Primzahlsatz und die Riemannsche Zeta-Funktion

Question

Primzahlsatz und die Riemannsche Zeta-Funktion

Mathematik
riemann-zeta
Zahlentheorie
Primzahlen

Mastrel

Lassen

ζ (S) = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N^{S}}

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ sei die Riemannsche Zeta-Funktion. Die Tatsache, dass wir dies analytisch auf alle erweitern können

C

$\mathbb{C}$ und kann einen nullfreien Bereich links von der Linie finden

R e (s) = 1

$Re(s)=1$ zeigt, dass

π (X) := | {P \leq X : P prim} | \sim \frac{X}{Protokoll (X)} .

$\pi(x) := |\{p\leq x: p \mbox{ prime }\}| \sim \frac{x}{\log(x)}.$ Darüber hinaus verbessert das Verbessern des nullfreien Bereichs den Fehlerterm

π (x)

$\pi(x)$ wobei die Riemann-Hypothese uns den bestmöglichen Fehlerterm liefert.

Allerdings gibt es für diese Tatsache etwa elementare Beweise $\pi(x)$ die nicht auf die Verwendung angewiesen ist $\zeta(s)$ . Meine Frage ist, nur mit dem Wissen, dass

π (X) = \frac{X}{Protokoll (X)} + E T

$\pi(x) = \frac{x}{\log(x)} + ET$ für irgendeinen fehlerbegriff nenne ich

E T

$ET$ , kannst du das zeigen

ζ (s)

$\zeta(s)$ kann mit einem nullfreien Bereich links von der Linie analytisch fortgesetzt werden

R e (s) = 1

$Re(s)=1$ , wovon diese Region abhängt

E T

$ET$ .

Zum Beispiel, wenn Sie davon ausgehen $ET = x^{1-\epsilon}$ für einige $\epsilon>0$ , dann kannst du das zeigen $\zeta(s)$ analytisch auf die Region fortgeführt werden kann $Re(s) > 1-\epsilon$ und das $\zeta(s)$ hat in diesem Bereich keine Nullen?

Jede Lösung oder Referenz wäre sehr willkommen.

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Primzahlsatz und die Riemannsche Zeta-Funktion

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Wir haben diese Mellin-Transformationen für $Re(s) > 1$ :
$G (S) = \int_{1}^{\infty} (X - 1) X^{- S - 1} D X = \frac{1}{S - 1} - \frac{1}{S}, F (S) = \int_{1}^{\infty} \frac{1 - X}{\ln X} X^{- S - 1} D X$ $G(s) = \int_1^\infty (x-1) x^{-s-1}dx = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}, \qquad F(s) = \int_1^\infty \frac{1-x}{\ln x} x^{-s-1}dx$

Wir sehen das
$F^{'} (S) = G (S) ⟹ F (S) = \ln (S - 1) - \ln (S) + C$ $F'(s) = G(s) \implies F(s) = \ln(s-1)- \ln(s) + C$
Verwenden Sie dann das Euler-Produkt, wieder für $Re(s) > 1$ :
$ζ (S) = \prod_{P} \frac{1}{1 - P^{- S}} ⟹ \ln ζ (S) = \sum_{P} \sum_{k \geq 1} \frac{P^{- S k}}{k} = S \int_{1}^{\infty} J (X) X^{- S - 1} D X$ $\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}} \implies \ln \zeta(s) = \sum_p \sum_{k \ge 1} \frac{p^{-sk}}{k} = s \int_1^\infty J(x) x^{-s-1}dx$ Wo $J(x) = \sum_{p^k \le x} \frac{1}{k}$ (siehe Summenformel von Abel , eine Art partielle Integration).
Schließlich ist es leicht zu sehen $J(x) = \pi(x) + \mathcal{O}(x^{1/2})$ so dass
$π (X) - \frac{X}{\ln X} = Ö (X^{σ}) ⟹ J (X) + \frac{1 - X}{\ln X} = Ö (X^{σ})$ $\pi(x)- \frac{x}{\ln x} = \mathcal{O}(x^{\sigma}) \implies J(x)+\frac{1-x}{\ln x} = \mathcal{O}(x^{\sigma})$ $⟹ \ln ζ (S) + S \ln (S - 1) - S \ln (S) + S C = S \int_{1}^{\infty} (J (X) + \frac{1 - X}{\ln X}) X^{- S - 1} D X$ $\implies \ln \zeta(s)+s\ln(s-1)-s \ln(s)+sC = s \int_1^\infty \left(J(x)+\frac{1-x}{\ln x}\right) x^{-s-1}dx$

konvergiert absolut und ist daher holomorph für $Re(s) > \sigma \implies \zeta(s)$ hat keine Null auf $Re(s) > \sigma$ .

die Umkehrung ist viel komplizierter: das zu zeigen $\zeta(s)$ hat keine Null auf $Re(s) > \sigma \implies \pi(x) - \frac{x}{\ln x} = \mathcal{O}(x^{\sigma+\epsilon})$ , dazu können Sie sich Titchmarshs Buch Seite 60 bis 66 und das letzte Kapitel (Folge der RH) ansehen.
$x/\ln x$ sollte durch ein logarithmisches Integral ersetzt werden $\operatorname{li}(x)$ . Seit $x/\ln x=\operatorname{li}(x)+\Omega_+(x/\ln^2x)$ , der beste Fehlerterm für PNT in Form von $\pi(x)\sim x/\ln x$ Ist $\mathcal O(x/\ln^2x)$

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Mastrel

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