Buchempfehlung für echte Analyse

Das Buch von Apostol eignet sich sehr gut für eine erste Lernanalyse. Es lässt jedoch eine Reihe von Themen zur Berechnung mit mehreren Variablen aus, wie z. B. Linien- und Oberflächenintegrale und Vektoranalyse. Diese Themen können in anderen Büchern gefunden werden, einschließlich Calculus , Vol. 2.

Insgesamt hat Rudins Buch weniger Inhalt als Apostols und weniger detaillierte Beweise. Die Übungen in Rudins Buch erfordern häufiger als die von Apostol, dass Sie auf Ideen kommen müssen, die sich stark von denen im Haupttext unterscheiden, oder dass Sie mehr Schritte in einem Beweis ohne Hinweise ausführen müssen. Für manche ist das ein Vorteil von Rudin, für andere ein Nachteil.

Ich würde sagen, dass das Buch von Dieudonné wahrscheinlich die beste "Referenz" ist, weil es sehr formal und systematisch ist. (Zum Beispiel ist die erste gegebene Definition der Ableitung für eine Abbildung zwischen zwei Banachräumen.) Außerdem werden wichtige Ergebnisse in den Übungen besprochen. Es ist eigentlich der erste Teil von Dieudonnés neunbändiger analytischer Abhandlung. Aufgrund seines Umfangs wäre es für die meisten Menschen kein gutes erstes Buch zum Lernen, mit Ausnahme von jemandem mit sehr hohen Fähigkeiten und Motivation.

Sie können sich auch Zorichs zweibändiges Buch Mathematical Analysis ansehen . Im Allgemeinen befasst sich der erste Band mit Differential- und Integralrechnung in$\mathbf{R}$und Differentialrechnung in$\mathbf{R}^n$, und der zweite Band befasst sich mit verschiedenen weiterführenden Themen. Aber auch das Material zur Analysis im ersten Band wird auf relativ fortgeschrittene Weise gelehrt (z. B. Verwendung von lim sup und lim inf zur Vereinfachung von Beweisen oder offene und geschlossene Mengen). Dies könnte ein gutes Buch sein, wenn Sie sowohl mit der Analyse beginnen als auch die Multivariablenrechnung richtig lernen möchten (dh mit vollständigen Beweisen und schwierigen Übungen).

Basierend auf einem sehr flüchtigen Blick auf das Buch von Adams und Essex würde ich sagen, dass es im Vergleich zu Büchern über strenge Infinitesimalrechnung wie denen von Apostol und Spivak keine großartige Vorbereitung auf einen Analysekurs zu sein scheint. Es gibt viel weniger Theorie und die Übungen sind einfacher. Ob Sie erfolgreich direkt mit Apostol's Mathematical Analysis beginnen , hängt also stark von Ihnen ab. Wenn Sie feststellen, dass es schwierig ist, dann könnten Sie versuchen, ein Buch wie Ross's Elementary Analysis zu verwenden , das für Studenten gedacht ist, die wenig Hintergrundwissen mit Beweisen haben.

Ich würde Stephen Abbotts Verständnisanalyse empfehlen . Es ist vielleicht nicht die beste Wahl als eigenständiger Text, aber das ist nicht das, wonach Sie suchen. Es macht jedoch einen großartigen Job, wenn es darum geht, "die Lücken zu füllen". Insbesondere erklärt es die Motivation, warum eine echte Analyse entwickelt wurde und warum dieses Strengeniveau notwendig ist. Vieles davon geschieht anhand kontraintuitiver Beispiele, die zeigen, was schief gehen kann, wenn man nicht aufpasst. Und der Text vermittelt einen Eindruck von der Geschichte des Themas, was viele andere Texte unterlassen.

Ich würde Stephen Abbots Analyse verstehen empfehlen, da dieses Buch eine großartige Einführung in die Analyse im Grundstudium darstellt. Für eine fortgeschrittenere Referenz können Sie Real Mathematical Analysis von Charles C. Pugh verwenden, da dies nicht so knapp ist wie die meisten Analysebücher, aber dennoch ausreichend streng ist. Eine der besten Eigenschaften ist, dass es Bilder verwendet, um schwierige Konzepte und Theoreme zu erklären. Hoffe das hilft.

Wenn ich zwei Bücher vorschlagen könnte, würde ich sagen, eine Kombination aus Walter Rudins Principles of Mathematical Analysis (3. Auflage, 1976) und Charles Chapman Pughs Real Mathematical Analysis(2. Auflage, 2015), da sie sich gut ergänzen. Pugh hat eine starke Vorliebe für das Unterrichten durch informelle visuelle Intuition. Auch sein Schreibstil ist für Lehrbuchstandards sehr umgangssprachlich und vermittelt gekonnt die Begeisterung des Autors für das Thema. Darüber hinaus leistet der Autor gute Arbeit, wenn es darum geht, die Essenz eines Konzepts oder eines Beweises so zu erklären, dass der Schüler dabei hilft, Intuition aufzubauen. Seine Übungen sind wahrscheinlich auch die besten auf dem Markt – es ist eine riesige Sammlung, die von Routine (keine Sterne) über schwer (*) bis sehr schwer (**) bis hin zu Fragen reicht, von denen der Autor keine vollständige Lösung kennt (*** ). Wenn Sie die Hälfte der markierten Fragen beantworten können, sollten Sie mehr als bereit sein für einen Graduiertenkurs zur reellen Analyse, der mit abstrakter Maßtheorie beginnt.

Andererseits ist die Lektüre von „Baby Rudin“ ein Muss für jeden ernsthaften Mathematikstudenten. Es ist ein Buch, das man mit fortschreitendem Fortschreiten immer mehr zu schätzen lernt. Sein Stil ist das diametrale Gegenteil von Pugh. Es gibt keine einzige Abbildung, und in der Erstausgabe (1953) warnt er ausdrücklich:

„Oft ist es praktisch, geometrische Sprache zu verwenden, wenn man von Mengen reeller und komplexer Zahlen spricht. Es sollte jedoch klar sein, dass Beweise nicht auf geometrischer Intuition beruhen dürfen, obwohl die geometrische Interpretation sehr hilfreich sein kann, um die Schritte vorzuschlagen die ein Beweis führen könnte."

Darüber hinaus ist der Text schlank, mit sehr wenigen Diskussionen oder Kommentaren. Stattdessen steht der Großteil des Textes unter den Überschriften Definition, Beispiel, Theorem, Beweis, Korollar (in dieser Reihenfolge), mit gelegentlich eingestreuten Bemerkungen. Obwohl ich dieses Format anfangs als unerträglich trocken empfand, wächst diese Klarheit dieses Stils auf dich. Darüber hinaus werden Sie mit zunehmendem Wissen und Verständnis zu schätzen wissen, wie viel Sorgfalt der Autor in die Auswahl der Reihenfolge gesteckt hat, in der die einzelnen Elemente präsentiert werden. Kurz gesagt, die Organisation ist äußerst effizient, ebenso wie die Beweise selbst, die streng sind, aber kein Zeichen mehr als nötig verwenden. Leider sind die Beweise oft so raffiniert, dass sie den Studenten verwirrt und verwirrt zurücklassen. Es ist oft äußerst aufschlussreich, Pughs Meinung zum selben Thema zu erfahren.

Tl; Dr. Lesen Sie Rudin, um die Ausdauer für das Analysieren schlanker mathematischer Texte zu entwickeln (fortgeschrittene mathematische Texte werden in der Regel in diesem Stil geschrieben!) und um zu schätzen, wie hübsch seine Beweise sind. Lesen Sie Pugh, um die richtige Intuition in Bezug auf geometrische oder topologische Konzepte zu entwickeln und seine hervorragenden Übungen zu machen.