Yitang Zhang machte eine bahnbrechende Entdeckung, als er bewies, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die sich um weniger als unterscheiden .
Der Satz von Zhang wurde erheblich verbessert und ist laut der Homepage des Polymath8-Projekts ( http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes ) die bisher beste unbedingte Schranke .
Angenommen, die Schranke wird weit genug abgesenkt, um die Primzahlzwillingsvermutung zu beweisen. Wenn das passiert, dann ist eines der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik gelöst. Aber was wird aus Polignacs Vermutung?
Die Vermutung von Polignac besagt, dass für jede positive ganze Zahl es gibt unendlich viele Primzahlenpaare, deren Unterschied ist . Da also die Primzahlzwillingsvermutung nur ein besonderer Fall von Polignacs Vermutung ist, bedeutet der Beweis der ersteren nicht, dass die letztere wahr ist.
Ich weiß, dass wahrscheinlich jetzt viele Mathematiker versuchen, die Schranke weit genug abzusenken, um die Primzahlzwillingsvermutung zu beweisen. Aber gibt es Fortschritte bei der Lösung von Polignacs Vermutung? Können Zhangs Entdeckung und seine Techniken in irgendeiner Weise genutzt werden, um Fortschritte bei der Lösung von Polignacs Vermutung zu erzielen, oder sollte eine weitere bahnbrechende Entdeckung gemacht werden? Ist die Vermutung von Polignac nun dem Beweis näher oder ist sie immer noch "außer Reichweite"?
Zhang bewies, dass jeder zulässige Satz von (oder mehr) Zahlen enthält einige so dass Und sind beide unendlich oft prim. Es gibt eine zulässige Menge dieser Größe mit Werten zwischen 0 und 70.000.000, also die Aussage, dass es unendlich viele Primzahllücken gibt, höchstens 70 Millionen.
Bester Wert bewiesen für bisher ist 50, was über das zulässige Tupel (0, 4, 6, 16, 30, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 64, 70, 78, 84, 88, 90) zur Lücke von 246 führt , 94, 100, 106, 108, 114, 118, 126, 130, 136, 144, 148, 150, 156, 160, 168, 174, 178, 184, 190, 196, 198, 204, 210, 214, 216 , 220, 226, 228, 234, 238, 240, 244, 246).
Aber wenn Sie wollten, könnten Sie ein anderes Tupel wählen, das zum Beispiel zeigt, dass es unendlich viele Primzahllücken in einem anderen Bereich gibt. Zum Beispiel das zulässige 50-Tupel (0, 4, 10, 16, 22, 30, 34, 42, 46, 52, 60, 64, 70, 76, 84, 90, 94, 100, 106, 112, 126 , 130, 136, 142, 150, 154, 160, 172, 184, 192, 202, 210, 214, 220, 226, 232, 240, 244, 252, 262, 270, 276, 280, 286, 294, 312 , 316, 324, 330, 336) beweist, dass es unendlich viele Primzahllücken der Länge zwischen 4 und 336 (einschließlich) gibt.*
Wenn also die aktuellen Methoden erweitert würden, um die Primzahlzwillingsvermutung zu beweisen, würde dies automatisch Polignacs Vermutung beweisen. Nun, das könnte zu viel erwartet werden – das Polymath-Projekt hat seine Methodik im Laufe seiner mehrmonatigen Tätigkeit bereits erheblich geändert. Aber es zeigt, dass Polignacs Vermutung nicht weit von der Primzahlzwillingsvermutung entfernt ist.
Eine vernünftige Frage ist also: "Kann Zhangs Methode so erweitert werden?". Im Moment scheint die Antwort "nein" zu sein: Selbst unter der Annahme der verallgemeinerten Elliott-Halberstam-Vermutung ist das Beste, was erreicht wurde, erreicht worden was bedeutet (über das 3-Tupel (0, 2, 6)), dass mindestens einer der Primzahlenzwillinge, Cousin-Primzahlen und sexy Primzahlen unendlich viele Mitglieder hat. Aber selbst mit dieser hochkarätigen Annahme können wir es nicht weiter eingrenzen.
* Ebenso kann ich zeigen, dass es zwischen 6 und 378, zwischen 8 und 502, zwischen 10 und 616, zwischen 12 und 678 und so weiter unendlich viele Primzahllücken gibt. Auf GEH ist das Beste, was Sie tun können Zu Wenn oder Zu ansonsten.
Cameron Williams
Peter