Bezogen auf die Summe aufeinanderfolgender Primzahlen

Gestern habe ich diese Frage gesehen: Eine Frage zur Teilbarkeit der Summe zweier aufeinanderfolgender Primzahlen (Sie sollten das OP lesen, um das vollständige Problem zu verstehen), es wird nur darum gebeten, dies für alle zu beweisen k ∈ Z + , gibt es unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen, so dass:

k ∣ P N + 1 + P N .
Der Typ, der das fragte, kümmerte sich um die Fälle, in denen k = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 . Der allgemeine Fall, wo k eine positive ganze Zahl ist, ist mir schleierhaft, aber ich habe versucht, den Fall zu beweisen, wo k = 12 und ich frage mich, ob der Beweis richtig ist:

Nehmen Sie an, dass die Primzahlzwillingsvermutung wahr ist, die besagt, dass es unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen wie diese gibt

P N + 1 − P N = 2

Seit jeder Primzahl ≥ 5 steht auf dem Formular 6 k ± 1 und jedes Paar von Primzahlzwillingen ist auf der Form ( 6 k − 1 , 6 k + 1 ) , Somit

P N + 1 + P N = 6 k + 1 + 6 k − 1 = 12 k
12 ∣ P N + 1 + P N

für unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen?

Beachten Sie, dass die Primzahlzwillingsvermutung auch den Fall impliziert, wo k = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , Weil 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ∣ 12

Wie Sie bereits erwähnt haben, erfordert dieser Beweis die Wahrheit der Primzahlzwillingsvermutung, aber es ist ein gültiger Beweis.
Wenn wir die Wahrheit von Polignacs Vermutung annehmen, können wir es besser machen als k = 12 ? @Peter
Ich denke, wir können dieses Ergebnis erweitern, aber ich habe noch keinen guten Ansatz. Intuitiv würde ich vermuten, dass wir unendlich viele Paare für jeden finden können k .
genau das dachte ich am Anfang, aber es stellt sich heraus, dass man es nicht besser machen kann 12 , zumindest habe ich das gefunden. @Peter
Ihr gleiches Argument funktioniert für 8 zu.

Antworten (1)

Unter der Annahme von Schinzels Hypothese für jede positive ganze Zahl k , gibt es unendlich viele positive ganze Zahlen   N   , so dass   k N − 1   Und   k N + 1   sind beide prim. Diese Primzahlen sind offensichtlich aufeinander folgend, weil sie einen Unterschied haben   2   (tatsächlich sind sie Primzahlzwillinge). Die Summe ist   2 k N   die durch teilbar ist   k   .

Natürlich ist Schinzels Hypothese viel stärker als die Primzahlzwillingsvermutung, aber zumindest ist dies ein Beweis dafür, dass wir unendlich viele Paare für jeden finden können   k   .

Es gibt eine Lücke in Ihrem Beweis, beachten Sie das k ist eine Variable, mit anderen Worten, sie ist nicht fest, also ändert sie sich in Bezug auf die Primzahlen k N ± 1 . Das OP fragte nach einem Fix k ∈ Z + gibt es unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen st k ∣ P N + 1 + P N @Peter
Sie haben die Antwort nicht sorgfältig gelesen. Für jeden k , wir können unendlich viele finden N Geben eines geeigneten Primzahlzwillingspaars , wenn Schinzels Hypothese wahr ist.
ja ... sorry, du hast recht. @Peter
Sie haben gesagt, dass Schinzels Hypothese schwächer ist als die Primzahlzwillingsvermutung, aber es sieht aus wie eine Verallgemeinerung davon? @Peter
Ups, dieses Mal hast du Recht :) Ich werde es beheben. Ich habe es sicherlich mit "schwächeren Beweisen" gemischt
Schinzels Hypothese ist viel zu stark. Dicksons Vermutung genügt.
@arbashn Danke für den Hinweis. Ich erinnerte mich nicht an diese schwächere Vermutung.
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