Fakultäts- und primoriale Primzahlzwillinge

Fragen wie diese gelten immer noch als offene Probleme, daher die heuristischen Argumente in dem von Ihnen bereitgestellten Papier. Wir haben derzeit keine Ahnung, wie wir solche Probleme angehen sollen.

Ohne das Folgende als Beweis für irgendetwas darzustellen, biete ich die folgenden Beobachtungen (zu lang, um als Kommentare aufgenommen zu werden) und eine Vermutung über Primzahlzwillinge der Form$p\# \pm1$. Es ist bekannt (siehe Ein Primzahlzwillingssatz und eine Neuformulierung der Primzahlzwillingsvermutung ), dass Primzahlzwillinge die Form haben$6N\pm 1$iff$N\ne 6ab\pm a\pm b$.

Da alle Primzahlen größer als sind$3$das Formular haben$6k\pm 1$, alle primorials größer als$6$wird die Form haben$6\cdot (6K\pm 1)$, wo das Zeichen zwischen$6K$Und$1$hängt davon ab, ob die Primzahlen bis zu$p$weisen eine ungerade oder gerade Anzahl von Primzahlen der Form auf$6k-1$. Kombiniert man dieses Ergebnis mit dem des vorherigen Absatzes, erhält man zwei Primzahlen der Form$p\# \pm 1$findet wann statt$(6K\pm 1)=\frac{p\#}{6}=N$Und$N\ne 6ab\pm a\pm b$.

Beachten Sie, dass$(6K\pm 1)$ist durch jede Primzahl bis zu (einmal) teilbar$p$außer$2$Und$3$, und keine anderen. Beachte das weiter$K$selbst ist durch keine Primzahl teilbar$\le p$mit den möglichen Ausnahmen von$2$Und$3$. (Für$5\le q\le p, q\mid 6K\pm 1$.$q\mid K \Rightarrow q\mid 5K \Rightarrow q\mid (6K\pm 1 -5K)\Rightarrow q\mid (K\pm 1)$was unmöglich ist.) Also die möglichen Primfaktoren von$K$Sind$2,3,q_j>p$. Für mehrere Primoriale ($p\ge 5$) Ich habe Werte von berechnet$K$und betrachtete die Faktoren von$K$, und sie entsprechen der vorherigen Aussage bezüglich möglicher Primfaktoren von$K$.$3\#$enthält keine Primzahlen der Form$6k\pm 1$und bleibt bei dieser Analyse außen vor.

Für die beiden Primzahlen, die Primzahlzwillinge erzeugen ($5\#$Und$11\#$),$K$ist eine vollkommene Kraft von$2$(entweder$0$oder$6$). Der Vorschlag ist (und ich verstehe, wie schwach zwei von sieben Beispielen sind), dass dies der Fall sein könnte$p\# \pm 1$sind Primzahlzwillinge iff$\frac{p\#}{6}\pm 1=6\cdot 2^m$. Weitere Verfolgung dieses Gedankengangs durch die Berechnung von mehr Grundzahlen und mehr Werten von$K$ist unhandlich und würde jedenfalls niemals einen Beweis darstellen. Kann sich irgendjemand da draußen eine mathematisch rigorose Methode vorstellen, um diese Beobachtungen zu analysieren? Es könnte hilfreich sein zu beweisen, für welche Werte von$m$ $6\cdot 2^m \pm 1 \ne 6ab\pm a\pm b$, wenn das geht.