Offene mathematische Fragen, bei denen wir wirklich, wirklich keine Ahnung haben, was die Antwort ist

In 4 Dimensionen ist es eine offene Frage, ob es exotische glatte Strukturen auf der 4-Sphäre gibt.

Ein mehr oder weniger elementares Beispiel, das mir sehr gefällt, ist die Vermutung von Erdő über arithmetische Progressionen , die Folgendes behauptet:

Wenn für einen Satz$S\subseteq \mathbb{N}$die Summe

$$\sum_{s\in S}\frac{1}s$$ weicht dann ab $S$enthält beliebig lange arithmetische Folgen.

Ich habe noch nie ein heuristisches Argument auf die eine oder andere Weise gesehen - ich glaube, das bisher stärkste bekannte Ergebnis ist der Satz von Szemerédi , der mehr oder weniger besagt, dass wenn die niedrigere asymptotische Dichte von$S$positiv ist (d.h. es gibt unendlich viele$n$so dass$|[1,n]\cap S|>n\varepsilon$), dann enthält es beliebig lange arithmetische Folgen. Es gibt auch das Green-Tao-Theorem , das ein Sonderfall der Vermutung ist, da die Primzahlen beliebig lange arithmetische Folgen haben (und die Tatsache tatsächlich auch für eine größere Klasse von Mengen begründen).

Beides deutet jedoch nicht darauf hin, dass das Ergebnis allgemein gültig ist. Es ist verlockend zu glauben, dass es wahr ist, weil es so ein schönes Theorem wäre, aber es gibt nicht viel, was das unterstützt - es ist wirklich unklar, warum die Summe der divergierenden Kehrwerte irgendetwas mit arithmetischen Progressionen zu tun haben sollte. Dennoch gibt es keine offensichtlichen Beispiele dafür, wo es fehlschlägt, also ist es auch schwer, dagegen zu argumentieren.

Ich glaube, ob die Thompson-Gruppe oder nicht $F$zugänglich ist, ist eine solche Frage. Die Abhandlung/der Artikel „ WAS ist... Thompsons Gruppe “ erwähnt, dass es auf einer der Gruppe gewidmeten Konferenz eine Umfrage gab, bei der 12 sagten, dass sie es sei und 12 sagten, dass sie es nicht sei. Es gibt tatsächlich Papiere, die (zumindest damals) behaupten, Beweise für beide Seiten zu haben. Hier sind einige Beiträge, um sich ein Bild von der "Kontroverse" zu machen: 1 , 2 , 3 .

Hilberts 10. Problem vorbei$\mathbb{Q}$/Mazurs Vermutung. Dies sind zwei offene Probleme, die in entgegengesetzte Richtungen weisen, und ich denke, Experten sind sich wirklich nicht sicher, welchen Weg sie erraten sollen.

Hilberts 10. Problem vorbei$\mathbb{Q}$Gibt es einen Algorithmus, der bei einer gegebenen Sammlung von Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten eine rationale Lösung hat?

Das Problem ist offen. Hier sind Heuristiken für jeden Weg. Für "nein".

• Einzelne diophantische Gleichungen sind wirklich schwierig. Denken Sie daran, wie viele Mathematiker daran gearbeitet haben, dies zu beweisen$x^n+y^n=1$hat keine Lösungen außer$(0,1)$Und$(1,0)$für verschiedene Werte von$n$. Ist es wirklich plausibel, dass ihre gesamte Arbeit auf die Ausführung eines Algorithmus reduziert werden könnte?

• Es gibt keinen solchen Algorithmus vorbei$\mathbb{Z}$. ( Matiyasevich-Robinson-Davis-Putnam )

Für „Ja“:

• Es gibt mächtige Sätze und Vermutungen über diophantische Gleichungen mit endlich vielen Lösungen. Zum Beispiel sagt uns Mordells Vermutung (jetzt Faltings Theorem ) sofort, dass es endlich viele rationale Punkte gibt$x^n+y^n=1$für irgendetwas gegeben$n$. Wenn die Bombieri-Lang- Vermutung bewiesen wäre, was nicht unmöglich erscheint, hätten wir viel mächtigere Werkzeuge. Und obwohl endlich nicht gleich Null ist, haben wir eine Menge Werkzeuge entwickelt, um diese endlich vielen Lösungen in vielen Fällen zu finden. Eine Übersicht finden Sie in den Kursnotizen von Bjorn Poonen .

Aber hier ist das wirklich Frustrierende. Angenommen, Sie glauben, dass die Antwort "nein" ist. Dann möchten Sie wahrscheinlich beweisen, dass Sie das Halteproblem als Frage zu diophantischen Gleichungen codieren können (so wurde MDRP bewiesen), oder das Lösen diophantischer Gleichungen über codieren$\mathbb{Z}$in das Lösen diophantischer Gleichungen über$\mathbb{Q}$. Dazu würden Sie vermutlich eine diophantische Gleichung aufschreiben, deren Lösungen wie die Zustände einer universellen Turing-Maschine aussehen oder aussehen$\mathbb{Z}$. In jedem Fall hätte es wahrscheinlich unendlich viele Lösungen, die diskret verteilt sind. Und damit läuft Sie hinein

Mazurs Vermutung Gegeben ist eine beliebige Sammlung von Polynomgleichungen$\mathbb{Q}$In$n$-Variablen, lassen$X(\mathbb{Q})$sei die Menge ihrer Lösungen und sei$\overline{X(\mathbb{Q})}$sei der topologische Abschluss von$X(\mathbb{Q})$In$\mathbb{R}^n$. Dann$\overline{X(\mathbb{Q})}$hat endlich viele Zusammenhangskomponenten.

Die allgemeine Schwierigkeit diophantischer Gleichungen führt also zu der Annahme, dass das Problem unlösbar ist, aber Mazurs Vermutung blockiert den plausibelsten Weg, um zu beweisen, dass es unlösbar ist. Natürlich kann man sich vorstellen, dass diophantische Gleichungen vorbei sind$\mathbb{Q}$sind unlösbar, und doch können sie keine Turing-Maschine codieren. Ich denke, es ist unklar, ob die meisten unlösbaren Probleme unlösbar sind, weil sie dem Halteproblem entsprechen, oder ob dies (im Wesentlichen) die einzige Art von Problem ist, von der wir wissen, dass sie unlösbar ist.

In der Theorie dynamischer Systeme sind Probleme mit Grenzzyklen generell immer sehr schwierig. Der zweite Teil von Hilberts sechzehnter Aufgabe ist mein persönlicher „Favorit“. Die obere Grenze für die Anzahl der Grenzzyklen planarer Polynom-Vektorfelder des Grades$n$bleibt für alle ungelöst$n>1$. Beispielsweise können quadratische ebene Vektorfelder ($n=2$) mehr als vier Grenzzyklen haben? Es kann extrem schwierig sein, ein quadratisches System mit fünf Grenzzyklen zu finden, aber wir haben wirklich absolut keine Ahnung. In den 1950er Jahren behaupteten Mathematiker, quadratische Systeme hätten maximal drei Grenzzyklen und ließen mehrere andere Mathematiker konform gehen, aber es wurde als falsch gezeigt, als ein quadratisches System mit vier Grenzzyklen gefunden wurde. Einzelheiten finden Sie in diesem Artikel .

Soweit ich das beurteilen kann, ist weder die Existenz noch die Nichtexistenz des Moore-Graphen von Grad 57 und Durchmesser 2 stark belegt. Der größte Teil der bisherigen Arbeit zu diesem Thema dreht sich um die verschiedenen Eigenschaften, die ein solcher Graph (sollte er existieren) haben muss oder nicht haben muss, aber keine davon scheint einen starken Hinweis darauf zu geben, sich in die eine oder andere Richtung zu neigen. Außerdem scheinen die Befragten einer Umfrage zu diesem Blogbeitrag aus dem Jahr 2009 ziemlich gleichmäßig gespalten zu sein.

Die glatte Poincare-Vermutung in Dimension 4 wurde bereits erwähnt, also erwähne ich das glatte Schönflies-Problem in dieser Dimension. Die Frage ist, ob es einen Diffeomorphismus von gibt$S^4$Nehmen Sie eine reibungslos eingebettete Kopie von$S^3$In$S^4$zum Standardäquatorial$S^3\subset S^4$. Dies gilt in allen anderen Dimensionen, aber$4$ist eine so ungewöhnliche Dimension, dass es schwierig ist, darüber zu spekulieren, wie die Antwort in diesem Fall lautet.

Aus zahlentheoretischer Sicht gibt es einige berühmte Probleme im Zusammenhang mit Reihen elliptischer Kurven, auf deren Lösung ein Großteil der modernen Forschung in diesem Bereich ausgerichtet ist. Zum Beispiel erhielt Manjul Bhargava vor kurzem die Fields-Medaille, zum Teil für seine Arbeit über die Begrenzung durchschnittlicher Ränge elliptischer Kurven (und den Beweis, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton Dyer für ständig steigende Prozentsätze elliptischer Kurven gilt).

Um einige der Ergebnisse zu beschreiben: eine elliptische Kurve vorbei$\mathbb{Q}$ist eine rationale glatte projektive Kurve der Gattung 1 mit einem rationalen Punkt oder, weniger beängstigend ausgedrückt, die Menge von Lösungen für eine Gleichung, die aussieht wie

Nun, wir wissen ziemlich viel darüber$r$- zum Beispiel ist in "100%" der Fälle der Rang$0$oder$1$(wobei hier "100%" im probablistischen Sinne verwendet wird, nicht um zu bedeuten, dass jede elliptische Kurve einen Rang hat$0$oder$1$!). Es gibt auch die Birch and Swinnerton Dyer Conjecture (BSD) , die eines der sehr offenen Probleme ist, von denen Sie erwähnen, dass niemand eine Ahnung hat, wie man sie beweist, aber an die die meisten Menschen glauben. Es bezieht den Rang der elliptischen Kurve auf die Reihenfolge ihres Verschwindens$L$-Funktion bei 1. Die vielleicht stärkste Heuristik dafür ist, dass sie in bestimmten Spezialfällen sowie in Bhargavas Arbeit bewiesen wurde. Ein Großteil der modernen zahlentheoretischen Forschung geht in Richtung BSD, und es ist eines der berühmten Millenium-Probleme.

Womit wir jedoch nicht viel Intuition haben, ist:

Frage: Sind die Reihen der elliptischen Kurven zu Ende?$\mathbb{Q}$begrenzt? Das heißt, gibt es einige$R$so dass für jede elliptische Kurve$E/\mathbb{Q}$, wir haben$r(E) \leq R$?

Seit letztem Jahr war es sehr offen – es gab lose Heuristiken in beide Richtungen. Der größte Rang, den wir bisher gefunden haben, ist eine Kurve mit Rang mindestens 28, die Elkies zu verdanken ist, die seit langem der Rekordhalter ist. Wie ich bereits erwähnt habe, hat Bhargava bewiesen, dass der durchschnittliche Rang von mindestens 1,5 begrenzt ist, und dies war genug, um eine Fields-Medaille zu gewinnen.

Trotzdem denke ich, dass es in letzter Zeit einige Aufregung mit einigen stärkeren Heuristiken gegeben hat, die dazu neigen, den Rang zu begrenzen. Ich weiß nicht genug über diese Heuristiken, um sie weiter zu kommentieren, aber hier gibt es weitere Informationen: http://quomodocumque.wordpress.com/2014/07/20/are-ranks-bounded/

Ein leicht verständliches offenes Problem betrifft das erste Gegenbeispiel zu Eulers Potenzsummen-Vermutung :

F : Stimmt$x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5+x_5^5=0$unendlich viele primitive ganzzahlige Lösungen ungleich Null haben?

( Primitiv ist das$x_i$haben keinen gemeinsamen Faktor.) Bisher sind nur drei bekannt und niemand hat ein gutes heuristisches Argument dafür geliefert, dass die Liste endlich ist oder dass es unendlich viele gibt. Es gibt interessante kongruente Beschränkungen für die$x_i$.

Allgemeiner,

F : Für ungerade$k>3$, tut$x_1^k+x_2^k+\dots+x_{k}^k = 0$unendlich viele primitive ganzzahlige Lösungen ungleich Null haben?

Ich glaube nicht, dass irgendjemand eine klare Vorstellung davon hat, ob es klassische Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichung gibt. http://www.claymath.org/millenium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation

Die meisten Versuche konzentrierten sich darauf, zu beweisen, dass es wahr ist. Leray machte jedoch einen Vorschlag, um nach einem Gegenbeispiel zu suchen. Später wurde gezeigt, dass sein vorgeschlagenes Gegenbeispiel niemals funktionieren würde: J. Nečas, M. Růžička und V. Šverák, On Leray's self-similar solutions of the Navier-Stokes equations, Acta Mathematica, 1996, Volume 176, Issue 2, S 283-294. Die Tatsache, dass Gegenbeispiele vorgeschlagen wurden, legt jedoch nahe, dass es vernünftig ist, anzunehmen, dass die Vermutung falsch ist.

Ich denke, eine angemessene Antwort auf diese Frage sind Beispiele für Fragen, bei denen numerische Beweise äußerst schwierig zu erhalten sind. So wissen wir zum Beispiel nichts Interessantes über die Collatz-Vermutung, aber zumindest wissen wir, dass sie für eine große Anzahl von Fällen zutrifft.

Betrachten Sie als Beispiel für etwas, das wir überhaupt nicht wissen$S_n$die symmetrische Gruppe, und definieren$s_i$die angrenzende Transposition sein$(i,i+1)$. Dann für eine Permutation$\pi\in S_n$, definiert eine reduzierte Zerlegung von$\pi$ein minimales Längenprodukt von Transpositionen zu sein, das Ihnen gibt$\pi$. Zum Beispiel wenn$\pi=4321$Dann$w=s_1s_2s_1s_3s_2s_1$ist eine reduzierte Zerlegung von$\pi$.

Es ist leicht zu sehen, dass die minimale Länge der reduzierten Zerlegung die Anzahl der Inversionen ist$\pi$. Andererseits stellt sich die Frage, wie viele verschiedene reduzierte Zerlegungen es gibt$R(\pi)$es gibt von$\pi$ist eine lächerlich komplizierte Frage. Wir kennen die Antwort für Permutationen, die bestimmte (fehlende) Muster aufweisen, wie z. B. vexelläre Permutationen, insbesondere die umgekehrte Permutation$(n,n-1,\cdots,1)$, was hat$f_n$reduzierte Zersetzungen, wo$f_n$ist die Anzahl der treppenförmigen Young-Formtableaus$(n-1,n-2,\cdots,1)$. Für jede andere nicht-triviale Permutation ist im Wesentlichen nichts bekannt. Für$n=7$, übersteigt die Anzahl der reduzierten Zerlegungen für die umgekehrte Permutation die Anzahl der Atome im bekannten Universum. Eine ähnliche Schwierigkeit ergibt sich für so ziemlich jede nicht-triviale Permutation. Man kann nicht einmal eine Größenordnungsschätzung erhalten.

Machen Sie alle kompakten glatten Verteiler der Dimension$\geq 5$Einstein-Metriken zugeben ?

(Eine Einstein-Metrik ist eine Riemannsche Metrik mit konstanter Ricci-Krümmung.)

Eine Liste grundlegender offener Probleme in der Differentialgeometrie und der geometrischen Analyse findet sich am Ende von Yaus hervorragender Übersicht Review of Geometry and Analysis . Es wurde im Jahr 2000 geschrieben, ist also sehr aktuell.

Abgesehen davon: Einige Probleme, die nicht in die Rechnung passen (da es auf die eine oder andere Weise Beweise gibt oder ich die gleichen Vermutungen höre), aber trotzdem interessant sind, sind:

• Lässt die 6er-Sphäre eine integrierbare, fast komplexe Struktur zu?

• Hopf-Vermutung : Stimmt$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^2$eine Metrik mit positiver Schnittkrümmung zulassen?

• Chern-Vermutung : Hat jede kompakte affine Mannigfaltigkeit verschwindende Euler-Charakteristik?

Gibt es eine endlich präsentierte , unendliche Torsionsgruppe?

Eine Torsionsgruppe ist eine Gruppe, in der jedes Element eine endliche Ordnung hat. Burnsides Problem (1902) fragte, ob es eine endlich erzeugte , unendliche Torsionsgruppe gibt. Eine solche Gruppe unbegrenzter Exponenten wurde 1964 von Golod und Shafarevich konstruiert, während Novikov und Adian dies 1968 für begrenzte Exponenten taten. Ol'shanskii konstruierte endlich erzeugte unendliche Gruppen, deren alle echten, nicht trivialen Untergruppen zyklisch der Ordnung a sind feste Primzahl$p$("Tarski-Monster"-Gruppen). Alle diese Beispiele sind jedoch endlich erzeugt, aber nicht endlich darstellbar . Die Frage, ob es ein endlich präsentiertes Beispiel gibt, ist noch weit offen. Anscheinend gab Rips eine mögliche Methode zum Aufbau einer solchen Gruppe an, aber Ol'shanskii und Sapir drehten vergeblich an seinem Griff ( Referenz ).

Erwähnenswert ist, dass Efim Zelmanov für ein verwandtes Problem, das so genannte eingeschränkte Burnside-Problem , mit einer Fields-Medaille ausgezeichnet wurde .

Die Existenz projektiver endlicher Ebenen . Alle bekannten Beispiele haben Ordnungsprimärkraft. Zitieren:

Die Existenz endlicher projektiver Ebenen anderer Ordnungen ist eine offene Frage. Die einzige allgemeine Einschränkung, die für die Reihenfolge bekannt ist, ist das Bruck-Ryser-Chowla-Theorem, dass, wenn die Reihenfolge $N$ist kongruent zu 1 oder 2 $\text{mod}$4, es muss die Summe zweier Quadrate sein. Dies scheidet aus $N = 6$. Der nächste Fall $N = 10$wurde durch massive Computerberechnungen ausgeschlossen. Mehr ist nicht bekannt; insbesondere die Frage, ob es eine endliche projektive Ordnungsebene gibt $N = 12$ist noch offen.

Der erste Beweis, den viele Menschen lernen, ist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. (Wenn nicht das erste, dann ist es oft das zweite$\sqrt 2$ist irrational).

Eine natürliche Verallgemeinerung davon wurde von Dirichlet in Betracht gezogen, der zeigte, dass die arithmetische Progression so lange dauert$a, a+d, a+2d, a+3d, ...$keinen trivialen Grund dafür hat, nicht viele Primzahlen zu haben, dann enthält sie tatsächlich unendlich viele Primzahlen. Dies ist als Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen bekannt . Wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, ist bemerkenswerterweise auch bekannt, dass die Folge asymptotisch ist$1/\varphi(d)$aller Primzahlen, wo$\varphi(d)$ist die Anzahl der Zahlen bis zu$d$die relativ prim sind$d$. Mit anderen Worten, jede nichttriviale arithmetische Folge hat genau den gleichen Prozentsatz an Primzahlen, eine Art Gleichverteilungssatz.

Die nächste natürliche Verallgemeinerung besteht darin, höhere Polynome wie quadratische Polynome zu betrachten. (Nennen Sie für den Moment ein Polynom quadratisch, wenn es die Form hat$ax^2 + bx + c$mit$a \neq 0$). Stimmt das Analoge? Können wir die Verteilung vorhersagen? Tatsächlich haben wir kein einziges quadratisches Polynom gefunden, das unendlich viele Primzahlen hat (und auch kein Polynom vom Grad > 1). Es ist uns noch nicht einmal gelungen, das zu zeigen$x^2 + 1$nimmt unendlich viele Primzahlen, und wir haben auch keine Ahnung wie.

Wenn man etwas tiefer geht, ist es möglich, Dichten mit der Kreismethode oder ihren Varianten zu vermuten, sogar für Polynome höheren Grades. Aber wir haben keine Ahnung, wie wir sie beweisen können.

Kurz gesagt, ist$x^2 + 1$prime unendlich oft?

Existenz eines rechteckigen Quaders mit allen Kanten, den Diagonalen aller Flächen und der Hauptdiagonalen, die ganze Zahlen sind.

Machbarkeit der Neuformulierung der gesamten Mathematik in nur wohldefinierten ultrafinitistischen Begriffen

Aus physikalischer Sicht ist die Art und Weise, wie Mathematik verwendet wird, seltsam. Nach dem Church-Turing-Deutsch-Prinzip haben alle physikalischen Prozesse (quanten-)berechenbare Beschreibungen, aber die Art und Weise, wie wir Mathematik betreiben, ruft nicht-berechenbare Konzepte wie die unzählbaren Realzahlen auf. Was passiert, wenn wir Mathematik in der Praxis anwenden, ist, dass die Unberechenbarkeit jeglicher Konzepte immer in den Zwischenteilen verborgen bleibt, sie werden niemals in den Endergebnissen auftauchen.

Dies deutet darauf hin, dass Sie sich nicht erst auf unberechenbare Konzepte berufen müssen, aber bisher haben die Befürworter des Ultrafinitismus nicht viele Fortschritte erzielt.

Das Problem des asymptotischen Verhaltens der maximalen Kardinalität einer Kappe setzt ein$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}^r$als$r$bis unendlich ergibt sich folgende offene Ja/Nein-Frage.

Ein Cap-Set ist hier ein Set ohne drei Punkte auf einer affinen Linie. Dies ist gleichbedeutend mit der Existenz von$x,y,z$so dass$x+y+z = 0$, oder die Existenz einer arithmetischen Progression mit 3 Termen (siehe eine verwandte Antwort).

Setzt sich die maximale Kardinalität einer Obergrenze ein$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}^r$A$O((3- \delta)^{r })$für einige$\delta > 0$?

Siehe einen Blogbeitrag von Terry Tao von vor ein paar Jahren, in dem er eine Meinung zu der Angelegenheit äußert, aber auch den Widerspruch eines guten Freundes von ihm anerkennt.

Es gibt ein "natürliches" Axiom, das zu ZFC hinzugefügt wird, entscheidet CH? Interessante Diskussion in Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded .

Die Higman-Vermutung betrifft die Anzahl der Konjugationsklassen von$UT_n(\mathbb{F}_q)$, die Gruppe unipotenter oberer Dreiecksmatrizen mit Einträgen in einem endlichen Körper mit$q$Elemente. Die Vermutung ist die für ein festes$n$die Anzahl der Konjugationsklassen von$UT_n(\mathbb{F}_q)$ist durch ein Polynom in gegeben$q$. Dies hat sich bis jetzt bewährt$n=13$, aber darüber hinaus ist es unbekannt. Die Schwierigkeit könnte damit zusammenhängen$UT_n(\mathbb{F}_q)$hat einen wilden Darstellungstyp. Ich kenne eine Reihe gescheiterter Beweisversuche, und es scheint, dass die meisten Leute, die über diese Vermutung nachdenken, glauben, dass sie wahr ist. Gleichzeitig gibt es eine Sammlung von Untergruppen von$UT_n(\mathbb{F}_q)$, bekannt als "Mustergruppen", für die eine analoge Vermutung als falsch bekannt ist.

Kaplanskys Nullteiler-Vermutung

Lassen$K$ein Feld sein und$G$eine torsionsfreie Gruppe, dann ist der Gruppenring$KG$eine Domäne?

Alle bisherigen Untersuchungen waren positiv. Dieses Problem wurde in dem Buch " The algebraic structure of group rings" von D. Passman behandelt.

Es ist eines der schwierigsten und am wenigsten zugänglichen Probleme auf dem gesamten Gebiet der Algebra.

Das letzte, was ich weiß, ist, dass es für torsionsfrei lösbare Gruppen bewiesen wurde. Es ist noch ein langer Weg.

Eine weitere natürliche Frage danach (wenn das obige zutrifft) ist, ob wir ersetzen$K$von jeder Domäne$D$, sagen$\Bbb{Z}$

Was ist die Antwort auf das Problem, für das Grahams Zahl eine obere Schranke ist?

Wikipedia zur Definition zitieren :

Verbinden Sie jedes Paar geometrischer Eckpunkte eines n-dimensionalen Hyperwürfels, um einen vollständigen Graphen mit 2n Eckpunkten zu erhalten. Färben Sie jede der Kanten dieses Diagramms entweder rot oder blau. Was ist der kleinste Wert von n, für den jede solche Färbung mindestens einen einfarbigen vollständigen Teilgraphen auf vier koplanaren Ecken enthält?

Hier sind einige Details darüber, warum es völlig unbekannt ist:

• Graham und Rotschild haben das bewiesen$6 \leq N \leq f(f(f(f(f(f(f(12)))))))$, Wo$f(x)=2 \uparrow^x 3$Und$\uparrow$bezeichnet eine Aufwärtspfeilnotation.

• Derzeit ist die bekannteste Bindung:$13 \leq N < 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6$.

• Mathematiker dachten, dass die Antwort lautete$6$, bis zur Untergrenze von$11$wurde bewiesen. Jetzt haben viele keine Ahnung, wo sie zu erwarten sind$N$.

Wir haben wirklich, wirklich keine Ahnung, ob die Jacobi-Vermutung wahr ist.