Ein Sieb für Primzahlenzwillinge; Bedeutet das, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt?

Ich habe ein Sieb entwickelt, um Primzahlzwillinge zu identifizieren. Meine erste Frage wird sein: Habe ich gerade etwas Bekanntes wiederentdeckt? Indem ich mein Sieb mit dem Sieb des Erastosthenes vergleiche, behaupte ich, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Meine nächste Frage ist: Kann mein Argument zu einem Beweis gestrafft werden?

Um mein Argument zu machen, muss ich zuerst eine „aufgeblähte“ Formalisierung des Siebs von Erastosthenes präsentieren, Betrachten Sie zwei unendliche Listen natürlicher Zahlen. Der erste läuft ab$2$bis unendlich, und jeder Eintrag ist ein Elementindex$k$. Die entsprechenden Einträge in der zweiten Liste sind die Elementwerte, was in diesem Fall auch der Fall ist$k$. Betrachtet man den ersten Elementindex ($2$), berechnen wir$(j+1)k$für$j \ge 1$. Für jeden berechneten Wert schauen wir in die Menge der Elementwerte, und wenn er dort vorkommt, streichen wir ihn durch. Dann gehen wir zum nächsten Index und wiederholen diesen Vorgang. Obwohl es offensichtlich ist, dass der Prozess nicht mit Index ausgeführt werden muss$4$(und viele andere nachfolgende Indizes) tun wir es trotzdem, da es keine nachteilige Wirkung hat, außer dass der investierte Aufwand aufgebläht wird. Diese zusätzliche Arbeit hat eine gewisse Relevanz für das nächste Sieb, das für Primzahlzwillinge präsentiert wird. Was in der Liste der Elementwerte ohne Durchstriche bleibt, sind Primzahlen. Wir wissen unabhängig, dass die Primzahlen unendlich sind, und daher erschöpft das Sieb des Erastosthenes sie nicht; Das heißt, es streicht nicht jeden Elementwert, wenn die Liste ins Unendliche fortschreitet.

Nun zu meinem Sieb für Primzahlzwillinge. Abgesehen von dem einzigartigen Twin Prime$(3,5)$, alle anderen Primzahlzwillinge bestehen aus Zahlen der Form$(6k \pm 1)$. Wir erstellen also wieder zwei Listen: Die erste ist der Elementindex$k$und läuft ab$1$zur Unendlichkeit. Die zweite ist eine Liste von Elementwerten, die die geordneten Paare sind$(6k-1, 6k+1)$. Beachten Sie, dass es die gleiche Anzahl von Elementen wie im Sieb des Erastosthenes gibt, aber dass nur ein Drittel aller möglichen Zahlenwerte innerhalb der tatsächlichen Elemente vertreten sind.

Die Logik meines Siebs lässt sich am besten im Kontext eines tatsächlichen Beispiels sehen, also schauen wir uns das an$k=1$das Paar geben$(5,7)$die beide Primzahlen sind. Wir wollen nachfolgende Elemente identifizieren und streichen, bei denen eines der Mitglieder durch eines von beiden teilbar ist$5$oder$7$. Das machen wir rechnerisch$(5+5\cdot 6j), (-5+5\cdot 6j), (7+7\cdot 6j),$Und$(-7+7\cdot 6j)$für$j\ge 1$. Dann streichen wir für jedes Element, das einen der berechneten Werte aufweist, das Element (NICHT nur den Wert). Im angegebenen Beispiel ($k=1$), ist es offensichtlich, dass Elemente, die die Zahlen enthalten$35, 65, 95,...,25, 55, 85,...49, 91, 133,...35, 77, 119,...$sind angeschlagen. Nur um diejenigen zu beruhigen, die keine Zahlen sehen, wie$10, 20, 30,...$Da ich betroffen bin, erinnere ich Sie daran, dass diese Zahlen nicht die Form haben$(6k \pm 1)$und werden daher in keinem der Elemente in der Liste gefunden.

Verallgemeinernd sind die berechneten Werte, um das Schlagen eines Elements zu bewirken, gerecht$\pm (6k \pm 1)+6j(6k \pm 1)$, oder$(6j \pm 1)(6k \pm 1)$. Wir müssen alle Indizes (Werte von$k$), obwohl einige (wie z$k=20$) geben keine Primzahlen an, weil andere (wie z$k=4$) gibt mindestens eine Primzahl. Dadurch wird sichergestellt, dass alle Primzahlen des Formulars$(6k\pm 1)$generiert werden, und somit werden Vielfache von ihnen identifiziert und führen zum Entfernen geeigneter Elemente. Wie bei der aufgeblähten Version des Siebs des Erastosthenes wird einige unnötige Arbeit geleistet ("Entfernen" von Vielfachen von Kompositen), aber der Prozess stellt sicher, dass keine Primzahlen übersehen werden. Ich behaupte, dass in der Liste der nicht gestrichenen Elemente ein vollständiger Satz von Primzahlzwillingen verbleibt (zumindest bis zu dem Punkt, an dem der Prozess durchgeführt wurde), da jedes Kandidatenpaar$(6k\pm 1)$wird untersucht, und alle, die mindestens eine Zusammensetzung enthalten, werden gestrichen.

Frage 1: Ist dieses Sieb schon bekannt? Wenn ja, wären Referenzen oder Zitate willkommen.

Das Argument für unendlich viele Primzahlzwillinge lautet wie folgt: Die Liste der Elemente (geordnete Paare) in meinem Sieb enthält die gleiche Anzahl von Einträgen wie das Sieb des Erastosthenes. Für jede Primzahl werden jeweils einige Elemente aus der Liste gestrichen. Aber in meinem Fall ergibt jede Primzahl nur ein Drittel der Anzahl von Strichen, wie sie im Sieb des Erastosthenes vorkommen. Wenn eine bestimmte Anzahl von Streiks eine Liste mit einer bestimmten Anzahl von Elementen nicht erschöpfen kann, scheint es, dass ein Drittel der Zahl eine ebenso lange Liste nicht erschöpfen sollte. Außerdem ist keine der Zahlen in meinen geordneten Paaren, die zu einem Treffer des Elements führt, eine Zahl, die nicht auftritt und zu einem Treffer im Sieb des Erastosthenes führt. Letztendlich verstehe ich jedoch, dass das Problem davon abhängt, wie die Streiks verteilt werden, wie (in einem extremen Beispiel) dreißig Streiche, obwohl ein einzelnes Element eine Liste nicht erschöpfen wird, die ein Streich durch jedes von dreißig Elementen tun würde. Die andere Schwachstelle ist, dass jedes der Elemente in meinem Sieb zwei Mitglieder hat und daher doppelt so viele Möglichkeiten, einen Schlag zu verursachen. Meine Intuition sagt mir, dass dies ansprechbare Probleme sind, aber ich sehe keinen Weg zu einem Beweis.

Frage 2: Kann dieser Gedankengang zu einem Beweis gestrafft werden?