthält.

Ich weiß, dass viele Leute Rudin empfehlen werden, aber ich muss ihre Erfahrung mit dem Selbststudium bezweifeln: Ja, es ist möglich, direkt von Rudin zu lernen, aber es ist schmerzhaft und langsam. Und ehrlich gesagt habe ich das Gefühl, dass viele Leute viel Zeit und Mühe in Rudin gesteckt haben und das Gefühl haben, dass es ihnen nicht nur die Analyse beigebracht hat, sondern ihnen auch mathematische Reife gebracht hat. Das ist alles schön und gut, aber es ist nicht das, was mich interessiert.

Eine andere Idee wäre, beides zu bekommen und Tao zu lesen, während man die Übungen in Rudins macht. Ich denke jedoch nicht, dass das eine gute Idee wäre, viele Theoreme im Tao werden dem Leser überlassen und das Tempo und die Berichterstattung beider Bücher sind sehr unterschiedlich. Im Allgemeinen mag ich es nicht, mehr als ein Buch zu bekommen.

Kennt jemand einen erweiterten (Teil-)Lösungssatz zu Terrys Analyse I&II oder sonst eine Referenz für ein anderes Buch, das geeignet wäre?

Wenn Taos Buch „genau das abdeckt, was [Sie] studieren wollen“, dann würde ich sagen, Sie sollten Taos Buch lesen und alle Fragen, die Sie haben, / Probleme, die Sie nicht lösen können, auf dieser Seite posten.
Ein kleiner Punkt: Rudin macht Fourier-Reihen in Kapitel 8.
Das Schreiben einer Frage auf Mathexchange kostete mich mindestens 30 Minuten und häufig mehr als eine Stunde. Ich finde, dass ich einen beträchtlichen Teil der Fragen nachschlagen muss, also bin ich mir nicht sicher, ob das der beste Weg wäre.
@LeeWang Obwohl es eine Weile dauert, eine Frage zu Mathexchange zu schreiben, finde ich es zumindest persönlich sehr nützlich, die Frage in eigenen Worten zu formulieren und Ihren Versuch zu beschreiben. Bei zahlreichen Gelegenheiten hatte ich gerade durch diese Übung tatsächlich neue Ideen.
Nun, Baby Rudin ist zugunsten der modernen Analyse verdichtet und deckt nicht viele Materialien ab, sagen wir, das unendliche Produkt des Sinus, die asymptotischen Methoden, die analytischen Eigenschaften von Fourier-Reihen usw. Es deckt jedoch die grundlegenden Werkzeuge für ab weiteres Studium. Soweit ich Erfahrung habe, ist der Fortschritt des Studiums nicht so langsam, zumindest was die Ein-Variablen-Kalküle betrifft, obwohl Rudins Darstellung ziemlich trocken ist. Wenn Sie zusätzliches Material haben möchten, können Sie nach Baby Rudin einige Lehrbücher mitnehmen. Zum Beispiel Steins Fourier-Analyse oder Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Nur um es vorweg zu nehmen, wenn Sie daran interessiert sind, sich mit PDEs oder mathematischer Physik zu befassen, empfehle ich das Buch von Lieb und Loss über Analysis.
Wichtige Probleme zu lösen ist eine bessere Wahl als viele Probleme zu lösen. Und 30 Minuten für ein Problem sind nicht viel...
Ich mag die Bücher von Tao ziemlich, besonders wie er am Anfang in den sauren Apfel beißt und zuerst die Zahlensysteme konstruiert. Das wird viele Analysten entsetzen, aber ich denke, eines der Hauptprobleme, mit dem Studenten Probleme haben, wenn sie Analysis lernen, ist, dass sie die wirklichen Zahlen nicht wirklich verstehen. Wenn ein Student sie einmal konstruiert hat, tun sie es danach selten.
Diese Frage hätte ich fast vergessen. Ich hätte sicher nicht erwartet, dass es so beliebt ist. Vielleicht ist es nützlich, wenn ich erzähle, was ich getan habe. Ich habe Taos Buch verwendet, insgesamt war es eine gute Lektüre, aber ohne das Feedback eines Kurses oder Lösungen fand ich später heraus, dass mein Wissen nicht sehr gründlich war und ich das meiste davon im nächsten Jahr neu lernen musste. Im Nachhinein wäre ich mit Rudin besser dran gewesen, da es Lösungssets online gibt. Allerdings vermute ich, dass dies auch nicht so erfolgreich gewesen wäre; Selbststudium ist schwer. Die wichtige Lektion ist, dass man jemanden haben sollte, mit dem man über das Material sprechen kann.
Als jemand, der Rudin selbst studiert hat (und auch Sus Vorlesungen nutzte), kann ich sagen, dass ich das gleiche Problem hatte wie Sie: Ich habe es durchgearbeitet und es machte damals Sinn, aber ich habe eigentlich kein gründliches Verständnis bekommen und hatte den Kurs wiederholen.
Solutions to Principles of Mathematical Analysis (veröffentlicht 1976): minds.wisconsin.edu/handle/1793/67009 .

Antworten (5)

Eines vorweg: Sie sollten Probleme nicht nach 30 Minuten aufgeben. Machen Sie eine Pause, versuchen Sie ein anderes Problem, warten Sie vielleicht ein paar Tage und versuchen Sie es erneut – Sie werden viel mehr von dem Problem profitieren, wenn Sie sich abmühen und es selbst lösen. Der Zugriff auf Lösungen kann hilfreich sein, aber Sie möchten sich nicht darauf verlassen müssen. (Es gibt einen Satz, der oft herumgeworfen wird: "Wenn Sie ein Problem nicht lösen können, dann gibt es ein einfacheres Problem, das Sie nicht lösen können; finden Sie es").

Baby/Blue Rudin ist ein großartiges Buch für eine Einführung in die Grundlagen der Analyse (jenseits der "fortgeschrittenen Kalküle" mit einer Variablen). Danach würde ich vorschlagen, sich die Reihe „Lectures in Analysis“ von Elias Stein und Rami Shakarchi anzuschauen (Stein war eigentlich der Berater von Terrence Tao). Diese Bücher behandeln einführende Fourier-Analyse, komplexe Analyse, Maßtheorie und Funktionsanalyse. Nebenbei machen die Autoren Sie mit allen Arten von tiefgehenden und aufschlussreichen Anwendungen bekannt (einschließlich PDEs, analytischer Zahlentheorie, additiver Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit). Von allen Analysis-Lehrbüchern, die ich mir angesehen habe, habe ich das Gefühl, dass ich am meisten von der Zeit profitiert habe, die ich mit der Reihe von Stein und Shakarchi verbracht habe – diese Bücher werden Sie dem „größeren Bild“ aussetzen, das viele klassische Texte ignorieren (obwohl die "

Ich habe Teile von Terrence Taos Notizen zur Analyse überflogen, und diese scheinen auch eine gute Option zu sein (obwohl ich mir seine Notizen auf Graduiertenniveau angesehen habe, weiß ich nicht, ob Sie sich darauf beziehen). Ich habe immer viel aus den Erläuterungen von Tao herausgeholt, also können Sie mit den Notizen wahrscheinlich trotzdem nichts falsch machen. Wenn Sie das Gefühl haben, dass Sie mehr Übungen benötigen, haben Sie keine Angst, mehrere Bücher zu verwenden! Das Herumtragen eines Stapels Bücher kann lästig werden, aber es ist immer hilfreich zu sehen, wie verschiedene Autoren dasselbe Thema angehen.

"...Sie sollten Probleme nicht nach 30 Minuten aufgeben" - als jemand, der Baby Rudin in seiner Einführung in die Analyse verwendet hat, werde ich sagen, dass Rudins Probleme (von denen viele in anderen Lehrbüchern vorkommen) oft nicht etwas sind a Ein kompletter Anfänger vergeht in 30 Minuten (3 Stunden sind eher so ... manchmal). Ich schließe mich der Empfehlung der Princeton Lectures in Analysis an, obwohl man in späteren Büchern sieht, dass Steins Vorlieben für die harmonische Analyse wirklich durchkommen. Das ist gut so, aber auch andere Analyseperspektiven (z. B. ein PDEs-Fokus in der Funktionsanalyse nach Brezis) sind schön zu sehen.
Aber stein deckt das nicht wirklich ab L P Space, haben Sie eine Empfehlung zum Lernen L P Räume. Denken Sie auch, dass es sich lohnt, alle Übungen von Stein durchzugehen?
Das vierte Buch in der Reihe von Stein und Shakarchi hat ein gutes Kapitel darüber L P Räume. Andere gute Quellen sind Follands Analysebuch Rudin und diese Notizen von Tao: math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes1.pdf (obwohl diese auf einem höheren Niveau sind)

Holen Sie sich das Buch „Mathematische Analysis“ von Thomas Apostol. Ich studiere für eine Eignungsprüfung für moderne Analyse und habe vor einem Jahr einen Kurs in "Baby" -Realen mit Rudin abgeschlossen und mich gelegentlich selbst auf Apostol bezogen, um Hilfe zu erhalten. Aus der lächerlichen Reihe von Texten, die ich aus der Bibliothek ausgeliehen habe, um mir beim Lernen für meine Analysis-Qualifikation zu helfen ("Baby" und "Mama" Rudin, Aliprantis, Folland, Haaser und Sullivan, Bruckner 2 und Thomson, Lang, Bass, Berberian usw. usw. usw.) ist es eigentlich immer noch das Buch von Apostol, das ich am meisten studiere - es deckt nicht nur alle Themen ab, die für die einführende Analyse entscheidend sind, sondern hat auch wichtige Verbindungen zu moderne Analyse, die den meisten Texten fehlt. Siehe zum Beispiel die nebeneinander stehenden Kapitel über mehrere Riemann- und Lebesgue-Integrationen und die natürliche Entwicklung der Lebesgue-Integration nach seinem Kapitel über Reihen von Funktionen.

Es gibt TONNENweise Beispiele, Gegenbeispiele (die zeigen, WARUM bestimmte Theoreme auftauchen) und für die Analyse entscheidende Themen, denen in anderen Texten nicht so viel Aufmerksamkeit geschenkt wird, wie z. Auf die großen Konvergenztheoreme und wichtigen Konsequenzen folgen Beispiele aus der Praxis und Übungen mit tatsächlichen Funktionen, nicht nur "herumdrücken". F N 's." Es gibt sogar ein ganzes Kapitel, das Fourier-Reihen und Integralen gewidmet ist, etwas, das bei Rudin vergleichsweise an die Ecke gedrängt wurde.

Rudin ist fantastisch, wenn Sie IMO Vorlesungen halten, aber kein Selbststudium. Im Vergleich dazu ist Apostol ein enzyklopädischer Text, der praktisch einen Lehrer direkt auf den Seiten hat. Es gibt irgendwo im Internet Lösungen zu Übungen aus den ersten acht Kapiteln; Die Übungen reichen von routinemäßig bis extrem schwierig.

Der einzige Kritikpunkt ist der fehlende Fokus auf die Maßtheorie. Das Lebesgue-Integral wird meiner Meinung nach als eine Art natürliche Erweiterung von Riemann entwickelt, und am Ende werden einige Abschnitte der Maßtheorie als Randbemerkung eingefügt. Mir persönlich gefällt diese Entwicklung nicht, aber sie ist einen Blick wert, wenn Sie noch nie mit der Lebesgue-Integration in Berührung gekommen sind. Vermeiden Sie außerdem, wie es bei fast allen klassischen Texten zur reellen Analysis üblich ist, das letzte Kapitel (in diesem Fall eine viel zu kurze Zusammenfassung der Komplexen Analysis).

Wenn Sie nach etwas suchen, das etwas "entschärfter" ist, aber über dem Niveau von, sagen wir, Bartles oder Lays Bachelor-Texten liegt, würde ich "Understanding Analysis" von Stephen Abbott empfehlen. Dies ist ein weiteres wunderbares Buch, das sich auf die Ideen konzentriert, die mir derzeit am meisten helfen, und es ist viel prägnanter als Apostol. Es enthält Fourier-Analysematerial im letzten Kapitel (blättern Sie einfach an seiner Reproduktion von Bartles Plug für das Gauge-Integral vorbei). Dieses Buch enthält ein Lösungshandbuch, das Sie beim Autor gegen eine Gebühr bestellen können, wenn Sie ihn kontaktieren.

Abschließend würde ich Pughs „Real Mathematical Analysis“ empfehlen. Das ist relativ schwer mit Topologie, und die Probleme sind sehr schwierig (und es gibt ein oder zwei seltsame, die nach Dingen fragen, wie Reime über Theoreme oder so etwas zu finden), aber Sie lernen viel Geometrie und Sie bekommen sogar Bilder dazu Komm damit klar. Der Nachteil ist, dass es sehr gesprächig ist.

Alles in allem kann man mit Apostols „Mathematical Analysis“ nichts falsch machen, wahrscheinlich mein Lieblingsmathebuch aller Zeiten außer Ahlfors „Complex Analysis“ (das man sich auch besorgen sollte, auch wenn man keinen Grund dazu hat) . Die beiden Calculus-Texte von Apostol sind ausgezeichnete Begleiter, wenn Sie auch "auffrischen" müssen - sie sind meiner Meinung nach die besten Calculus-Texte, die jemals geschrieben wurden, und führen so natürlich zu "Mathematical Analysis", dass ich sie in gewisser Weise als dreibändiges Set betrachte .

Ich werde zweites Apostol! Ich möchte auch hinzufügen, dass für einen großartigen Ansatz mit einigen Antworten auf Übungen aus der Perspektive der Maßtheorie Emmanuele diBenedettos Real Analysis ein weiteres ausgezeichnetes Buch ist, das für das Selbststudium verwendet werden kann
Ich stimme den meisten Ihrer Antworten vollkommen zu, insbesondere zu Pugh, das ich gerne "Rudin richtig gemacht" nenne. Ich liebe Apostol auch, aber der Nachteil von Apostol ist, dass die Übungen viel zu einfach sind. (In der Tat – ich habe mehr oder weniger die Analyse gelernt, indem ich Apostol gelesen und die Übungen in Rudin gemacht habe!) Pugh ist genauso ausgereift und prägnant wie Rudin – aber es ist VIEL informativer und tiefer. Pugh hat die Gabe, genau zu wissen, wie viele Worte nötig sind, um etwas zu erklären – kein Wort mehr, kein Wort weniger. Was das „Geschwätz“ angeht – nun ja, JEDES Buch im Vergleich zu Rudin wird gesprächig sein! Apostol ist weitaus gesprächiger!

Ich habe den größten Teil meiner Analyse aus Taos hervorragenden Bänden gelernt. Das OP hat Recht, dass Tao am Anfang mit der Definition der Zahlensysteme beginnt. Also glaube ich, dass Kapitel 5 oder Tao gleich Kapitel 1 von Rudin ist, oder so ähnlich.

Ich hatte keine allzu großen Schwierigkeiten, die Beweise und Übungen für die ersten Kapitel von Tao zu machen, weil er die Ideen wirklich langsam entwickelt. Das war gut. Erst als er anfing, sich mit der Punktmengentopologie zu befassen, fing ich an, es schwerer zu haben. Also habe ich tatsächlich beschlossen, die Point-Set-Topologie ein wenig mehr auf eigene Faust zu erforschen. Also habe ich das Buch von Munkres gelesen und dann die Übungen in der Gliederung der allgemeinen Topologie von Schaum gemacht. Das war eine gute Kombination.

Nachdem ich die strenge Topologie besser im Griff hatte, hatte ich wirklich keine Probleme, dem Rest von Taos Analyse zu folgen. Ich denke, ich bin durch Taos Analyse bereit und verwende die Schaum-Gliederung in Advanced Calculus und in Real Variables, um Probleme zu lösen. Sobald ich in der Lage war, die Probleme in Schaum zu lösen, hatte ich viel weniger Probleme, die Probleme in Tao zu lösen. In vielen Fällen waren die Probleme ähnlich.

Aber so bin ich es angegangen. Ich hoffe, diese Informationen helfen anderen, sich mit Analysis zu beschäftigen. Es ist wirklich ein schönes Thema und ich fürchte, dass die Leute oft durch Behauptungen über seine Schwierigkeit aufgedreht werden.

Persönliche Meinung: Zu den Büchern von Tao sollte man unbedingt greifen!

Wie andere bereits erwähnt haben, sollten Sie, wenn Sie dies tun, bereit sein, mehr als Stunden mit einzelnen Übungen zu verbringen, da einige von ihnen höchst nicht trivial sind (natürlich ist die Auszahlung enorm).

Sollten Sie das Problem selbst lösen und Ihre Lösung verifizieren wollen, dann sind einige der Lösungen bereits ab 2021 für die Bücher von Terence Tao verfügbar. Sie können sie unter diesem Link einsehen.

Reale Analyse im Selbststudium – Tao oder Rudin?
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