Wie ist die Twin Primes Constant nützlich? Welchen Wert bietet es gegenüber Bruns Konstante?

Question

Wie ist die Twin Primes Constant nützlich? Welchen Wert bietet es gegenüber Bruns Konstante?

Konstanten
Mathematik
Prime-Zwillinge
Primzahlen

Larry Freemann

\prod_{P > 2 und eine Primzahl} (1 - \frac{1}{(P - 1)^{2}}) = 0,6601618158 \dots

$\prod_{p > 2 \text{ and a prime }}\left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots$

Das scheint in diesem Fall der Fall zu sein $p$ muss keine Primzahl sein. Aber wenn das stimmt, warum heißt es dann Primzahlzwillingskonstante?

Bruns Konstante ist:

\frac{1}{3} + \sum_{P > 3 Und P, P + 2 sind Primzahlen} (\frac{1}{P} + \frac{1}{P + 2}) = 1.902160540 \dots

$\frac{1}{3} + \sum_{p>3 \text{ and } p,p+2 \text{ are primes }}\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p+2}\right) = 1.902160540\ldots$

Bruns Konstante scheint mir geradlinig zu sein. Die Summe der Kehrwerte von Primzahlzwillingen konvergiert, also gibt es in der Summe der Kehrwerte keinen Beweis für die Unendlichkeit von Primzahlzwillingen.

Mir ist nicht klar, was ich von der Primzahlzwillingskonstante halten soll. Welchen Wert gibt es? Wie hat Merten es benutzt, als er darauf kam? Warum ist es interessant?

Vektornaut

Meinen Sie: „Es scheint, dass in diesem Fall

p

$p$ muss kein Primzahlzwilling sein "?

Michael Hardy

Ein kleiner Punkt: Wie geschrieben, ist der erste Term die zweite Summe

\frac{1}{3} + \frac{1}{5}

$\dfrac 1 3 + \dfrac 1 5\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ und das zweite ist

\frac{1}{5} + \frac{1}{7}

$\dfrac 15 + \dfrac 17\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ , So

\frac{1}{5}

$\dfrac 15\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ taucht zweimal auf. Ist das Standard und soll das so sein?

${}\qquad{}$

Wojowu

Zum einen erscheint es in einer mutmaßlichen asymptotischen Schätzung der Anzahl der Primzahlzwillinge en.wikipedia.org/wiki/…

Larry Freemann

@Vectomaut, ja, meine Frage betrifft

p

$p$ . Mir ist nicht klar ob

p

$p$ muss ein Primzahlzwilling sein oder nicht. Basierend auf dem Lesen des Math World-Artikels war ich unklar.

Larry Freemann

@Michael, sehr guter Punkt. Ich werde es reparieren.

Larry Freemann

@Wojowu, vielen Dank! Das ist die Antwort, nach der ich gesucht habe, und auch die Klärung, ob sie auf allen Primzahlen basiert

p

$p$ oder nur die Primzahlzwillinge.

Antworten (3)

Wie ist die Twin Primes Constant nützlich? Welchen Wert bietet es gegenüber Bruns Konstante?

Meinen Sie: „Es scheint, dass in diesem Fall $p$ muss kein Primzahlzwilling sein "?
Ein kleiner Punkt: Wie geschrieben, ist der erste Term die zweite Summe $\dfrac 1 3 + \dfrac 1 5\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ und das zweite ist $\dfrac 15 + \dfrac 17\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ , So $\dfrac 15\vphantom{\dfrac{\displaystyle\int}{\displaystyle\int}}$ taucht zweimal auf. Ist das Standard und soll das so sein? ${}\qquad{}$
Zum einen erscheint es in einer mutmaßlichen asymptotischen Schätzung der Anzahl der Primzahlzwillinge en.wikipedia.org/wiki/…
@Vectomaut, ja, meine Frage betrifft $p$ . Mir ist nicht klar ob $p$ muss ein Primzahlzwilling sein oder nicht. Basierend auf dem Lesen des Math World-Artikels war ich unklar.
@Wojowu, vielen Dank! Das ist die Antwort, nach der ich gesucht habe, und auch die Klärung, ob sie auf allen Primzahlen basiert $p$ oder nur die Primzahlzwillinge.

Wojowu · Answer 1

Diese Konstante erscheint in der vermuteten asymptotischen Schätzung der Anzahl der Primzahlzwillinge unterhalb einer bestimmten Größe, siehe hier . Bemerkenswert ist auch, dass diese Konstante nicht einfach aus dem Nichts gegriffen wurde, sondern tatsächlich heuristisch über Cramers Zufallsmodell abgeleitet werden kann.

Dies sollte die akzeptierte Antwort sein. Die Primzahlzwillingskonstante ist für die asymptotische Dichte der Primzahlzwillinge relevant.

Zev Chonoles · Answer 2

Sie scheint die „Primzahlzwillingskonstante“ genannt zu werden, weil sie häufig in Theoremen und Vermutungen über Primzahlzwillinge auftaucht. Zum Beispiel von der entsprechenden MathWorld-Seite :

Andrej Allachwerdow · Answer 3

@LarryFreeman Ich denke, Sie werden die Bedeutung der Primzahlzwillingskonstante besser verstehen, wenn Sie sie in das Formular schreiben

C_{2} = \frac{\prod_{P ⩾ 3} (1 - \frac{2}{P})}{\prod_{P ⩾ 3} {(1 - \frac{1}{P})}^{2}} = \prod_{P ⩾ 3} \frac{P (P - 2)}{(P - 1)^{2}} .

$C _2 = \frac {{ \prod_\limits{p \geqslant 3 }} \left( 1 -\frac {2}{ p} \right)} {{ \prod_\limits{p \geqslant 3 }} \left( 1 - \frac 1 p \right)^2} = { \prod \limits_{p \geqslant 3 }} \, \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}.$

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