Wenn n−1n−1n-1 f(n)f(n)f(n)-glatt ist, ist nnn unendlich oft prim. Was ist das beste fff?

Wenn$n-1$Ist$f(n)$- glatt ,$n$unendlich oft prim ist. Was ist das Beste$f$?

Für alle Primzahlen$p$,$p-1$Ist$\frac{p}{2}$-glatt, also$f(n) = \frac{n}{2}$funktioniert.

Wenn$q$ist dann eine Fermat-Primzahl$q-1$Ist$2$-glatt. Da wir nicht beweisen können, dass es endlich viele Fermat-Primzahlen gibt, ist das möglich$f(n) = 2$funktioniert.

Kann irgendetwas dazwischen mit Sicherheit festgestellt werden?

Ich überlegte$f(n) = \sqrt{n}$. Die einfachste Art$\sqrt{n}$-glatte Zahl ist ein Quadrat, und da wir nicht wissen, ob es unendlich viele Primzahlen der Form gibt$k^2+1$wir sind in der gleichen Situation wie bei Fermat-Primzahlen. Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Fall wann angehen soll$n-1$Ist$\sqrt{n}$-glatt, aber nicht quadratisch.

Ich denke, es sollte möglich sein, dies zu beweisen$f(n)=\frac{n}{\log{n}}$(Es gibt unendlich viele Primzahlen$p$Wo$p-1$Ist$\frac{p}{\log p}$-glatt). Wie kann dies gezeigt werden? Was ist das Beste, was bekannt ist?

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