Leonhard Eulers Bücher in Analysis und Algebra

Ich bin ein aufstrebender Mathematiker, der sich sehr für die Analyse, Topologie und ihre Anwendungen in der Mikrobiologie interessiert. Vor kurzem begann ich sehr neugierig zu werden, warum Konzepte und Theoreme in der wirklichen Analyse und Themen kommen, wie sie sind; Die legendären Topologie-Bücher wie Engelking und Kelley haben mich dazu angeleitet, Fragen wie „Warum interessiert uns das?“ zu beantworten. oder "Was motiviert solche Theoreme, Definitionen, Axiome?", aber ich konnte solche Fragen aus den Analysebüchern wie Rudin nicht beantworten, was tatsächlich zu einem oberflächlichen Verständnis der Analyse führte (irgendwie zwang ich mich, die Inhalte von Rudin auswendig zu lernen) ...Das ist ein Grund, warum ich mich entschieden habe, den Rest dieses Sommers einige Analysebücher zu lesen, wie Euler, Hairer/Wanner, Bressoud,

Ich interessiere mich besonders für die Bücher von Euler: „Introduction to Analysis of the Infinite, I-II“, „Foundations of Differential Calculus“ und „Elements of Algebra“. Können Sie mir für diejenigen, die Erfahrung mit diesen Büchern haben oder diese Bücher gelesen haben, sagen, wie sie Sie inspiriert oder davon profitiert haben? Sind diese Bücher auch ziemlich unabhängig voneinander? Sind sie besser als Bücher wie Hairer/Wanner, um etwas über die historischen Hintergründe der Realanalyse zu lernen?

Ich könnte auch die Disquisitiones Arithmaticae von Gauss ausprobieren, um mehr über die Zahlentheorie im Detail zu erfahren.

Ich kann die Ifinite-Serie von Knopp wärmstens empfehlen, sie ist 100 Jahre alt, aber ein zeitloser Klassiker, zu dem ich von Don Zagier geführt wurde. Ich mag es nicht, wie Knopp die reellen Zahlen konstruiert, aber wenn man darüber hinweg ist, muss man einfach geduldig und solider sein, es ist eine wirklich aufschlussreiche Behandlung des Themas. Was Gauß betrifft, denke ich, dass Sie mehr von moderneren Behandlungen des Themas profitieren.
Ich würde wirklich empfehlen, sich die Analyse anzusehen, nachdem die Definition einer Grenze formal geworden ist. Ein Blick auf Ergebnisse vor dieser Zeit und einige der Beweise, die Sie finden, werden nach heutigen Maßstäben nicht als streng angesehen. Ich würde "Introductory Real Analysis" von Kolmogorov und Fomin empfehlen. Es wird Ihnen eine Fülle von Konzepten vorstellen, und die Dover-Edition ist extrem günstig (ich glaube, es kostet weniger als 15 US-Dollar bei Amazon).
@Aweygan Danke für deinen Rat. Eigentlich habe ich vor, bald Kolmogorov/Fomin zu lesen, aber ich denke, es wäre auch für mich von Vorteil, historische Zusammenhänge der realen Analyse zu lernen, da ich mich immer wieder gerne nach der Herkunft und Nützlichkeit der Theoreme und Konzepte frage.
Rudin ist Anfängern gegenüber äußerst unfreundlich. Ich würde Royden / Apostol / Bartle zur Analyse empfehlen. Jeder dieser drei wäre besser als Rudin.
@GregoryGrant Ich sollte es auch mit Knopp versuchen ... Er hat zwei ähnliche Bücher in der Serie ... Sind sie im Grunde gleich?
@yoyostein Ich habe Rudin tatsächlich gelesen .... aber festgestellt, dass ich nicht so viel verstanden habe, wie ich erwartet hatte.
@MathWanderer Auch hier habe ich Rudin bei meiner ersten Lektüre nicht verstanden. Rudin ist gut als Nachschlagewerk, nachdem man den Stoff gelernt hat, nicht für diejenigen, die es zum ersten Mal lernen.
@yoyostein Ich lese gerade Korner (sehr tolles Buch!), aber ich würde gerne die historischen Hintergründe der Realanalyse kennen, etwa von Euler oder Hairer.
@MathWanderer cool. Ich habe gerade nach Korner gesucht. Er scheint ein humorvoller Autor zu sein.
Ich empfehle die sehr anschauliche „Analysis by Its History“ von Ernst Hairer und Gerhard Wanner (Springer).
Es heißt Theory and Applications of Infinite Series, von Knopp (nicht Knapp)
Einige Teile von Eulers "Opera" sind immer noch sehr lesenswert, aber es ist besser, mit anderen Autoren zu beginnen, besonders wenn sie Werke dieses Genies neu schreiben und erweitern. Ich empfehle wärmstens ein wahres Wunderwerk: Hardy und Wrights „An Introduction to the Theory of Numbers“ (erste Ausgabe 1938!), das auch ein Buch ist, das Analysis verwendet, das Sie [online] finden können (matematica.cubaeduca.cu/medias /pdf/842.pdf). Schauen Sie sich zum Beispiel ihr Kapitel XIX an.
So großartig Euler auch war, ich rate dringend davon ab, diese Bücher zu lesen. Bücher, die von großen Mathematikern der Vergangenheit geschrieben wurden, werden für uns wegen der unordentlichen Notation schwer zu verstehen sein. Oft wird viel Mühe aufgewendet, um heute etwas sehr Einfaches zu sagen. Denken Sie auch daran, dass die Analyse nicht streng war, als Euler noch lebte. Das geschah mit Cauchy, Weirstrass, Dedekind, Peano usw. Ethan Blouchs Buch ist wirklich gut, ebenso wie das von Terrance Tao. Beide haben tiefe Erklärungen, zumindest für mein Niveau. Stein hat eine großartige Serie über Analysen, aber ich bin mir nicht sicher, ob sie das enthält, was Sie wollen.
@ user230452 Ich habe einige Kapitel in Bloch und Tao gelesen, aber ich mag Bloch nicht und ich fand Landau besser als Tao ... Mein Plan ist es, einige historische Bücher zu studieren, bevor ich mich in echte Analysen wie Stein und Kolmogorov / Fomin stürzte. Gibt es also keine wirklich nützlichen Erkenntnisse in Büchern von Euler, Gauß usw.?
@MathWanderer Ich empfehle Ihnen das folgende Buch - "Analysis by its History" - Hairer und Wanner, und rate Ihnen dringend davon ab, Ihre Zeit mit dem Lesen von Büchern von Euler und Gauß zu verschwenden, da die meiste Energie für die Entschlüsselung der Sprache aufgewendet würde (ich don Ich glaube nicht, dass sie auf Englisch geschrieben haben), die alte Grammatik der Sprache und die Notation des Tages, anstatt den Stoff selbst zu verstehen (was selbst bei klarer Darstellung Mühe erfordert). Außerdem wurde die Analyse nicht wirklich formalisiert, bis Cauchy, Weirstrass usw.
Ein leichteres populäres Buch, das mir gefallen hat, war William Dunhams "Calculus Gallery".

Antworten (1)

Ich liebe diesen Satz des berühmten Mathematikers Paul Halmos, der zu Beginn einer Reihe von Vorlesungen über lineare Operatoren gegeben wurde:

„Was in der Mathematik sehr häufig vorkommt, ist, dass man mit etwas Konkretem beginnt (…), und aus diesem konkreten Konzept erwächst ein abstrakter axiomatischer Begriff (…), dann entdeckt man plötzlich mit einer angenehmen Überraschung (nur es sollte nicht allzu überraschend sein), dass jedes dieser abstrakten Objekte eine konkrete Repräsentation durch eines dieser Dinge hat, mit denen Sie begonnen haben."

Meine Empfehlung für einen allgemeinen historischen Überblick über die Mathematik ist Stillwells "Mathematics and it's history" . Dies ist keine theorembeweisende Art von Buch, da er nicht an der Entwicklung von Theorien interessiert ist, sondern viele Beispiele konkreter Objekte, abstrakter Begriffe und Theoreme gibt, die von Mathematikern im Laufe der Geschichte untersucht wurden und die später zu prototypischen Beispielen wurden allgemeinere Theorien. Auch beschäftigt er sich viel mehr mit der Mathematik als mit den Biografien der großen Mathematiker. Eine weitere nette Sache ist, dass er moderne Notation verwendet, sodass Sie sich nicht anstrengen müssen, um zu entziffern, was er meint.

Ich finde diesen letzten Punkt sehr wichtig; Ich bezweifle nicht, dass es viel zu gewinnen gibt, wenn man die alten Texte liest, und ich behaupte keineswegs, dies nicht zu tun. Wenn Sie beispielsweise die Argumente von Euklid oder Newton lesen, erkennen Sie die Vorteile unserer modernen Notation und Strenge. Trotzdem würde ich moderne Bücher empfehlen, die sich auf die historische Entwicklung der Theorie konzentrieren.

PS Halmos-Vorträge können hier eingesehen werden: http://av.cah.utexas.edu/index.php/Category:PR_Halmos_Lecture_Film_Series

Danke für den Ratschlag. Ich erinnere mich, dass Stilwells Bücher ausgezeichnet waren, aber ich fand seine Geschichtsbücher nicht so spannend wie Hairer/Wanner (natürlich fokussiert auf die Analyse).
Leonhard Eulers Bücher in Analysis und Algebra
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