Was sind gute „Mathegewohnheiten“, die Ihre mathematische Praxis verbessert haben?

Ich denke, das ist eine großartige Frage, und Sie haben bereits einen wichtigen Schritt getan, um das Problem anzugehen - Sie haben erkannt, dass Sie mit Ihrem mathematischen Arbeitsprozess nicht zufrieden sind, und nach Möglichkeiten gesucht, ihn zu verbessern. Hier sind einige Ideen und Vorschläge, die ich hilfreich fand:

1. Die grundlegenden Objekte des Spiels gut verstehen. Das bedeutet, dass Sie in der Lage sein sollten, viele interessante Beispiele und Nicht-Beispiele zu den Objekten zu nennen, an denen Sie arbeiten. Machen Sie eine (geistige oder körperliche) Liste solcher Beispiele. Was sind die wichtigsten Beispiele für Vektorräume? Von Unterräumen? Können Sie ein Beispiel für etwas geben, das kein Unterraum ist? Welche Konstruktionen erzeugen Unterräume? Welche integrierbaren Funktionen gibt es? Was weißt du über sie? Usw.
2. Stellen Sie sicher, dass Sie zuerst alles über die Beschreibung des Problems verstehen, bevor Sie versuchen, sich ihm zu nähern. Wenn nicht, gehen Sie zurück und wiederholen Sie, was Sie gelernt haben. Es hat keinen Sinn, eine Übung über nicht-potente lineare Operatoren zu lösen, wenn Sie kein Beispiel für einen nicht-potenten Operator und kein Beispiel für einen nicht-nilpotenten Operator geben können. Dies wird nur dazu führen, dass Sie innehalten und sich deprimiert fühlen.

3. Spielen Sie mit vereinfachten Modellen. Das ist etwas, was ich wirklich in der Graduiertenschule gelernt habe, und ich wünschte, ich hätte es viel früher explizit gesagt bekommen. Wenn Sie vor einem Problem stehen, von dem Sie keine Ahnung haben, wie Sie es angehen sollen, und sich gelähmt fühlen, versuchen Sie, an einem vereinfachten (sogar trivialen) Modell zu arbeiten. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie müssen eine Aussage über eine lineare Abbildung beweisen$T$auf einem Vektorraum$V$und du hast keine Ahnung, was du tun sollst. Kannst du das Problem lösen, wenn du das zusätzlich vermutest$V$ist eindimensional? Noch besser, wenn$V$ist nulldimensional? Kannst du das ggf$T$ist diagonalisierbar? Wenn Sie aufgefordert werden, etwas über eine stetige Funktion zu beweisen, können Sie dies tun, wenn die Funktion besonders einfach ist? Sagen Sie eine Konstante? Oder eine lineare? Oder ein Polynom? Oder können Sie es vielleicht tun, wenn Sie zusätzlich davon ausgehen, dass es differenzierbar ist?

   Die Anwendung dieser Idee hat zwei Vorteile. Erstens werden Sie es meistens tatsächlich schaffen, das vereinfachte Problem zu lösen (und wenn nicht, versuchen Sie, noch mehr zu vereinfachen!). Das wird dein Selbstvertrauen stärken und dir helfen, dich besser zu fühlen, damit du bei dem schwierigeren Problem nicht früh aufgibst. Außerdem gibt Ihnen die Lösung des vereinfachten Problems oft Hinweise, wie Sie das allgemeine lösen können. Möglicherweise können Sie ein Induktionsargument ausführen oder identifizieren, welche Eigenschaften Sie verwenden mussten, und dann erkennen, dass diese Eigenschaften tatsächlich in einem allgemeineren Kontext gelten usw.

4. Wenn Sie an einem Problem arbeiten, versuchen Sie, eine Annahme fallen zu lassen und zu sehen, was schief geht. Oft hilft Ihnen dies, die entscheidende Eigenschaft zu identifizieren, die Sie benötigen, um die Übung tatsächlich zu lösen, und dann können Sie die Sätze und Ergebnisse, die Sie gelernt haben, überprüfen, um zu sehen, ob sie tatsächlich zutreffen.
5. Versuchen Sie, mit jedem wichtigen Objekt und Konzept, das Ihnen begegnet, ein mentales Bild zu verbinden. Wenn Sie an einem Problem arbeiten, das verschiedene Objekte und Konzepte beinhaltet, werden Sie sich auf diese Weise bereits mit ihnen vertraut fühlen und nicht innehalten und sich wie gelähmt fühlen. Überprüfen Sie die Bilder, während Sie Fortschritte machen, und nehmen Sie bei Bedarf Anpassungen vor. Zum Beispiel können Sie für den Begriff einer direkten Summenzerlegung das Bild von im Kopf behalten$\mathbb{R}^3$zerlegt als die "Summe" der$xy$-Flugzeug und die$z$-Achse. Dies ist natürlich ein besonderes Beispiel für eine direkte Summenzerlegung, aber es hilft Ihnen, sich mit dem Konzept viel wohler zu fühlen.
6. Erstellen Sie eine mentale (oder physische) Karte der Beziehungen zwischen verschiedenen Ergebnissen und Konzepten. Angenommen, Sie möchten feststellen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Es ist nützlich zu erkennen, dass es einfacher ist zu bestimmen, ob eine Reihe mit positiven Termen konvergiert als eine beliebige Reihe, da für diesen Fall mehr Tests verfügbar sind. Eine weitere nützliche Sache zu wissen ist, dass wenn die Reihe absolut konvergiert, sie auch konvergiert; In einigen Fällen können Sie also, selbst wenn die Reihe keine positiven Terme hat, sie auf den einfacheren Fall reduzieren. Wenn Sie all diese Beziehungen und Ergebnisse kennen, bevor Sie mit dem Problem beginnen, können Sie sich für eine gute Strategie entscheiden, um das Problem anzugehen. Sie nicht im Voraus zu kennen, führt oft dazu, dass man in die Irre geht.
7. Scheuen Sie sich nicht, etwas Falsches zu schreiben. Zögern Sie nicht, etwas zu schreiben, das Sie nicht wirklich verstehen. Es ist nicht so schlimm, wenn Sie so etwas schreiben wie „Alle Operatoren sind also diagonalisierbar$X$" denn sobald Sie verstehen, dass nicht alle Operatoren diagonalisierbar sind, werden Sie sofort den Fehler sehen. Aber wenn Sie ein zwei Seiten langes verworrenes Argument schreiben, das irgendwo die Tatsache verwendet, dass Ihr Operator diagonalisierbar ist, wird es viel schwieriger sein, es zu entdecken und aus dem Fehler lernen.
8. Entwickle anständige Rechenfähigkeiten. Mathe ist schwer genug, ohne in Rechenfehlern und falschen Anwendungen von Techniken stecken zu bleiben. Wenn Sie zum Beispiel lernen, wie man ein allgemeines lineares Gleichungssystem löst, setzen Sie sich hin und lösen Sie$7$verschiedene Systeme. Wenn Sie ein falsches Ergebnis erhalten haben$5$des$7$Fällen ist etwas faul. Identifizieren Sie jeweils eindeutig den Ursprung des Fehlers (Rechenfehler? Haben Sie den Algorithmus falsch angewendet?). Wiederholen Sie dann mit$7$andere Systeme, bis Sie mindestens bekommen$6$richtig.
9. Versuchen Sie, mit anderen Menschen an mathematischen Problemen zu arbeiten. Damit meine ich nicht, andere Leute nach Lösungen für Aufgaben zu fragen, die Sie nicht lösen konnten. Versuchen Sie, jemanden zu finden, der mehr oder weniger Ihrem Niveau entspricht und über gute Kommunikations- und zwischenmenschliche Fähigkeiten verfügt, und arbeiten Sie bei einigen Problemen mit ihm zusammen. Seien Sie aktiv, schlagen Sie einige Ideen vor, hören Sie sich die Ideen der anderen Person an und arbeiten Sie zusammen. Auf diese Weise lernen Sie Techniken kennen, die für andere Menschen funktionieren, ihre mentalen Landkarten und Ideen zu den beteiligten Konzepten, und Sie können das, was Sie lernen, als Teil Ihrer eigenen Fähigkeiten anpassen und umsetzen, wenn Sie es hilfreich finden .

BEARBEITEN: Ich habe das OP zuerst falsch verstanden, und die erste Hälfte meiner Antwort gibt Ratschläge, wie man sich dem Nachweis eines unbekannten Problems nähert. Ich verbinde dies dann mit der organisatorischen Frage, die das OP wirklich unter dem Strich stellt.

Beispiele, Beispiele, Beispiele! Für mich ist so ziemlich die gesamte Mathematik visuell und anhand von Beispielen getrieben.

Jedes Mal, wenn Sie ein Theorem sehen, verpflichten Sie sich zuerst ernsthaft, ein Gegenbeispiel zu finden. Finden Sie Fast-Gegenbeispiele, die zeigen, warum jede Annahme im Problem notwendig ist. Dann finden Sie für jedes dieser Fast-Gegenbeispiele ein Beispiel, das extrem ähnlich ist, außer dass es die Annahme erfüllt, dass das Gegenbeispiel fehlte. Jetzt sind Sie bereit, das Theorem zu beweisen oder seinen Beweis zu lesen, und aller Wahrscheinlichkeit nach sind Sie dem Beweis schon nahe.

Dazu gibt es eine tolle Anekdote von Keith Kendig über Hassler Whitney

Eines Tages erwähnte ich in seinem Büro zufällig den Satz von Bezout, der im Wesentlichen besagt, dass es zwei Gradkurven gibt$m$Und$n$schneiden sich jeweils ein$nm$Punkte. Er sagt, er habe noch nie davon gehört und scheint davon elektrisiert zu sein. Er springt auf und geht zur Tafel und sagt: „Mal sehen, ob ich das widerlegen kann.“ Widerlegen?! "Warten Sie eine Minute!" Ich sage: „Dieses Theorem ist fast zwei Jahrhunderte alt! Man kann nichts widerlegen … wirklich …“ Als er beginnt, an der Tafel an einigen Gegenbeispielen zu arbeiten, sehe ich, dass meine gut gemeinten Worte einfach statisch sind.

Seine ersten Versuche waren leicht zu zerstören, aber er lernte schnell, und bald tauchten Ideen über die komplexe Linie im Unendlichen auf und wie man mehrere Schnittpunkte zählt. Nach einer Weile wurde es für mich schwieriger, den Satz zu begründen, und als er fragte: "Was ist mit zwei konzentrischen Kreisen?" Ich hatte keine Antwort. Er argumentierte sich durch und fand schließlich alle vier Punkte. Endlich war er zufrieden, und dem Stück Kreide wurde eine Pause gegönnt. Er wich von der Tafel zurück und sagte: "Nun, nun - das ist ein ziemliches Theorem, nicht wahr?"

Ich glaube, ich habe bei all dem meistens die Ruhe bewahrt, aber nachdem ich sein Büro verlassen hatte, merkte ich, dass ich ziemlich erschüttert war. Ich erinnere mich, dass ich dachte. "Mensch, Kendig, du hast gerade gesehen, wie einer der Riesen das macht!" Er hatte das Theorem auf die Matte gebracht, damit gekämpft und das Theorem gewonnen. Ich wusste seit mindestens zwei Jahren von diesem Ergebnis, aber in 15 oder 20 Minuten hatte er ein tieferes Verständnis davon erlangt als ich es je hatte. Rückblickend stellte es für mich einen Wendepunkt dar: Ich fing an, Beispiele, Beispiele, Beispiele zu denken. Whitney arbeitete, indem er ein Beispiel fand, das den wesentlichen Kern eines Problems enthielt, und arbeitete dann unermüdlich daran, bis er es knackte.

Mathematik am Beispiel zu praktizieren hat mich gelehrt, die Form eines Theorems zu fühlen, mathematische Objekte auf natürliche Weise in Sammlungen zu unterteilen, basierend darauf, wie das Theorem sie in „Beispiele“ und „Nicht-Beispiele“ unterteilt, und die Linien, die das Theorem zeichnet, zeigen Ihnen, wie den Satz zu beweisen. Dies wird Ihnen auch massiv helfen, den Beweis in Zukunft neu zu erstellen.

Wenn Sie über den Satz aus der „falschen Richtung“ nachdenken, lernen Sie, auf ungewöhnliche Weise zu denken, und können Vermutungen und Annahmen leichter falsifizieren. Menschen neigen stark dazu, nach Bestätigungen von Tatsachen zu suchen, haben aber Mühe, sich daran zu erinnern, nach Widerlegungen zu suchen. Dies kann es schwierig machen, Theoreme zu verstehen, weil$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$sagt Ihnen verdammt viel mehr über die Natur der Primfaktorzerlegung als$\mathbb{Z}$tut. Über die Bedeutung dieser Art des Denkens gibt es ein berühmtes Zitat des Philosophen und Logikers Wittgenstein ( Quelle ):

Sagen Sie mir“, fragte Wittgenstein einen Freund, „warum sagen die Leute immer, es sei natürlich, dass der Mensch annimmt, dass die Sonne um die Erde kreist, anstatt dass sich die Erde dreht?“

Sein Freund antwortete: „Nun, offensichtlich, weil es so aussieht, als würde die Sonne um die Erde kreisen.“

Wittgenstein antwortete: „Nun, wie hätte es ausgesehen, wenn es so ausgesehen hätte, als würde sich die Erde drehen?

Hier ist ein MathOverflow-Link über Gegenbeispiele zum Kennenlernen und Lieben.

Um dies nun mit den eigentlichen Fragen im OP zu verknüpfen:

Haben Sie zum Beispiel zwei getrennte Blätter für Zwischenergebnisse und für Details?

Das hängt vom Ablauf des Beweises ab. Ich bin ein großer Kreideschreiber und skizziere meine Beweise und meine Beispiele oft auf Tafeln, bevor ich sie zu Papier (oder häufiger zu TeX) bringe. Wenn das Beweisen eines Zwischenergebnisses den Beweisfluss ernsthaft stört (was bedeutet, dass "mehr als ein Absatz erforderlich ist"), dann schreibe ich in meine Beweisskizze einfach "by Padding Lemma" oder was auch immer und beweise dann das "Padding Lemma". auf einem anderen Feld der Tafel. Das ist größtenteils, weil ich in der Lage sein möchte, meine Beispiele und meine Beweisskizze anzusehen, ohne mich in der Kombinatorik dieses Lemmas, das ich zufällig verwende, zu verzetteln. Beim eigentlichen Verfassen des Beweises ist das Erlernen der richtigen Organisation Ihrer "Abschweifungen" ein sehr wichtiger Teil des Erlernens des akademischen Schreibens, aber stark kontextbezogen.

Gibt es bestimmte Möglichkeiten, Ihre Herleitungen auf Papier oder in Notizbüchern zu organisieren, die Ihnen helfen, den Kopf frei zu bekommen?

Für mich ist der Prozess des Entwerfens eines Beweises (und eigentlich das Denken im Allgemeinen) wie ein Gespräch. Ich erstelle mir in Gedanken einen Gesprächspartner und argumentiere mit ihm. Ich führe sie durch Beispiele und Nichtbeispiele und erkläre, warum das Theorem in jedem Fall gilt oder versagt. Ich finde, das hilft mir dabei, mich auf die Ähnlichkeit zwischen den Beispielen zu konzentrieren und den zugrunde liegenden logischen Faden zu finden, der den "wahren Grund" dafür enthält, dass das Theorem wahr ist. Ich zeichne vielleicht Diagramme oder mache ein paar Berechnungen auf Papier, wenn ich sie mir vorstellen kann, aber im Allgemeinen beginne ich nicht damit, den Beweis zu schreiben, bis ich weiß, was passieren wird. An diesem Punkt zeichne ich einige Beispiele auf, die besonders aufschlussreich waren und die mein Denken an einer Tafel leiten können. Dies sind normalerweise ein paar Bilder und Gleichungen, die mit den Bildern geschriebenen Gleichungen, und jedes Beispiel räumlich getrennt. Dann setze ich mich irgendwo hin, wo ich die ganze Tafel sehen kann, und fange an zu schreiben.

Schreibst du alles linear von oben nach unten in dein Notizbuch oder gehst du auf deinem Schmierzettel hin und her und schreibst es erst linear, wenn du das Ergebnis gefunden hast?

Wie ich bereits erwähnt habe, sortiere ich meine Gedanken nach Beispielen, wobei jedes Beispiel eine Erklärung dafür ist, warum der Satz für dieses Beispiel gilt. Ich neige dazu, Beispiele horizontal zu trennen und ihre Erläuterung entweder vertikal (insbesondere bei formellastigen Problemen) oder kreisförmig (insbesondere bei grafiklastigen Problemen) zu organisieren. Ich kümmere mich jedoch nicht zu sehr um die Anordnung meiner Tafel und platziere die Dinge einfach "wo sie offensichtlich passen".

Streichst du Formeln komplett, wenn du einen Fehler gemacht hast, und beginnst von vorne, oder korrigierst du nur die Formeln?

Ich arbeite lieber an einer Tafel und lösche Fehler und behebe sie. Insbesondere vermeide ich es, durchzustreichen oder andere Markierungen zu verwenden, um anzuzeigen, dass ein Begriff falsch ist, da meine Gleichungen oft neben Pfeilen und anderen Markierungen stehen, die angeben, wie sie zusammenpassen, und ich verwende Streichungen, um eine Streichung anzuzeigen.

Schreiben Sie Herleitungen schnell auf ein Notizbuch, bis Sie die endgültige Antwort gefunden haben, oder schreiben Sie sie sauber von Anfang bis Ende?

Meine Handschrift ist nicht so sauber, und ich texe normalerweise das Finale. Wenn es für mich (und alle Mitarbeiter) lesbar ist, ist das alles, was für Scratch-Arbeiten erforderlich ist.

Jeder ist verwirrt, wenn er ein neues Fach lernt, also lassen Sie sich nicht entmutigen, wenn Sie die Dinge nicht sofort aufgreifen. Mein Rat wäre: Anstatt sich von der Verwirrung abschrecken zu lassen, nutzen Sie Ihre Verwirrung so gut es geht.

Es gibt viele verschiedene Arten von Verwirrung. Manchmal kann es nur eine Art allgemeine Unklarheit um ein Thema sein - dies kann nur darauf hindeuten, dass Sie das Lehrbuch erneut lesen müssen, weil Sie sich nicht an die Details erinnern.

Aber es gibt noch eine andere Art von Verwirrung, die potenziell nützlich ist. Oft wirst du eine Art kognitive Dissonanz haben . Das heißt, Sie lernen etwas Neues – aber es passt nicht zu Ihrem derzeitigen Verständnis. Etwas fühlt sich nicht richtig an . Ein Unterschied zwischen einem exzellenten und einem mittelmäßigen Schüler besteht darin, dass der exzellente Schüler sich einfach weigern wird, dieses Gefühl loszulassen, bis es gelöst ist. Es ist sehr einfach zu akzeptieren, was Sie gerade gelernt haben, auch wenn es für Sie keinen Sinn ergibt. Aber wenn Sie diese Art von kognitiver Dissonanz spüren, bedeutet dies, dass etwas mit Ihrem Verständnis nicht stimmt, entweder mit dem vorherigen Material oder mit dem, was Sie gerade lernen.

Der Trick besteht darin, genau lokalisieren zu können, worum es geht. Am Anfang ist das, was Sie vielleicht fühlen, nur eine Emotion, eine vage Unsicherheit. Aber diese Ungewissheit kann bedeutsam sein. Wenn Sie dies verdoppeln und weiter darüber nachdenken, werden schließlich einige konkretere Fragen an die Oberfläche sprudeln. Es ist in Ordnung, die Antwort nicht sofort zu haben - das Wichtigste ist, die Verwirrung zu einer sehr präzisen Frage zu schärfen. Dies bedeutet oft, dass Sie alle irrelevanten Details rund um Ihre Frage entfernen und sich nur darauf konzentrieren, wo genau das Problem liegt. Wenn Sie ein Problem mit einem sehr allgemeinen Theorem oder einer Idee haben, versuchen Sie, ein spezifisches, konkretes Beispiel zu finden, das das Problem demonstriert.

Sobald Sie die Unschärfe in eine sehr spezifische Frage geleitet haben, werden Sie oft feststellen, dass die Antwort nicht so schwierig ist, wie Sie dachten. Wenn Sie nach einigem Nachdenken nicht darauf kommen, sollten Sie Ihren Klassenkameraden, Lehrer oder TA fragen - oder hier auf Stack Exchange fragen. Generell denke ich, dass Lehrer sehr gut formulierte Fragen zu schätzen wissen, die zeigen, dass der Schüler sich viel Gedanken gemacht hat.

Es ist möglich, dies zu weit zu treiben und sich in Kleinigkeiten zu verzetteln, anstatt mit dem Material fortzufahren. Manchmal ist es notwendig, eine Frage einzureichen, damit Sie mit Ihrem Lernen fortfahren können. In diesem Fall wäre mein Rat, Ihre Verwirrung aufzuschreiben und daran zu denken, später darauf zurückzukommen. Manchmal muss man einfach spazieren gehen oder darüber schlafen. Verwirrung in eine sinnvolle Frage zu lenken, ist eine schwierige Fähigkeit, die Zeit und Übung erfordert.

Bearbeiten:

Hier ist eine Illustration des Prozesses. Viele Schüler kommen nicht wirklich von Schritt 3 zu Schritt 4. (Cartoon von Fan Wei, gefunden auf der Seite für Richard Stanleys Enumerative Combinatorics .)

Ich hatte ein Gespräch mit einem Freund von mir, der einmal ähnlich über das Schreiben dachte. Obwohl ich niemals hoffen konnte, seiner Ansicht zu 100 % gerecht zu werden, kann ich versuchen zu erklären, wie er seine Situation mit dem Schreiben bewältigte und wie es ihm half, mathematisch zu wachsen. Es gibt ein paar Vorbehalte. Ohne zum Beispiel zu wissen, wie Sie und er in Bezug auf mathematische Fähigkeiten abschneiden (Sie haben sich damals mit ihm verglichen), kann ich nicht mit Sicherheit sagen, ob dieser Rat für Sie nützlich sein wird. Möglicherweise stellen Sie auch fest, dass das, was bei ihm funktioniert hat, bei Ihnen nicht funktioniert. Ich betrachte meinen Freund als einen der diszipliniertesten Menschen, die ich kenne, und so hat er tagsüber ziemlich viel Zeit für Mathematik und Gedanken, wo ich persönlich müde für den Tag wäre.

Vor diesem Hintergrund war die Position meines Freundes mehr oder weniger die folgende: Die Kunst des Lernens ist eine verlorene Kunst. An einem Punkt in unserer Geschichte lernten wir zuerst durch Auswendiglernen. Jetzt ist das Auswendiglernen ziemlich stigmatisiert, als ob es kein echtes Lernen wäre. Das ist irgendwie wahr, wenn Sie nur auswendig lernen. Heutzutage gibt es viele Schüler in den Schulen, die sehr viele Theoreme auswendig gelernt haben und praktisch nichts verstehen. Lassen Sie mich sagen, dass dies nicht das ist, was ich befürworte. Was jedoch wahr ist, ist, dass eine große Klasse von Theoremen und Beweisen, die Sie auswendig gelernt haben, die Grundlage Ihrer mathematischen Fähigkeiten sein wird.

Als mein Kumpel schreiben lernen wollte, hatte er ein ähnliches Problem. Sein Schreiben war desorganisiert und spiegelte eine gewisse Ziellosigkeit wider. Er stellte fest, dass sein Schreiben ohne einen klaren Zweck oder eine Zielgruppe, an die er schreiben sollte, stark leiden würde. Es war auch seine Erfahrung, dass er zwar wusste, wie man Sätze bildet, aber nicht wusste, wie man ein guter Schriftsteller ist oder sich sogar wirklich verbessert.

Die Lösung, auf die er kam, war, mit dem Kopieren zu beginnen. Schreiben lernte er erst durch Nachahmung, wie man ein Instrument lernt. Bevor man ein Meisterwerk komponiert, lernt man die Werke anderer Meister in- und auswendig und lernt von deren Stilen. Finden Sie eine Textpassage, die ihn angesprochen hat, und kopieren Sie sie einfach Wort für Wort. Lesen Sie es auf verschiedene Arten laut vor, finden Sie die Stimme, mit der die Passage geschrieben wurde. Versuchen Sie dann, wenn die Sätze in Ihrem Gehirn haften bleiben, das Stück zusammenzufassen. Versuchen Sie, dieselben Gedanken in Ihren eigenen Worten wiederzugeben.

Wenn Sie dies tun, werden die Dinge, die Sie kopieren, und Ihre Zusammenfassungen zunächst ziemlich schäbig sein. Sie werden wenig zusätzliche Einblicke haben (obwohl Sie in Ihren Zusammenfassungen möglicherweise Dinge finden, die Sie über die Passage nicht wirklich verstehen, und dies ist sowohl beim Schreiben als auch in Mathematik sehr wichtig), und sie werden ziemlich trocken klingen. Aber wenn man das mit vielen Autoren und vielen Passagen macht, entwickelt man das, was ich am besten als Schreibgeschmack bezeichnen kann. Sie werden bestimmte Dinge lernen, die sich direkt in Ihrem Ohr anhören, und dies wird Ihre Schreibstimme sein.

So ist es auch, Mathe zu lernen. Sie beginnen damit, Beweise immer wieder zu kopieren und zu reproduzieren, bis Sie sie auswendig gelernt haben. Viele Leute tun gerne einige der Dinge, die in Levaps Antwort beschrieben sind, wie das Fallenlassen von Hypothesen. Wenn Sie die Beweise reproduzieren, versuchen Sie, den Beweis mit etwas Prosa darüber zu füllen, was Sie tun und warum, als würden Sie einen Vortrag halten. Dies ist in ähnlicher Weise Ihre mathematische Stimme, und das Erlernen mathematischen Schreibens unterscheidet sich nicht allzu sehr vom Schreiben von Prosa, auch wenn die Stile unterschiedlich sein können.

Ich persönlich finde es unglaublich hilfreich, über Mathematik zu schreiben, um die Ideen zu verarbeiten. Ich finde, dass mir die Graduiertenschule nicht die Zeit lässt, die ich gerne all das Schreiben machen würde, das ich sonst machen würde. Natürlich kann man nicht über jedes Thema, in dem man einen Kurs belegt, ein Buch schreiben, aber wenn ich mich in meine eigene Richtung wage, finde ich es hilfreich, Notizen mit meiner mathematischen Stimme zu machen und die Dinge so gut wie möglich auszufüllen.

Wie auch immer, ich habe in gewisser Weise das Gefühl, dass ich Ihre Frage nicht zu 100% beantwortet habe. Ich denke, worauf ich hier wirklich hinaus will, ist, dass der Prozess des Auswendiglernens -> Explizieren ein grundlegender Prozess zum Lernen von Mathematik ist. Es wird Sie mit Werkzeugen ausstatten, um zu sagen, was Sie denken, was etwas zu sein scheint, mit dem Sie zu kämpfen haben, und es wird Ihnen auch dabei helfen, Ihr mathematisches Schreiben zu verbessern. Ich werde also sagen, dass Sie, soweit es die Zeit zulässt, versuchen sollten, Beweise zu reproduzieren, zunächst Wort für Wort, aber schließlich mit Ihrer eigenen Stimme, und vielleicht werden Sie sogar in der Lage sein, alternative Beweise mit Ihrer neu verfeinerten Intuition zu geben.

Mir ist aufgefallen, dass seit ich angefangen habe, mich wirklich mit Mathematik zu beschäftigen (erst letztes Jahr, als ich meine Algebra- und Analysis-Sequenzen gemacht habe), meine Fähigkeiten mit Logik ebenfalls gewachsen sind. Ich denke also, dass die Praxis, Fakten für bare Münze zu nehmen und das Problem so einfach wie möglich zu betrachten, sicherlich sehr geholfen hat. Im Allgemeinen, wenn Sie das Problem jemandem erklären können, der ein wenig mathematisches Hintergrundwissen hat, dann verstehen Sie das Problem selbst aufrichtig.

Ich zeichne auch gerne „inspirierende Bilder“ für Probleme! Ich denke, das geht mit dem Versuch einher, das Problem in seiner einfachsten Form zu verstehen.

Dies ist eine wirklich ausgezeichnete Frage, die wahrscheinlich viele unterschiedliche Antworten erhalten wird. Folgendes habe ich mir vorgenommen, was mir auf dem Weg zu meinem Bachelor sowie bei meinen eigenen Forschungsbemühungen geholfen hat.

Ein paar Ratschläge, die ich von einem meiner Professoren in meinen ersten fortgeschrittenen Mathematikkursen bekam, die ich hatte (ich nahm an einem 300-Level-Kurs mit ihm teil, dann an einer 2-semestrigen 400-Level-Reihe über lineare und multilineare Algebra mit demselben Professor): Kenne die Definitionen . Wenn es etwas gibt, das es wert ist, aus Ihrem Mathematiktext praktisch auswendig gelernt zu werden, dann sind es die Definitionen für Dinge, denn wenn Sie die Definition für das Ding nicht kennen, wie können Sie dann erwarten, ein Problem zu lösen, das dieses Ding betrifft? (Dies ist besonders wichtig für Closed-Book-Tests, die im Mathematikunterricht üblich sind!)

Eines nahm ich immer ernster, je mehr ich mich mit Mathematik beschäftigte: Geben Sie sich nicht mit einem „halben“ Verständnis eines Ergebnisses oder Arguments zufrieden, sondern hinterfragen Sie das Argument so lange, bis Sie es vollständig verstanden haben . (Dasselbe gilt für jeden einzelnen Teil einer Definition, ich erinnere mich lebhaft, dass ich nicht triviale Anstrengungen unternommen habe, um zu verstehen, warum die Definition der Quotiententopologie ein iff statt nur eine Implikation in einem Teil davon enthielt. Ich fand schließlich heraus, warum, und später, am Ende des Semesters, als wir Material, das jemand anderes vorbereitet hatte, für unsere Abschlussarbeit überprüften, entdeckte ich einen Fehler, den der Rest der Klasse und sogar unser Professor übersah, weil er diese sehr subtile Definition der Quotiententopologie verstand; Details sind wichtig!)

Fragen Sie so oft wie möglich „was wäre wenn“: Dies ist wirklich hilfreich, um Definitionen sowie die Gründe für Annahmen in Theorem-Aussagen zu verstehen. Es kommt auf einen allgemeinen Grundsatz an, der sich bereits in dem, was ich gesagt habe, als wiederkehrendes Thema wiederfindet: „Warum ist immer die wichtigste Frage.“ Wenn Sie die Frage nach dem Warum nicht beantworten können, haben Sie sie noch nicht verstanden (es ist leicht, etwas zu wissen ohne es zu verstehen).

Um den vom OP hinzugefügten Nachtrag anzusprechen: Was ich als nützlich empfand, als ich gegen Ende meines Studiums an Hausaufgaben arbeitete, war, zuerst an einem Brett zu arbeiten und ein „Skelett“ dessen zusammenzustellen, was schließlich mein vollständiger und strenger Beweis werden würde von dem, was ich zeigen sollte. Nachdem ich ein Skelett an Ort und Stelle gebracht und Platz zwischen den Zeilen gelassen hatte, weil ich es wahrscheinlich bald brauchen würde, würde ich mein Skelett noch einmal durchgehen und jeden einzelnen Teil des Arguments konkretisieren, alle Details ausfüllen und es auf diese Weise verfeinern bis Ich war völlig überzeugt, dass mein Beweis nur Ergebnisse verwendete, von denen ich sicher war, dass sie wahr waren (normalerweise verwies ich ausdrücklich auf das Theorem, wenn sie nicht trivial waren, oder zeigte es im Detail) und dass die Logik meiner Argumente keine Sprünge machte, keine impliziten oder zufälligen Annahmen , und war völlig richtig und gültig.

Mathematik ist komplex und manchmal sehr schwierig, und es kommt auf die Details an, daher ist es wichtig, sich daran zu gewöhnen, bei der Arbeit an Mathematik peinlich genau zu sein und auch unentgeltlich gründlich zu sein. (Es ist eine gute Angewohnheit, Ihre Arbeit zu überprüfen, während Sie gehen, und wenn Sie denken, dass Sie fertig sind, ist es wiederum erstaunlich, wie leicht es ist, einen einfachen arithmetischen Fehler mitten in einem komplizierten Beweis zu übersehen, und Sie können sich dessen fast sicher sein ein solcher Fehler wird später in der Argumentation von Bedeutung sein).

Ich glaube nicht, dass dies in einer der anderen Antworten erwähnt wurde:

Sei geduldig

Wenn ich auf ein nichttriviales Problem stoße, arbeite ich ein paar Stunden hart daran. Wenn ich es nicht sofort löse, lege ich es für einen Tag weg und komme später darauf zurück. Dadurch kann ich es mit neuen Augen sehen, was mir immer hilft, und manchmal „löse“ ich es, wenn ich nicht einmal daran arbeite – ich nehme an, mein Unterbewusstsein verdrängt es nicht.

Wenn es länger als ein paar Tage dauert, wiederholen Sie diesen Vorgang. Mach dir keinen Stress, weil es eine Weile dauert, Mathe ist kein Rennen.

Nun, ich hatte lange Zeit ein ähnliches Problem wie du, aber jetzt ist es größtenteils gelöst.

Haben Sie zum Beispiel zwei getrennte Blätter für Zwischenergebnisse und für Details?

Wenn ich eine Frage lösen möchte, schreibe ich zuerst meine Idee und die wahrscheinliche Lösung der Frage auf ein Schmierblatt und nachdem ich mir des Plans sicher bin, beginne ich, ihn auf mein Hauptblatt, Lehrbuch usw. und in diesem Schritt zu schreiben Ich mache die Berechnungen, weil es bei vielen mathematischen Problemen nicht nur darum geht, Zahlen in eine Formel einzufügen.

Gibt es bestimmte Möglichkeiten, Ihre Herleitungen auf Papier oder in Notizbüchern zu organisieren, die Ihnen helfen, den Kopf frei zu bekommen?

Nun, es gibt eine Methode, die mir besonders bei vielen schwierigen Problemen sehr geholfen hat, nachdem ich von der Lösung der Frage enttäuscht war. Ich habe ein kleines Whiteboard und fange dort an, das Problem zu lösen, und versuche auch, mir die Lösung laut zu erklären, es ist ein bisschen lustig, aber es hilft letzte Lösung Ich zeichne einen Kreis und setze eine Zahl daneben, um das nicht zu vergessen (selbst meine Lehrer machen das).

Streichst du Formeln komplett, wenn du einen Fehler gemacht hast, und beginnst von vorne, oder korrigierst du nur die Formeln?

Ich gehe normalerweise zurück und beginne von vorne, weil manchmal das Ändern einer Zahl viele Faktoren ändern kann, die Sie vielleicht zuerst nicht erkennen, und es kann zu falschen Antworten führen.

Schreiben Sie Herleitungen schnell auf ein Notizbuch, bis Sie die endgültige Antwort gefunden haben, oder schreiben Sie sie sauber von Anfang bis Ende?

Manchmal finde ich nicht einmal die Antwort auf meinem Schmierpapier und ich versuche nur, die Idee hinter der Frage zu identifizieren, damit mein Ringen auf dem Schmierpapier nur von mir selbst gelesen werden kann, was mich manchmal in Schwierigkeiten brachte, also empfehle ich Ihnen eine Kombination aus Konzentrieren Sie sich nicht darauf, auf Ihrem Schmierpapier ordentlich zu sein und nur zu versuchen, die Idee zu finden, und auch nicht so chaotisch zu sein, dass Sie in Schwierigkeiten bringt. und eine letzte sache: keine angst vor fehlern fehler sollten uns lehren, wo wir vor einem problem stehen, und nachdem wir sie erkannt haben, sollten sie zu einer treppe werden, die uns hilft, professioneller in der lösung von problemen zu werden.

Ich habe die folgenden Dinge noch nie in meinem Leben beim Üben von Mathematik getan (in all diesen 15 Jahren meines Lebens), aber bedenken Sie diese Ratschläge ernsthaft (und betrachten Sie diese Antwort bitte nicht als heuchlerisch 😅)

1. Denken Sie daran , was Sie haben und was Sie bekommen möchten . Wenn Sie eine klare Vorstellung von Ihrem Weg haben, wird es Ihnen den Weg erleichtern.
2. Fragen und Probleme zu den Themen müssen regelmäßig geübt werden (früher habe ich das gemacht, aber heute nicht mehr sehr). Wie die Leute sagen, „Übung macht dich perfekt“ . Sie werden Konzepte in Ihrem Geist fixieren, wenn Sie üben.
3. Wenden Sie diese Konzepte, die Sie lernen, auf ein Thema an, das Sie erforschen möchten (in meinem Fall verwende ich das Stück Kalkül, das ich in einem Einstiegs-Coaching-Center gelernt habe, bei meiner Suche nach einem allgemeinen Weg, um Nullstellen eines Gradpolynoms zu finden$n$[was in der Tat nicht so einfach zu bekommen ist]). Wenn Sie ein Werkzeug weiterhin verwenden, gewöhnen Sie sich daran. Der Effekt ist der gleiche wie in der Praxis, aber es sorgt für zusätzliches Glück, wenn Sie auf etwas Ungefundenes stoßen (oder etwas, das Ihnen zugute kommt, wenn Sie es brauchen).
4. Sprechen Sie mit Ihren Freunden und Lehrern über die Dinge, die Sie bei diesen Entdeckungen erfahren. Warum, Sie können die hier selbst sprechen, wenn Sie es vorziehen! (Ich meine, MSE; ich habe von Lehrern gesprochen, nur weil ich früher mit den Lehrern gesprochen habe, die mir dort im Coaching Center beigebracht haben, was immer ich zu lernen versuchte). Diskussionen helfen Ihnen, sich zu korrigieren, wo Sie falsch liegen, und Ihre Gedanken zu bestätigen, wenn Sie auf etwas Neues stoßen (das ist nicht viel, um als mathematische Übung zu gelten, aber das ist natürlich etwas, von dem Sie profitieren werden).