Primzahlen + Inetvel + Vermutung über Primzahlen

Eine Teilantwort:

a) Die Einerstelle ist immer 1 oder 7, weil es nicht möglich ist, auf eine Zahl der Form zu kommen$n^2+1$mit einer Einerziffer von 9 oder 3, und 5 impliziert, obwohl möglich, dass die Zahl durch 5 teilbar ist.

b) Einstecken$n=1000000$(Es funktioniert als Intervall).

c) Sie haben (eigentlich) nichts miteinander zu tun.

Wenn alle sogar$n\ge4$kann als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden, dann jede ganze Zahl$m\ge6$kann als entweder geschrieben werden$2+r$oder$3+r$Wo$r\ge4$ist gerade, daher$m$kann als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden.

Antwort auf$(a)$: Wenn die Einerstelle von$n$ist dann eine ungerade Zahl$n^2+1$ist teilbar durch$2.$Wenn die Einerstelle ist$2$oder$8$, Dann$n^2+1$ist teilbar durch$5.$Wenn die Einerstelle ist$0$, dann die letzte Ziffer von$n^2+1$Ist$1.$Wenn die Einerstelle ist$4$oder$6$, dann die letzte Ziffer von$n^2+1$Ist$7.$

a) Ergänzend zur Antwort von B Sahu:

$2=1^2+1$;$5=2^2+1$. Lassen Sie im Rest dieses Beweises$p$eine Primzahl ungleich 2 oder 5 sein.

$p$ist teilerfremd zu 10, und daher kann seine Einerziffer nicht gerade oder 5 sein, ebenso wie 1, 3, 7 oder 9.

Wenn$p=n^2+1$Dann$n^2$ist sogar so$n$ist gerade. Modulo 10 arbeiten und die geraden Möglichkeiten prüfen$n$:

• $n=0$bedeutet$p=0^2+1=1$So$p$Die Einerstelle von kann 1 sein.
• $n=2$oder 8 bedeutet$p=2^2+1=5$aber der einzige Hauptfall hier ist$p=5$, oben angemerkt.
• $n=4$oder 6 bedeutet$p=4^2+1=7$So$p$Die Einerstelle von kann 7 sein.

Die Tatsache, dass$p=7$für$2/5$von sogar$n$, Aber$p=1$für nur$1/5$von sogar$n$erklärt, warum 7 doppelt so oft als Einerstelle erscheint wie 1.

Nicht nur das, sondern$p=1\mod 10$nur wenn$n=0\mod 10$, So$100\mid n^2$, So$p=n^2+1=1\mod 100$. Also warum, wann$p$endet auf 1,$p$endet im 01. Und$n=4$oder$6\mod10$bedeutet, dass$n$ist eben, also$4\mid n^2$. Als$n^2=6\mod 10$, das bringt$n^2=16\mod 20$. Also warum, wann$p$endet auf 7,$p$Die Zehnerstelle von ist ungerade.