Gibt es Prime Gaps jeder Größe?

Stimmt das für jede gerade natürliche Zahl k es gibt welche N ∈ N so dass G N = P N + 1 − P N = k ?

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das Problem angehen soll, und tatsächlich weiß ich nicht einmal genug über Primzahllücken, um auch nur eine Vermutung über die Antwort anzustellen. Ich habe das Gefühl, dass die Antwort "Ja" lautet, aber nur, weil das "schöner" wäre, als wenn einige gerade ganze Zahlen niemals in einer Folge von Prime-Lücken erscheinen.

Ich hoffe, es ist kein ungelöstes Problem!

Bearbeiten: Meine Frage unterscheidet sich von Polignacs Vermutung, da ich frage, ob es für jede Größe mindestens eine Primzahllücke anstelle von unendlich vielen Primzahllücken gibt.

Hast du eine Quelle? Ich würde gerne mehr darüber lesen, wenn es sich um ein offenes Problem handelt.
Ich denke, dass es sich um ein ungelöstes Problem handelt, das als Vermutung von Polignac bekannt ist .
@ user170039 Meine Frage unterscheidet sich von Polignacs Vermutung. Ich frage, ob es mindestens eine Primzahllücke jeder Größe gibt, nicht unendlich viele Primzahllücken jeder Größe.

Antworten (2)

Es scheint offen zu sein, ob jede gerade Zahl die Differenz zweier Primzahlen ist, ganz zu schweigen von aufeinanderfolgenden Primzahlen. Hier ist eine m.se-Frage, die das erwähnt, und eine mo-Frage hier

Für N eine positive ganze Zahl, die Zahlen

( N + 1 ) ! + 2 , ( N + 1 ) ! + 3 , . . , ( N + 1 ) ! + N + 1
Sind N aufeinanderfolgende zusammengesetzte ganze Zahlen. Hilft das ?

Nein, das hilft nicht. OP fragte nach einigen Paaren von Primzahlen, die einen bestimmten Unterschied haben. Das Finden einer langen Strecke von Nicht-Primzahlen spricht überhaupt nicht dafür.
Ich denke, es ist unfair zu sagen, dass dies "überhaupt nicht dazu spricht". Dieses Ergebnis hängt eindeutig zusammen, zum Beispiel jederzeit (n+1)!-1 und (n+1)! + (n+2) Primzahlen sind, würde dies eine Lösung für k = n+3 ergeben.
Gibt es Prime Gaps jeder Größe?
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