Interessantes Muster im Plot mit Primzahlen

Wie Vepir in seinem Kommentar angedeutet hat, entsprechen die Kurven aufeinanderfolgenden Primzahlen mit unterschiedlichen Primzahllücken. Die oberen entsprechen zum Beispiel Paaren von Primzahlzwillingen. Das ist

$$\frac{n+1}{p_{n+1}}-\frac{n}{p_n} = \frac{n+1}{p_{n}+2}-\frac{n}{p_n}$$

Die Kurven können mit der bekannten Näherung für die angenähert werden$n$-te Primzahl. Das wissen wir zum Beispiel$p_n \approx n\,(\log n + \log\log n -1)$.

So sieht diese Annäherung für die Kurve oben aus.

Die Kurven unten entsprechen Paaren aufeinanderfolgender mit größeren Primzahllücken, die natürlich weniger häufig vorkommen.

Beachten Sie, dass

$$f(n)={1\over p_{n+1}}-n\left({1\over p_n}-{1\over p_{n+1}}\right)={1\over p_{n+1}}-{ng_n\over p_np_{n+1}}\approx{1\over n\ln n+g_n}\left(1-{g_n\over\ln n}\right)$$

Wo$g_n=p_{n+1}-p_n$und wir haben die grobe asymptotische Näherung verwendet$p_n\approx n\ln n$. Wir betrachten also ganz grob die Familie der Kurven

$$f_k(x)={1\over x\ln x+2k}\left(1-{2k\over\ln x}\right)$$

mit$k=1,2,3,\ldots$. Diese Kurven verhalten sich qualitativ ähnlich wie das, was das OP beobachtet hat; ihre quantitative Meinungsverschiedenheit – die Kurve mit$2k=6$hat einen Spitzenwert von ca$.00002$bei$x\approx873$, anstatt$.00005$nahe$500$-- liegt an der Grobheit der Annäherung$p_n\approx n\ln n$. Verwenden Sie die in jjagmaths Antwort erwähnte bessere Annäherung.$p_n\approx n(\ln n+\ln\ln n-1)$, erhält man eine Kurve (z$2k=6$) mit einer Spitze von ca$.00004$bei$x\approx431$, was den Werten des OP näher kommt.

Als Antwort auf die letzte Stichpunktfrage des OP ergibt sich die Spärlichkeit der unteren Zeilen heuristisch aus der Tatsache, dass große Primzahllücken (dh große Werte von$2k$) brauchen eine Weile, um zu wirken, und bleiben unter den ersten relativ selten$10{,}000$Primzahlen.