Visuell täuschende „Beweise“, die mathematisch falsch sind

Der nie endende Schokoriegel!

Wenn ich das nur als Kind gewusst hätte..

Der Trick dabei ist, dass das linke Stück, das drei Takte breit ist, unten wächst, wenn es nach oben rutscht. In Wirklichkeit würde zwischen dem dreitaktigen Stück und dem Schnitt rechts eine Lücke entstehen. Diese Lücke ist drei Balken breit und ein Drittel eines Balkens hoch, was erklärt, wie wir zu einem "zusätzlichen" Stück kamen.

Nebeneinander Vergleich:

Beachten Sie, wie die Basis des Drei-Breite-Balkens wächst. So würde es in der Realität aussehen$^1$:

1: Bildquelle https://www.youtube.com/watch?v=Zx7vUP6f3GM

Etwas verwundert, dass das noch nicht gepostet wurde. Entnommen von dieser Seite:

Die Visualisierung kann bei der Arbeit mit alternierenden Reihen irreführend sein. Ein klassisches Beispiel ist

So täuschen Sie Schüler, die neu in der Analysis sind (gilt nur, wenn sie zu diesem Zeitpunkt keinen Grafikrechner haben):

$0$. Bitten Sie sie, das Gegenteil von zu finden$x+\sin(x)$, was sie nicht können. Dann,

$1$. Bitten Sie sie, ein Diagramm zu zeichnen$x+\sin(x)$.

$2$. Bitten Sie sie, ein Diagramm zu zeichnen$x-\sin(x)$

$3$. Bitten Sie sie zu zeichnen$y=x$auf beiden Graphen.

Folgendes werden sie tun:

$4$. Fragen Sie sie: "Was schließen Sie daraus?". Sie werden sagen, dass sie zueinander invers sind. Und dann sehr verwirrt.

Konstruiere ein Rechteck$ABCD$. Identifizieren Sie nun einen Punkt$E$so dass$CD = CE$und der Winkel$\angle DCE$ist ein Winkel ungleich Null. Nehmen Sie die Mittelsenkrechte von$AD$, Kreuzung bei$F$, und die Mittelsenkrechte von$AE$, Kreuzung bei$G$. Beschriften Sie den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten mit$H$und schließen Sie sich diesem Punkt an$A$,$B$,$C$,$D$, und$E$.

Jetzt,$AH=DH$da$FH$eine Mittelsenkrechte ist; ähnlich$BH = CH$.$AH=EH$da$GH$ist eine Mittelsenkrechte, also$DH = EH$. Und konstruktionsbedingt$BA = CD = CE$. Also die Dreiecke$ABH$,$DCH$und$ECH$sind kongruent, also die Winkel$\angle ABH$,$\angle DCH$und$\angle ECH$sind gleich.

Aber wenn die Winkel$\angle DCH$und$\angle ECH$gleich sind dann der Winkel$\angle DCE$Null sein muss, was ein Widerspruch ist.

Jedes Dreieck ist gleichschenklig :

Beweis: Let$O$sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden$[BC]$und die Winkelhalbierende von$\widehat{BAC}$. Dann$OB=OC$und$\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$. Also die Dreiecke$BOA$und$COA$sind gleich und$BA=CA$.

Ein Favorit von mir war immer folgendes:

Ich mag dieses besonders, weil es so einfach ist und wie es die richtige Antwort gibt, wenn auch natürlich aus den falschen Gründen.

Ich denke, das könnte das Ziegen-Puzzle (Monty-Hall-Problem) sein, das mit einfachen Türen schön visuell dargestellt wird.

Drei Türen, hinter 2 sind Ziegen, hinter 1 ist ein Preis.

Sie wählen eine Tür zum Öffnen aus, um zu versuchen, den Preis zu erhalten, aber bevor Sie sie öffnen, wird eine der anderen Türen geöffnet, um eine Ziege zu enthüllen. Sie haben dann die Möglichkeit, Ihre Meinung zu ändern. Sollten Sie Ihre Entscheidung ändern?

Wenn Sie sich das obige Diagramm ansehen, wissen Sie mit Sicherheit, dass Sie eine 1/3-Chance haben, richtig zu raten.

Als nächstes wird eine Tür mit einer Ziege geöffnet:

Ein flüchtiger Blick deutet darauf hin, dass sich Ihre Chancen von 1/3 auf eine Chance von 50/50 verbessert haben, es richtig zu machen. Aber die Wahrheit sieht anders aus...

Durch die Berechnung aller Möglichkeiten sehen wir, dass Sie eine höhere Gewinnchance haben, wenn Sie sich ändern.

Am einfachsten überlege ich mir das, wenn man sich zuerst für das Auto entscheidet, wird der Wechsel garantiert zum Kinderspiel. Wer sich zuerst für eine Ziege entscheidet, wechselt garantiert zum Auto. Es ist wahrscheinlicher, dass Sie sich zuerst für eine Ziege entscheiden, weil es mehr Ziegen gibt, also sollten Sie immer wechseln.

Ein anderes Beispiel :

Aus "Pastiches, Paradoxien, Sophismen usw." und Lösung Seite 23: http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

Eine Kopie der Lösung ist unten hinzugefügt. Die Übersetzung des Kommentars lautet:

Erläuterung: Die Punkte A, B und P liegen nicht auf einer geraden Linie (die Fläche des Dreiecks ABP beträgt 0,5). Die grafische Hervorhebung wird nur auf der linken Seite der Abbildung vergrößert.

Ein aktuelles Beispiel, das ich gefunden habe, das Martin Gardner zugeschrieben wird und einigen der anderen hier geposteten ähnelt, aber vielleicht einen etwas anderen Grund hat, falsch zu liegen, da der Diagonalschnitt wirklich gerade ist.

Ich habe das Bild in einem Blog gefunden, der Greg Ross gehört .

Spoiler

Die ausgeschnittenen Dreiecke sind nicht gleichschenklig, wie Sie vielleicht denken, sondern haben wirklich eine Basis$1$und Höhe$1.1$(da sie den größeren Dreiecken eindeutig ähnlich sind). Das bedeutet, dass das resultierende Rechteck wirklich ist$11\times 9.9$und nicht die gemeldeten$11\times 10$.

Die Quadratur des Kreises mit Kochanskis Approximation ¹

1: http://mathworld.wolfram.com/KochanskisApproximation.html

Dass$\sum_{n=1}^\infty n = -\frac{1}{12}$. http://www.numberphile.com/videos/analytical_continuation1.html

Die Art und Weise, wie es im Clip dargestellt wird, ist völlig falsch und könnte eine große Diskussion darüber auslösen, warum.

Einigen Schülern fällt vielleicht das Handwinken „Lasst uns intuitiv akzeptieren“ auf$1 -1 +1 -1 ... = 0.5$.

Wenn wir diese Annahme akzeptieren (und die Operationen mit abweichenden Summen, die normalerweise nicht erlaubt sind), können wir zum Ergebnis kommen.

Eine Diskussion darüber, dass das scheinbar unsinnige Ergebnis direkt auf eine unsinnige Annahme folgt, ist nützlich. Dies kann bekräftigen, warum es wichtig ist, zwischen konvergenten und divergenten Reihen zu unterscheiden. Dies kann im Rahmen konvergenter Reihen erfolgen.

Eine tiefergehende Diskussion kann die Implikationen des Zulassens einer solchen Definition für divergierende Sequenzen – dh Ramanujan-Summenbildung – berücksichtigen und zu einer Diskussion darüber führen, ob eine solche Definition nützlich ist, da sie zu scheinbar unsinnigen Ergebnissen führt. Ich finde dies interessant, um die Ideen zu öffnen, dass Mathematik nicht in Stein gemeißelt ist und mit der Geschichte irrationaler und imaginärer Zahlen (die historisch als weniger als streng oder interessant, aber nicht nützlich angesehen wurden) verknüpft werden kann.

$$\begin{equation} \log6=\log(1+2+3)=\log 1+\log 2+\log 3 \end{equation}$$

Ich komme vielleicht etwas spät zur Party, aber hier ist eine, die mir mein Mathelehrer gezeigt hat, die ich als ein sehr schönes Beispiel finde, warum man eine Gleichung nicht lösen sollte, indem man sich die handgezeichneten Diagramme ansieht, oder sogar computergenerierte.

Betrachten Sie die folgende Gleichung:

Zumindest dort, wo ich wohne, wird in der Schule gelehrt, wie die exponentiellen und logarithmischen Diagramme aussehen, wenn die Basis dazwischen liegt$0$und$1$, also sollte ein Schüler in der Lage sein, ein Diagramm zu zeichnen, das so aussehen würde:

Einfach richtig? Offensichtlich gibt es nur eine Lösung, die am Schnittpunkt der Graphen mit liegt$x=y$Linie (die gestrichelte; beachten Sie, dass die Diagramme die Reflexionen des anderen in dieser Linie sind).

Nun, das ist zumindest klar, bis Sie einige einfache Werte ausprobieren$x$. Nämlich einstecken$x=\frac{1}{2}$oder$\frac{1}{4}$gibt Ihnen zwei weitere Lösungen! So was ist los?

Tatsächlich habe ich absichtlich falsche Plots eingefügt (Sie erhalten das obige Bild, wenn Sie ersetzen$16$von$3$). Die eigentliche Handlung sieht so aus:

Sie mögen anderer Meinung sein, aber es scheint immer noch so, als wäre es eine Handlung mit nur einem Schnittpunkt. Aber tatsächlich hat der Teil, wo sich die beiden Grundstücke treffen, alle drei Schnittpunkte. Wenn man das Intervall mit allen Lösungen vergrößert, sieht man kaum , was los ist:

Die Schwingungen sind dort wirklich winzig. Hier ist das Diagramm der Differenz der beiden Funktionen in diesem Intervall:

Beachten Sie den Maßstab der$y$Achse: Die Unterschiede liegen in der Größenordnung von$10^{-3}$. Viel Glück beim Zeichnen von Hand!

Um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, was mit den Plots los ist, hier sind sie mit$16$ersetzt durch$50$:

Eines meiner liebsten:

Deshalb,$1+1=1$

Der Fehler liegt hier in der Division durch xy

Hier ist eine, die ich als Kind auf einem Whiteboard gesehen habe …

Es gibt zwei Beispiele auf Wikipedia: Missing_square_puzzle Sam Loyds paradoxe Dissektion und Mitsunobu Matsuyamas „Paradox“. Aber mir fällt nichts ein, was keine Sektion ist.

Hier ist eine maßtheoretische. Durch 'Bild', wenn wir ein Cover von nehmen$A:=[0,1]∩\mathbb{Q}$Durch offene Intervalle haben wir um jedes rationale Intervall ein Intervall und so decken wir es auch ab$[0,1]$; das Lebesgue-Maß von [0,1] ist 1, also das Maß von$A$ist 1. Als Plausibilitätsprüfung ist die Ergänzung dieser Abdeckung in$[0,1]$kann keine Intervalle enthalten, also ist sein Maß sicherlich vernachlässigbar.

Das ist natürlich falsch, da die Menge aller Rationalen das Lebesgue-Maß hat$0$, und Mengen ohne Intervalle müssen keinen Takt 0 haben: siehe die fette Cantor-Menge . Außerdem, wenn Sie die 'diagonale Aufzählung' der Rationalitäten fixieren und übernehmen$\varepsilon$klein genug, die Ergänzung der Abdeckung in$[0,1]$enthält$2^{ℵ_0}$Irrationale. Ich habe dies kürzlich aus diesem MSE-Beitrag gelernt .

Um eine konträre Interpretation der Frage zu geben, werde ich auf Goldbachs Kometen eingehen, der die Anzahl der Möglichkeiten zählt, wie eine ganze Zahl als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden kann:

Es ist mathematisch "falsch", weil es keinen Beweis dafür gibt, dass diese Funktion nicht unendlich oft gleich Null ist, und es täuscht optisch, weil es unbegrenzt zu sein scheint, wobei seine Untergrenze linear zunimmt.

Das ist mein Lieblings.

Sie können es verallgemeinern, um beliebige zu erhalten$a=b$dass Sie so möchten:

Es ist schön, weil optisch der "Fehler" in der Linie offensichtlich ist$\left(4 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(5 - \frac{9}{2}\right)^2$, was den Beobachter dazu veranlasst, den umgekehrten FOIL-Prozess aus dem vorherigen Schritt zu untersuchen, obwohl diese Linie gültig ist. Ich denke, ein Teil des Problems rührt auch von der Tatsache her, dass der Mathematikunterricht in der Grundschule / High School für den Durchschnittsbürger lehrt, dass es nur einen "richtigen" Weg gibt, um Probleme zu lösen, und Sie immer vereinfachen, sodass die meisten Menschen bereits durch das Nicht-Vereinfachen verwirrt sind Prozess bis zu diesem Punkt.

Ich habe festgestellt, dass die Anzahl der Personen, die den Fehler ohne Hilfe finden können, etwas weniger als 1 von 4 beträgt. Enttäuschenderweise wurde mir von mehreren Personen mitgeteilt, dass das Problem darauf zurückzuführen ist, dass ich mit negativen Zahlen begonnen habe. :-(

Lösung

Wenn man mit Variablen arbeitet, erinnert man sich oft daran$c^2 = d^2 \implies c = \pm d$, aber vergessen Sie das, wenn Sie mit konkreten Werten arbeiten, denn die Tendenz, alles zu vereinfachen, führt dazu, dass sie negative Quadrate in positive Quadrate umwandeln, bevor sie die Quadratwurzel anwenden. Die Anzahl der Leute, denen ich das gezeigt habe und die den Fehler finden können, ist eine kleine Stichprobengröße, aber ich habe festgestellt, dass einige Leute jede Zeile sorgfältig auswerten und den Fehler finden können, und es dann nicht erklären können, selbst nachdem sie es getan haben. richtig eingeschätzt habe$\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie das Schokoladen-Puzzle. Es ist jedoch einfacher zu sehen, dass das Gesamtquadrat schrumpft.

Dies ist ein gefälschter visueller Beweis dafür, dass eine Kugel euklidische Geometrie hat.

Quelle: https://plus.google.com/+MikeStay/posts/KCLhfEexZSB

Mein Favorit ist: Ist die Fläche beider Formen gleich?

Es sieht aus wie

Aber das Dreieck ist unmöglich!

Ich denke nicht, dass dies wirklich als "visuell intuitiv" zu qualifizieren ist, aber es ist definitiv lustig

http://www.youtube.com/watch?v=YoHxuHEGFGQ

Sie machen so einen großartigen Job darin, diese Art von Situationen zu dramatisieren. Wer kann sich nicht an einen Fall erinnern, in dem er entweder ein "Billy" oder ein "Pa' and Ma'" war? Vielleicht mehr "Pa' und Ma'"-Instanzen meinerseits...;)

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber für mich sieht es so aus, als wären die Sechsecke horizontal gestreckt. Wenn Sie das auch so sehen und Ihren Augen trauen, dann könnten Sie das als visuellen Beweis dafür nehmen$\tan\frac{7}{4} < 60^\circ$. Wenn Sie es so gesehen haben, dann ist es eine optische Täuschung, weil die Sechsecke wirklich vertikal gestreckt sind. Im Gegensatz zu einigen optischen Täuschungen von Bildern, die anders erscheinen, als sie sind, aber dennoch mathematisch möglich sind, handelt es sich hier um eine optische Täuschung eines mathematisch unmöglichen Bildes. Das zeigt die Mathematik$\tan^{-1} 60^\circ = \sqrt{3}$und$\sqrt{3} < \frac{7}{4}$da$7^2 = 49$sondern$3 \times 4^2$= 48. Es ist so, als wäre es mathematisch unmöglich, dass sich etwas nicht bewegt, wenn es sich bewegt, aber es ist theoretisch möglich, dass Ihre Augen aufhören, Bewegungssignale an Ihr Gehirn zu senden, und Sie keine Bewegung in etwas sehen, das sich bewegt, was gruselig aussehen würde diejenigen, die es nicht erlebt haben, weil Ihr Gehirn immer noch durch eine komplexere Methode als Signale von den Augen erkennen könnte, dass es sich tatsächlich bewegt.

Um ein sechseckiges Gitter genauer über ein quadratisches Gitter zu zeichnen, können Sie sich nur auf die Mathematik und nicht auf Ihre Augensignale verlassen, um Ihnen dabei zu helfen, es genau zu tun. Die Mathematik zeigt, dass der Kettenbruch von$\sqrt{3}$ist [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 ... was kleiner als ist$\frac{7}{4}$, nicht mehr.