Gibt es irgendwelche bekannten besonderen Eigenschaften einer Zahl, die zwischen Primzahlzwillingen liegt?

Mit Ausnahme von 4 , jede Zahl zwischen Primzahlzwillingen ist durch teilbar 6 .

Das ist offensichtlich, aber gibt es noch andere Eigenschaften, die solchen Zahlen zugeschrieben werden können?

Eine Eigenschaft kann entweder jeder Zahl einzeln oder der gesamten Folge zugeschrieben werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Anzahl der Primfaktoren solcher Zahlen:

  • Gibt es eine bekannte Beschränkung für diesen Betrag pro Nummer?
  • Gibt es eine bekannte Beschränkung dieser Menge als Funktion des Sequenzindex?

Der Kontext, in dem ich diese Frage stelle:

Welche Versuche wurden unternommen, um zu beweisen, dass es unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen gibt, indem man beweist, dass es unendlich viele Zahlen gibt, die zwischen Primzahlzwillingen liegen?

FYI: Durchschnitt von Primzahlzwillingen ( OEIS: A014574 )
@mathlove: Da gibt es einige interessante Eigenschaften, und vielleicht noch interessanter ist die Tatsache, dass sie erst vor relativ kurzer Zeit bestimmt wurden. Danke.
@Elaqqad: Danke, aber die Antwort auf diese Frage zeigt, dass sie nichts weiter impliziert, als dass diese Zahlen teilbar sind 6 (was, wie ich erwähnt habe, offensichtlich ist). Trotzdem danke.
@barak manos, nur für den Fall, ich habe eine verwandte Frage zu Primzahlzwillingen gestellt, es könnte Ihnen einen anderen Standpunkt geben, es geht um Primzahlzwillinge in der Nähe von Primzahlzwillingen. math.stackexchange.com/questions/1005852/…

Antworten (1)

Zu der von Ihnen gesuchten Sequenz würde ich sagen, dass es möglicherweise interessanter ist, die Quotienten zu betrachten, wenn sie durch 6 geteilt werden. Das Ergebnis ist die OEIS-Sequenz A002822 .

Ich bin mir nicht sicher, ob dies als "besonders" gilt, aber es scheint eine Möglichkeit zu geben, A002822 bijektiv mit den Primzahlzwillingspaaren zu assoziieren. Ich habe hier tatsächlich ein paar Hinweise in anderen Fragen gefunden, damit Sie sie einfach überprüfen können. In Entspricht der Beweis der folgenden Aussage dem Beweis der Primzahlzwillingsvermutung? Sie finden einen Hinweis auf ein arXiv-Papier aus dem Jahr 2011, und in About a paper by Gold & Tucker (charakterisierende Primzahlzwillinge) finden Sie einen Link zu einem kleinen, 20 Jahre älteren Artikel, der ebenfalls dieselbe bijektive Beziehung beweist und eine ähnliche herleitet Formel (auch wenn es aufgrund ihrer schwer zu unterscheiden ist G ( N ) Funktion).

Meine bevorzugte Formulierung des Theorems lautet wie folgt:

Jedes Primzahlzwillingspaar größer als ( 3 ; 5 ) ist von der Form ( 6 z − 1 ; 6 z + 1 ) Wo z ∈ ℕ und erfüllt folgendes Ungleichungssystem:

6 X j + 5 X + 5 j + 4 ≠ z
6 X j + 7 X + 5 j + 6 ≠ z
6 X j + 7 X + 7 j + 8 ≠ z
für alle ( X , j ) ∈ ( N ∪ { 0 } ) 2 ; und umgekehrt für jede solche ganze Zahl z , das Paar ( 6 z − 1 ; 6 z + 1 ) ist ein Primzahlzwillingspaar.

Als Antwort auf Ihre Kontextfrage können Sie oben sehen, dass einige Leute versucht haben, einen Beweis mit diesem Theorem zu finden. Und auf dem arXiv werden regelmäßig ähnliche Versuche gepostet. Um ein Beispiel zu nennen, erwähne ich dieses hier: Twin Prime Sieve .

Vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort!
Sie sind auch die einzigen Zahlen, die nicht in einer der Formen beschreibbar sind: 6 k l + k + l , 6 k l − k − l , 6 k l + k − l für aome k , l wobei beide positive ganze Zahlen sind ...
Gibt es irgendwelche bekannten besonderen Eigenschaften einer Zahl, die zwischen Primzahlzwillingen liegt?
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