Eine Vermutung über die Primzahlzählfunktion

Vermuten$\Delta(m,n-1)>\Delta(m,n)$, Dann

$$\pi(mn-m)-\pi(m)\pi(n-1)+1>\pi(mn)-\pi(m)\pi(n)+1\\\pi(m)\pi(n)-\pi(m)\pi(n-1)>\pi(mn)-\pi(mn-m)\geq 0\\\pi(n)>\pi(n-1)$$ So $n$muss prim sein, da $\pi(x)$steigt an $n$.

Wenn$n$ist dann prim$\pi(n)=\pi(n-1)+1$, damit wir uns verwandeln können$\Delta(m,n-1)\geq\Delta(m,n)$folgendermaßen:

$$\pi(mn-m)-\pi(m)\pi(n-1)+1\geq\pi(mn)-\pi(m)\pi(n)+1\\ \pi(m)\pi(n)-\pi(m)\pi(n-1)\geq\pi(mn)-\pi(mn-m)\\ \pi(m)\geq\pi(mn)-\pi(mn-m)$$ Dies entspricht spezifischen Fällen der zweiten Hardy-Littlewood-Vermutung . Offensichtlich erhalten wir keine vollständige Allgemeingültigkeit, aber ich bezweifle ernsthaft, dass darüber etwas bekannt ist. Auch wenn die erwähnte Vermutung als falsch angesehen wird, könnte dieser Spezialfall genauso gut wahr sein.

Schließlich, wenn$n$ist dann eine ungerade Primzahl$n+1$ist nicht, also$\pi(n+1)=\pi(n)$, also verwandeln$\Delta(m,n+1)\geq\Delta(m,n)$wir leicht bekommen

$$\pi(mn+m)\geq\pi(mn)$$ was eindeutig stimmt.

Um zusammenzufassen:

Der erste Teil deiner Vermutung ist wahr. Tatsächlich schon$\Delta(m,n-1)>\Delta(m,n)$impliziert$n$ist prim.

Primzahl von$n$impliziert$\Delta(m,n+1)\geq\Delta(m,n)$, aber ob es impliziert$\Delta(m,n-1)\geq\Delta(m,n)$ist höchstwahrscheinlich ein offenes Problem.