Äquivalenz von Grimms Vermutung zu Legendres Vermutung

Grimms Vermutung

Wenn N + 1 , N + 2 , …, N + k alle zusammengesetzte Zahlen sind, dann gibt es k verschiedene Primzahlen P ᵢ so dass P ᵢ teilt N + ich für 1 ≤ ich ≤ k .

Zum Beispiel für die Reichweite 242 Zu 250 , kann man wie folgt verschiedene Primzahlen zuweisen:

242 : 11 , 243 : 3 , 244 : 61 , 245 : 7 , 246 : 41 , 247 : 13 , 248 : 31 , 249 : 83 , 250 : 5

Nach Grimms (1969) ist bereits bewiesen, dass es von dieser Vermutung endlich viele Ausnahmen gibt. (Referenz aus dem Thema Grimms Problem von David Wells Primzahlen).

Paul Erdos und JLSelfridge haben bereits gezeigt, dass selbst wenn wir die schwache Version von Grimms Vermutung betrachten, sie Legendres Vermutung implizieren würde. (Referenz - Einige Probleme zu den Primfaktoren der aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen 2). In seiner Arbeit stellte er viele andere wichtige Äquivalenzen zur Grimms-Vermutung her, die ich im Moment weit außerhalb meines Wissens sehe. In elementarer Zusammenfassung, bitte reduziert jemand die Ebenen seiner Argumentieren und uns einige der wichtigen Implikationen von Grimms Vermutung verständlich machen.

Außerdem, wenn bereits bewiesen ist, dass es endlich viele Ausnahmen gibt, wie könnte man dann fortfahren, um einen Beweis für Grimms Vermutung zu generieren?! Und hat es bis heute nennenswerte Fortschritte gegeben? Und wenn möglich, listen Sie einige andere Vermutungen auf, die sich auf Grimms Vermutung beziehen, und hauptsächlich auf zusammengesetzte Zahlen und Primzahlen.

Vielen Dank im Voraus :) Grüße

Antworten (1)

Hier liegt eine Fehlinterpretation von Grimms exaktem Wortlaut zu „endlichen Ausnahmen“ vor. Konkret zeigt Grimm das für jeden C > N N − 1 , { C + 1 , C + 2 , ⋯ , C + N } hat unterschiedliche Primfaktoren P 1 , ⋯ , P N so dass P ich | C + ich . In gewissem Sinne hat es sich also für groß genug als wahr erwiesen C und "beliebig lange Sequenzen".

Dies lässt beispielsweise alle anderen Fälle offen { C + 1 , ⋯ , C + M } Wo M < N Und M ∉ { R : C > R R − 1 } , zB "endliche Ausnahmen".

Ist es nur eine Möglichkeit, die sie nicht abdecken konnten, und es ist anzunehmen, dass es Ausnahmen geben könnte, und wenn ja, dann endlich?!
Wenn Sie fragen, ob die Vermutung höchstens endlich viele Ausnahmen hat, bin ich mir nicht sicher. Das Obige impliziert, dass es immer noch unendlich viele Ausnahmen geben könnte , da wir noch keinen Beweis dafür haben. Schließlich gibt es unendlich viele solcher Paare ( C , M ) wie oben.
Gibt es einen einfachen Algorithmus, um die Primzahlen zu finden, oder ist es nur die Existenz? Für C groß genug, würde ich erwarten, den größtmöglichen Primfaktor auszuwählen C + J , dann der größtmögliche noch nicht genommene Primfaktor C + J − 1 .. könnte funktionieren
Eine weitere Wiederholung von Grimm ist, dass die Lücken zwischen den Primzahlen niemals die Anzahl der Primzahlen überschreiten, die kleiner als die Lücke sind.
Äquivalenz von Grimms Vermutung zu Legendres Vermutung
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