Beweis eines geringfügigen Anspruchs im Zusammenhang mit der Twin Primes-Vermutung

Frage:

Wie kann man beweisen, dass ganze Zahlen der Form$n=6jk\pm j \pm k;\ j,k\in \mathbb N^*,$sind die einzigen, die (multipliziert mit$6$) entsprechen Vielfachen von$6$ nicht zwischen Primzahlzwillingen? Woher wissen wir, dass es keine anderen ganzen Zahlen gibt, wenn sie mit multipliziert werden?$6$ihre Produkte liegen auch nicht zwischen zwei Primzahlen?

Kontext:

Vor ein paar Jahren stellte ich diese Frage in der Hoffnung, dass jemand einen Ratschlag zum Umgang mit diophantischen Gleichungen dieser Art haben könnte. Kein solches Glück.

Insbesondere hat die Frage damit zu tun, ganzzahlige Lösungen zu finden$n, j, k \in \mathbb N^*$auf die folgende Gleichung

Da jedes Paar von Primzahlzwillingen ein Vielfaches von haben muss$6$zwischen ihnen ist es einfach zu zeigen, dass ganze Zahlen$n$, dieser Form entsprechen Vielfachen von$6$die kein Primzahlzwillingspaar kennzeichnen - dh$6n+1$oder$6n-1$ist nicht prim.

Die Argumentation ist einfach, dass immer dann, wenn ein Vielfaches von$6$durch eine ganze Zahl teilbar ist, die um eins kleiner oder um eins größer als ein anderes Vielfaches von ist$6$, dann gibt es ein Vielfaches von in der Nähe$6$die an ein Vielfaches derselben Zahl um eins kleiner oder größer angrenzt. Zum Beispiel,$30$ist teilbar durch$5$, weder noch$24$noch$36$können zwischen Primzahlzwillinge fallen, da sie benachbart sind$25$Und$35$bzw. Ebenfalls,$210$ist ein Vielfaches von$6$was seither nicht zwischen Primzahlenzwillingen liegt$209=11\times 19$, und dies kann mit der Formel seit bestimmt werden$210=6\times 35$,$35=33+2$, Und$33$ist ein Vielfaches von$11=6\times 2 -1$.

Mit anderen Worten, diese Gleichung wirkt wie ein Sieb, das Vielfache von auswählt$6$die definitiv keine Primzahlzwillinge benachbart sind. Daher erlegt diese Argumentationslinie allen potenziellen Primzahlzwillingskandidaten eine notwendige Bedingung auf.

Ist diese Bedingung nicht nur notwendig, sondern ausreichend?

OEIS-Mitarbeiter Jon Perry scheint zu glauben, dass dies ausreicht, da er hier behauptet , dass „6n-1 und 6n+1 Primzahlzwillinge sind, wenn n nicht die Form 6ab +- a +- b hat“.

Der Beweis der Bedingung ist ziemlich einfach (wie ich bereits erklärt habe), aber die Umkehrung ist für mich weit weniger offensichtlich.

Wie kann man beweisen, dass „If$n$ist nicht formschön$6ab\pm a \pm b$, Dann$6n-1$Und$6n+1$sind Primzahlzwillinge"?