Widerlegen Sie die Zwillingsprimzahl-Vermutung für exotische Primzahlen

Die Standardvermutungen implizieren, dass es unendlich viele Primzahlen der Form gibt$p=n^4+2$. Da kann keine solche Primzahl Teil eines Zwillingspaares sein$p-2=n^4$Und$p+2=n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)$.

Ein einfacheres Beispiel ist$p=n^2-2$.

Ein noch einfacheres Beispiel ist$p=21n+5$, und hier brauchen wir keine Vermutungen – wir wissen, dass es unendlich viele solcher Primzahlen gibt$p$. Viele weitere Beispiele können auf die gleiche Weise konstruiert werden, z.$15n+7$,$15n+8$,$77n+9$,$39n+11$, usw., usw.

BEARBEITEN: Das Obige wurde geschrieben, bevor OP die Frage bearbeitet hat, um das Interesse nur an den fünf Arten von Primzahlen oben in der Frage anzuzeigen. Schauen wir uns diese also an. Bitte ignorieren Sie in jedem Fall winzige Gegenbeispiele zu allgemein wahren Aussagen.

Mersenne-Primzahlen$q=2^p-1$,$p$prim. Trivialerweise$q$kann nicht das kleinere Paar von Primzahlzwillingen sein, also fragen wir nach$2^p-3$Und$2^p-1$beide sind prim. Anscheinend passiert das hin und wieder, also gibt es keinen einfachen Grund, warum es nicht unendlich oft passieren sollte. Andererseits wissen wir nicht einmal, dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt, also werden wir nicht beweisen, dass es unendlich oft vorkommt. Kurz gesagt: hoffnungslos.

Sophie-Germain-Primzahlen:$p$so dass$p$Und$2p+1$sind beide prim.$p-2$ein Vielfaches von 3 ist, also fragen wir, ob es unendlich viele gibt$p$so dass$p$,$p+2$, Und$2p+1$sind alle prim. Die Standardvermutungen (z. B. Schinzels Hypothese H) sagen ja, aber niemand hat eine Ahnung, wie man das beweisen kann. Kurz gesagt: hoffnungslos.

Fermat-Primzahlen. Vielleicht gibt es einige Übereinstimmungen zu zeigen$2^{2^{2n}}+3$kann nicht Primzahl für ausreichend groß sein$n$. Es ist einen Blick wert. Andererseits gibt es vielleicht sowieso nur 5 Fermat-Primzahlen. Es gibt heuristische Argumente dafür, dass es nur endlich viele gibt.

Regelmäßige Primzahlen. Ein weiteres Set, das sich nicht als unendlich erwiesen hat, obwohl das Smart Money in diese Richtung tendiert. Ich kann mir keinen Zusammenhang zwischen der Regelmäßigkeit von vorstellen$p$und die Primzahl von$p\pm2$. Vielleicht nur Unwissenheit meinerseits, aber ich nenne es mal: hoffnungslos.

Fibonacci-Primzahlen. Die Fibonacci-Zahlen wachsen exponentiell, genau wie die Zweierpotenzen (nur nicht ganz so schnell), also ist die Situation hier vergleichbar mit der bei den Mersenne-Zahlen. Hoffnungslos.

Es gibt mit ziemlicher Sicherheit unendlich viele reguläre Primzahlen, die Teil eines Primzahlzwillingspaares sind. Die ersten paar sind

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 61, 71, 73, 107, 109, 137, 139, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 281, 313, 349, 419, 431, 521

und es gibt 1513 unten$10^5.$

Ich stimme Gerry in Bezug auf Mersenne-Primzahlen nicht zu. Während wir erwarten, dass es unendlich viele gibt, sollte es nur endlich viele geben, die Teil eines Primzahlzwillingspaars sind, da Sie es brauchen würden$2^p-3$Und$2^p-1$beide prim sein und dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit$\sim k/p^2$Und$\int dx/x^2$konvergiert.

Für Sophie-Germain-Primzahlen würde dies aus Dicksons Vermutung folgen, und daher kommt diese Frage vielleicht der tatsächlichen Lösung am nächsten. Dies hängt mit A045536 zusammen , aber leider sind dort keine Informationen vorhanden.

Es wird nicht erwartet, dass Fermat-Primzahlen unendlich viele sind, also sollte es nicht unendlich viele Zwillinge geben.

Fibonacci-Primzahlen sind ziemlich dünn verteilt, also erwarte ich wie bei den Mersenne-Primzahlen, dass es nur endlich viele Zwillinge gibt.

Im Fall von Fibonacci-Zwillingen und Mersenne-Zwillingen sollten wir stark davon ausgehen, dass diese Mengen endlich sind, obwohl es schwierig sein wird, dies zu beweisen. Hier ist die wesentliche Heuristik:

Ein Standardansatz, um zu fragen, ob eine Menge von Primzahlen unendlich oder endlich ist, besteht darin, sich so zu verhalten, als wäre es eine zufällige Menge von Zahlen, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in der Menge enthalten ist, gleich ist$1/\log n$. Dies ist im Wesentlichen die Verwendung des Primzahlsatzes, der so verstanden werden kann, dass er eine Zahl ausdrückt$n$ist eine Primzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr$1/\log n$.

Zum Beispiel glauben wir, dass es für die Mersenne-Primzahlen teilweise unendlich viele gibt, weil wir das sagen können$1/\ln(2^p-1)$ist über eine konstante Zeit$p$und so

$$\sum_{p} \frac{1}{\ln(2^p-1)} \approx \sum_{p} \frac{1}{\ln(2^p)} \approx \sum_{p} \frac{1}{p\ln(2)} \approx \infty .$$ Im Wesentlichen bedeutet dies, dass, wenn wir weit genug gehen, egal wie weit wir gehen, die „Wahrscheinlichkeit“, dass es eine weitere Mersenne-Primzahl gibt, sehr hoch sein sollte (beachten Sie, dass wir oben die Summe der Kehrwerte der Primzahlen verwenden weicht ab). Aber wenn wir versuchen, die gleiche Art von Ansatz für Ihre Zwillings-Mersenne-Primzahlen zu verwenden, bekommen wir es

$$\sum_{p} \frac{1}{\ln(2^p-1)}\frac{1}{\ln(2^p-3)} \approx \sum_{p} \frac{1}{\ln(2^p)}\frac{1}{\ln(2^p)} \approx \sum_{p} \left(\frac{1}{p\ln(2)}\right)^2 \ll \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty .$$ Wenn wir also weit genug hinausgehen, wird die Wahrscheinlichkeit, ein solches Paar zu finden, sehr gering. (Dies ist die gleiche Art von heuristischem Ansatz, der uns dazu bringt, nur endlich viele Fermat-Primzahlen zu erwarten.)

Eine ähnliche Logik funktioniert für den Fall eines Fibonnaci-Zwillingspaars, und die Ausarbeitung der Details der Heuristik kann eine nützliche Übung sein.

Beachten Sie in Bezug auf die Fibonnaci-Primzahlzwillinge, dass es eine andere möglicherweise interessante Variante dieses Problems gibt. Lassen$F_n$sei der$n$te Fibonacci-Zahl. Dann wenn$F_p$ist prime dann muss man haben$p$ist prim; dies ist ein bekanntes Ergebnis, das aus der Tatsache folgt, dass$m|n$Dann$F_m|F_n$. In einem Artikel von Sean Bibby, Pieter Vyncke und mir, der gerade besprochen wird ( arXiv-Version hier ), hatten wir Gelegenheit zu fragen, ob es unendlich viele gibt$n$so dass$F_n$Und$F_{n+2}$sind beide prim. Jedes solche Paar erfordert das$n$Und$n+2$sind ein Primzahlzwillingspaar, und eine ähnliche Heuristik würde darauf hindeuten, dass diese Menge ebenfalls endlich ist (siehe Seite 28 dieses Vorabdrucks). Dieses Problem ist wahrscheinlich auch schwer.