0,5 mal 0,5 ergibt 0,25, aber wie funktioniert das bei wiederholter Addition?

Hilft es, sich vorzustellen, dass es sich auf halbem Weg bewegt$0.5$(beginnt um$0$, Natürlich)? Mit anderen Worten, Sie fügen nur die Hälfte der Zahl hinzu$0.5$.

Machen wir zuerst 3 mal 0,5, was wir als 0,5 + 0,5 + 0,5 behandeln. Aber anstatt daran zu denken, dass alles auf einmal passiert, stellen Sie sich vor, wir brauchen 3 Sekunden und bewegen uns in der ersten Sekunde von 0 auf 0,5, in der zweiten Sekunde von 0,5 auf 1,0 und in der dritten Sekunde von 1,0 auf 1,5, und dann sind wir fertig und sehen, dass unsere Antwort 1,5 ist.

Nun, um 0,5 mal 0,5 zu machen, beginnen wir unsere erste Sekunde, in der wir uns von 0,0 auf 0,5 bewegen, aber auf halbem Weg durch diese Sekunde (das ist der Teil "0,5 mal ..."), schreien wir "Stop!" . Raten Sie, wo wir sind, wenn "Stop!" wird geschrien. Ja, bei 0,25

(Übrigens, um pedantisch zu sein, dies setzt voraus, dass wir uns mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen und während der Bewegung nicht beschleunigen und verlangsamen. Da wir diejenigen sind, die dieses Beispiel konstruieren, können wir verlangen/annehmen, dass dies so ist wie Die Bewegung findet statt.)

Beachten Sie das für positive ganze Zahlen$b$,$\frac{1}{b}\times a$ist die Menge$c$so dass

In deinem Beispiel$0.5\times 0.5=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$seit

Wir haben als allgemeines Ergebnis

Das Modell der Multiplikation als „kontinuierliche Addition“ bricht aus genau den von Ihnen genannten Gründen zusammen, wenn es um andere als ganze Zahlen geht. Stattdessen behandeln wir die Multiplikation so, dass sie einige Axiome – Regeln – erfüllt, die den Fall der wiederholten Addition verallgemeinern. Zum Beispiel,$(a+1)\times c$ist gleich$a\times c+c$– darauf läuft die wiederholte Addition hinaus – und tatsächlich können wir das mit dem Distributivgesetz zeigen$(a+b)\times c = (a\times c)+(b\times c)$wenn alle$a$,$b$, Und$c$sind ganze Zahlen.

Aber diese Eigenschaft ist so praktisch, dass es schön wäre, wenn sie nicht ganze Zahlen sein müssten, um sie zu verwenden, und das ist es, was wir tun. Wie funktioniert diese Hilfe bei der Suche?$0.5\times 0.5$? Nun, das wissen wir$0.5+0.5=1$, also lassen Sie uns beide Seiten davon multiplayen$0.5$.$(0.5+0.5)\times 0.5$ $= 1\times 0.5 = 0.5$. Aber jetzt können wir links verteilen, um zu bekommen$(0.5\times 0.5)+(0.5\times 0.5)=0.5$; mit anderen Worten, was auch immer$0.5\times 0.5$ist, müssen Sie es zu sich selbst hinzufügen, um es zu erhalten$0.5$. Aber genau das ist es$0.25$Ist! Und wenn Sie genau aufpassen, werden Sie vielleicht erkennen, dass das, was ich gerade beschrieben habe, praktisch die Definition von „verkleideter Teilung“ ist; das sagen wir$0.5\times x$ist genau die Nummer$y$so dass$y+y=x$.

Übrigens, wenn Sie ein mentales Multiplikationsmodell suchen, das nicht ganzzahligen Zahlen besser standhält, empfehle ich, sich Multiplikation als Skalierung der Zahlengeraden vorzustellen. Null bleibt gleich, aber multipliziert mit$m$dehnt (oder schrumpft, ggf$m$ist weniger als$1$) die gesamte Linie um den Faktor$m$. Mit drei zu multiplizieren ist dasselbe wie den Zahlenstrahl um den Faktor drei auszudehnen – diese Schritte von$0$Zu$1$,$1$Zu$2$usw. werden zu „Zählen in Dreien“ statt „Zählen in Einsen“ und so werden sie$0$Zu$3$,$3$Zu$6$usw. Aber dann können wir uns vorstellen, mit zu multiplizieren$0.5$als Verkleinerung der Linie um den Faktor zwei:$6$geht zu$3$,$2$geht zu$1$, Und$0.5$geht zu...$0.25$.

Da Sie ausdrücklich "Visualisieren" erwähnen, beachten Sie, dass die Multiplikation verwendet wird, um die Fläche eines Rechtecks ​​​​(oder Quadrats) zu berechnen.

Wenn Sie ein Quadrat der Größe 1x1 nehmen und beide Seiten in zwei Hälften teilen, erhalten Sie am Ende 4 Quadranten. Jeder dieser 4 Quadranten hat die Kanten 0,5 x 0,5, und zusammen haben die 4 Quadranten die Größe 1,00. Daher muss jeder Quadrant die Größe 1/4 = 0,25 haben, also 0,5 x 0,5 = 0,25

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Warum denkst du, dass es natürlich ist zu gehen "$x$mal vorwärts "? warum nicht rückwärts gehen? Sie "gehen" natürlich, weil natürliche Zahlen irgendwie aus Naturregeln extrahiert werden. dh wenn Sie addieren$1$Und$1$Sie wissen, dass das Ergebnis neben ist$1$und wir gehen voran.

Weißt du beim Multiplizieren wirklich, dass du vorankommen musst? Ich weiß nicht!

Ich verwende normalerweise geometrische Blöcke, um Multiplikationen durchzuführen.$4\times 5$ist die Zahl von$1\times 1$Blöcke in einem Rechteck mit Seiten$4$Und$5$das ist$20$ $1\times 1$Blöcke. im Fall von$0.5\times 0.5$Wir haben ein Quadrat mit Seite$0.5$und wir wollen die Anzahl wissen$1\times 1$Blöcke darin. Erweitern Sie also die Quadratseite zur natürlichen Zahl$1$und berechnen Sie neue Multiplikation, das heißt$1\times 1=1$und durch Zeichnen können Sie sehen, dass wir haben$3$extra ähnliche Stücke aus$4$Stücke und wir bekommen$1-3/4=0.25$.

Sie können selbst festlegen, dass für den Dezimalteil von Zahlen ($0<$Dezimal$<1$) gehen wir rückwärts und für natürliche Zahlen vorwärts.

Jetzt kannst du rechnen$1.5\times 1.5$?

Für mich ist es am einfachsten, eine der Dezimalzahlen in Brüche ganzer Zahlen umzuwandeln, um die Multiplikation auf dem Zahlenstrahl zu visualisieren.

In Ihrem Beispiel haben wir also$0.5 \times 0.5 = \frac{\color{red}1}{\color{blue}2} \times 0.5$. Das würde bedeuten, die Multiplikation zu visualisieren$\color{red} 1 \times 0.5 = \color{green}{0.5}$wie üblich und teilen Sie dann das Segment zwischen$0$Und$\color{green}{0.5}$auf dem Zahlenstrahl in$\color{blue} 2$gleiche Teile. Die Länge jedes Teils ergibt das Ergebnis.

Schauen wir uns das Beispiel an$0.75 \times 0.8$. Wir haben$0.75 \times 0.8 = \frac{\color{red}3}{\color{blue}4} \times 0.8$, also können wir uns das vorstellen als$\color{red} 3 \times 0.8 = 0.8 + 0.8 + 0.8 = \color{green}{2.4}$. Jetzt teilen wir das Segment zwischen$0$Und$\color{green}{2.4}$auf dem Zahlenstrahl in$\color{blue} 4$gleiche Teile - jeder Teil hat Länge$0.6$was das Ergebnis der Berechnung ist.

Wie andere Leute (die wahrscheinlich echte Mathematiker sind) angedeutet haben, je weiter Sie in Ihrer mathematischen Karriere fortschreiten, desto weniger nützlich ist es, an mathematische Konstrukte zu denken, die real sind. Stattdessen ist es hilfreich, sich vorzustellen, dass sie nützlich sind (oder in einigen Fällen elegant, aber ohne praktischen Nutzen - obwohl dies vor der Erfindung der Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln weitgehend das war, was die Leute über die Zahlentheorie dachten).

Ein Schulfreund von mir war verärgert, als seine jüngere Schwester negative Zahlen für „falsch“ hielt. In gewisser Weise hatte sie jedoch Recht: Ich habe noch nie -3 Schafe oder einen -10-Pfund-Schein gesehen, aber wenn ich -10 auf meinem Bankkonto habe, kann ich ausrechnen, dass ich 100 einzahle, wenn ich 100 einzahle 90€ übrig. Ebenso für Irrationale oder komplexe Zahlen etc.

Diese Ansicht vertrat der berühmte Mathematiker Kronecker, der sagte: „Die natürlichen Zahlen sind von Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.“ Außer er sagte es auf Deutsch.

Aber um auf Ihre ursprüngliche Frage zurückzukommen: Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Zahlenstrahl und möchten eine Zahl x verdoppeln. Sie erhalten ein imaginäres Seil, schneiden es auf die Länge x und legen es von 0 bis x und dann von x bis 2x aus. Dies lässt sich leicht auf die Multiplikation mit einer beliebigen natürlichen Zahl a verallgemeinern.

Um durch zwei zu teilen, misst du eine Seillänge ab, greifst dann beide Enden und du hast eine Länge von x/2. Sie können verallgemeinern, durch jede natürliche Zahl zu dividieren, b.

Jetzt können Sie also mit a/b multiplizieren (oder gleichwertig durch b/a dividieren), sodass Sie jetzt nach den rationalen Zahlen sortiert sind. Um an irrationale und transzendente Zahlen heranzukommen, muss man schon etwas ausgefeilter werden, aber wie ich eingangs sagte, muss man sich irgendwann von einfachen physikalischen Modellen lösen, um mathematische Erleuchtung zu erreichen.