Ist es möglich, dass jedes PPP als Primzahl als Primfaktor von EEE ausgedrückt werden kann, sodass EEE die Summe eines Paars von Primzahlzwillingen ist?

Question

Ist es möglich, dass jedes PPP als Primzahl als Primfaktor von EEE ausgedrückt werden kann, sodass EEE die Summe eines Paars von Primzahlzwillingen ist?

Mathematik
Prime-Zwillinge
Primzahlen
Primfaktorisierung
Goldbachs-Vermutung

Isaak Brenig

Neugierig auf die Goldbach-Vermutung und beim Lesen über Primzahlzwillinge, fragte ich mich, ob es möglich ist, dass jede Primzahl als $P$ , kann als Primfaktor von mindestens eins ausgedrückt werden $E$ so dass $E$ ist die Summe eines Paares von Primzahlzwillingen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl $n$ ist Primzahl ist ungefähr $1/\log(n)$ , also, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass $n+2$ ist auch prim war unabhängig von der Wahrscheinlichkeit für $n$ , sollten wir die Annäherung haben $p_2(n) \sim \frac{n}{ \log^2(n)}$ (vereinfacht).

Bisher die erste Überprüfung $5000$ Primzahlzwillinge scheinen ermutigend, aber was große Zahlen betrifft und da Primzahlzwillinge seltener sind, frage ich mich, ob es überhaupt möglich ist?

Beispiele ( $P$ ist irgendeine Primzahl. $E$ ist die Summe eines Zwillingspaares $T_1$ Und $T_2$ ):

$P$	$E$ (ein Beispiel).	$E = T_1 +T_2$
$2$	$24 = 2 ⋅ 12$	$11+13$
$3$	$36 = 3 ⋅ 12$	$17+19$
$5$	$60 = 5 ⋅ 12$	$29+31$
$7$	$84 = 7 ⋅ 12$	$41+43$
$11$	$396 = 11 ⋅ 36$	$197+199$
$13$	$624 = 13 ⋅ 48$	$311+313$
$17$	$2040 = 17 ⋅ 120$	$1019+1021$
$19$	$1140 = 19 ⋅ 60$	$569+571$
$23$	$276 = 23 ⋅ 12$	$137+139$
$\,\vdots$	$\,\,\,\,\vdots$	$\,\,\,\,\vdots$

Mees de Vries

Zwei offensichtliche Kommentare: Heuristisch ist die Antwort ja: Es gibt (heuristisch) unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen, und zwar für ein festes

P > 2

$P > 2$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe eines solchen Paares ein Vielfaches von ist

P

$P$ Ist

1 / P

$1/P$ . Andererseits impliziert Ihre Vermutung die Primzahlzwillingsvermutung, sodass Sie keine bedingungslose positive Antwort erwarten können.

Isaak Brenig

@Mees de Vries. Danke, ja, mir war bewusst, dass es nicht um Beweise geht, aber irgendetwas hat bei mir nicht geklickt, dass Primzahlzwillinge seltener sind, aber andererseits haben wir beim Summieren mehr Möglichkeiten für mehr Primfaktoren (insbesondere für größere Zahlen ). Ich war mir nicht sicher, ob es überhaupt möglich war.

Michael Hardy

„Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass jede Primzahl als

P,

$P,$ lässt sich ausdrücken als …“

${}$ Dies könnte gelesen werden als „Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass es eine Primzahl gibt

P

$P$ das kann man so ausdrücken..."

${}$ Oder es könnte gelesen werden als „Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass irgendeine Primzahl

P

$P$ überhaupt, egal welcher, ausgedrückt werden kann als ..."

${}$ Wenn letzteres beabsichtigt war, würde es durch die Änderung von "any" in "every" eindeutig sein.

Michael Hardy

Wenn es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt, dann ist diese Aussage falsch. Und niemand hat bisher bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Roddy McPhee

Da die Summe immer ein Vielfaches von 12 ist, außer

3 + 5

$3+5$ . Wir können sagen, dass die Vermutung wahr ist, dann gibt es eine

m

$m$ so dass:

p ∣ m

$p\mid m$ Wenn

p \neq 2, 3

$p\neq 2,3$ , so dass beides

6 m - 1

$6m-1$ Und

6 m + 1

$6m+1$ sind beide prim.

Isaak Brenig

@Michael Hardy Ich habe „jeder“ anstelle von „irgendein“ gemäß Ihrem Kommentar geändert

Keith Backmann

Die folgende Tatsache stimmt mit Ihrer Vermutung überein. Für Primzahlzwillinge

6 m - 1, 6 m + 1

$6m-1,6m+1$ , und Primzahlen

p_{k} = 6 k \pm 1

$p_k=6k \pm 1$ mit

k < m

$k<m$ , Wir wissen das

m ≢ \pm k mod p_{k}

$m \not \equiv \pm k \bmod p_k$ ; Einen kurzen Beweis finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage . Das bedeutet, dass

p_{k} ∣ m \Rightarrow p_{k} ∣ 12 m = E

$p_k \mid m \Rightarrow p_k \mid 12m=E$ ist nie verboten. Das beweist aber noch nicht, dass es dazu kommen muss.

Antworten (1)

Ist es möglich, dass jedes PPP als Primzahl als Primfaktor von EEE ausgedrückt werden kann, sodass EEE die Summe eines Paars von Primzahlzwillingen ist?

Zwei offensichtliche Kommentare: Heuristisch ist die Antwort ja: Es gibt (heuristisch) unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen, und zwar für ein festes $P > 2$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe eines solchen Paares ein Vielfaches von ist $P$ Ist $1/P$ . Andererseits impliziert Ihre Vermutung die Primzahlzwillingsvermutung, sodass Sie keine bedingungslose positive Antwort erwarten können.
@Mees de Vries. Danke, ja, mir war bewusst, dass es nicht um Beweise geht, aber irgendetwas hat bei mir nicht geklickt, dass Primzahlzwillinge seltener sind, aber andererseits haben wir beim Summieren mehr Möglichkeiten für mehr Primfaktoren (insbesondere für größere Zahlen ). Ich war mir nicht sicher, ob es überhaupt möglich war.
„Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass jede Primzahl als $P,$ lässt sich ausdrücken als …“ ${}$ Dies könnte gelesen werden als „Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass es eine Primzahl gibt $P$ das kann man so ausdrücken..." ${}$ Oder es könnte gelesen werden als „Ich habe mich gefragt, ob es möglich ist, dass irgendeine Primzahl $P$ überhaupt, egal welcher, ausgedrückt werden kann als ..." ${}$ Wenn letzteres beabsichtigt war, würde es durch die Änderung von "any" in "every" eindeutig sein.
Wenn es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt, dann ist diese Aussage falsch. Und niemand hat bisher bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Da die Summe immer ein Vielfaches von 12 ist, außer $3+5$ . Wir können sagen, dass die Vermutung wahr ist, dann gibt es eine $m$ so dass: $p\mid m$ Wenn $p\neq 2,3$ , so dass beides $6m-1$ Und $6m+1$ sind beide prim.
@Michael Hardy Ich habe „jeder“ anstelle von „irgendein“ gemäß Ihrem Kommentar geändert
Die folgende Tatsache stimmt mit Ihrer Vermutung überein. Für Primzahlzwillinge $6m-1,6m+1$ , und Primzahlen $p_k=6k \pm 1$ mit $k<m$ , Wir wissen das $m \not \equiv \pm k \bmod p_k$ ; Einen kurzen Beweis finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage . Das bedeutet, dass $p_k \mid m \Rightarrow p_k \mid 12m=E$ ist nie verboten. Das beweist aber noch nicht, dass es dazu kommen muss.

Joshua Stucky · Answer 1

Um das zu ergänzen, was in den Kommentaren gesagt wurde, hier sind einige weitere Gedanken.

Fall 1: Die Primzahlzwillingsvermutung ist falsch. Dies ist wahrscheinlich nicht wahr, aber für den Fall, dass es irgendwie nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt, dann ist die Aussage, wie Michael Hardy in ihrem Kommentar sagte, falsch. Um streng zu sein, lassen Sie $A = \left\{p+1: p\ \text{and}\ p+2\ \text{are prime} \right\}$ . Die Summe eines Paares von Primzahlzwillingen $p$ Und $p+2$ Ist $2p+2=2(p+1)$ . Wenn $B$ bezeichnet die Sammlung aller Primteiler von Elementen von $A$ , dann impliziert die Falschheit der Primzahlzwillingsvermutung dies $A$ ist endlich, und so $B$ muss auch endlich sein. Damit wäre die Behauptung falsch, da es unendlich viele Primzahlen und gibt $B$ ist eine endliche Teilmenge von Primzahlen.

Fall 2: Die Primzahlzwillingsvermutung ist wahr. Dies ist viel wahrscheinlicher der Fall. Mit den gleichen Definitionen der Mengen $A$ Und $B$ , das muss man zeigen $B$ ist die Menge der Primzahlen. Das heißt, jede Primzahl $q$ (offensichtlich außer 2) ein Teiler von mindestens einer Zahl der Form ist $p+1$ , Wo $p$ Und $p+2$ sind beides Primzahlen. Dies ist ein interessantes siebtheoretisches Problem, das so formuliert werden könnte, dass es dies für eine gegebene ungerade Primzahl zeigt $q$ , die Summe

\sum_{\begin{matrix} P \\ P, P + 2 sind prim \\ Q ∣ P + 1 \end{matrix}} 1 = \sum_{\begin{matrix} P \equiv - 1 (Mod Q) \\ P, P + 2 sind prim \end{matrix}} 1

$\sum_{\substack{p\\ p,p+2\ \text{are prime}\\ q\mid p+1}} 1 = \sum_{\substack{p \equiv -1\ (\text{mod}\ q)\\ p,p+2\ \text{are prime}}} 1$ ist ungleich Null. Die Summe auf der rechten Seite ist eine Frage zu Primzahlzwillingen in arithmetischen Progressionen. Wie Mees de Vries in ihrem Kommentar sagte, impliziert dieses Ergebnis die Primzahlzwillingsvermutung, daher gibt es derzeit sicherlich keinen Beweis für diese Behauptung (und wird es wahrscheinlich auch nicht für eine lange Zeit geben).

Es gibt jedoch gemittelte Versionen davon, die völlig bedingungslos existieren. Lassen $\Lambda(n)$ bezeichnen die von-Mangoldt-Funktion (die im Wesentlichen eine gewichtete Version der Primzahlzählfunktion ist). Für teilerfremde ganze Zahlen $a$ Und $q$ , definieren

ψ (X; Q, A, 2 k) = \sum_{\begin{matrix} M, N \leq X \\ M - N = 2 k \\ N \equiv A (Mod Q) \end{matrix}} Λ (M) Λ (N) .

$\psi(x;q,a,2k) = \sum_{\substack{m,n\leq x\\ m-n=2k\\n\equiv a\ (\text{mod}\ q)}} \Lambda(m)\Lambda(n).$ Das ist,

ψ (x; q, a, 2 k)

$\psi(x;q,a,2k)$ zählt die Anzahl der Primzahlen

p

$p$ so dass

p + 2 k

$p+2k$ ist auch prim und

p \equiv a (mod q)

$p\equiv a\ (\text{mod}\ q)$ . Für Ihre Frage nehmen wir

q

$q$ eine Primzahl,

a = q - 1

$a=q-1$ , Und

k = 1

$k=1$ . Wenn wir mit bezeichnen

H (x; q, a, 2 k)

$H(x;q,a,2k)$ den erwarteten Hauptterm dieser Summe, dann gibt es mehrere Ergebnisse, die beweisen, dass der Fehlerterm

| ψ (X; Q, A, 2 k) - H (X; Q, A, 2 k) |

$\left|\psi(x;q,a,2k) - H(x;q,a,2k) \right|$ ist im Durchschnitt klein über

k

$k$ . Für Ergebnisse dieser Art sowie genaue Definitionen des heuristischen Hauptbegriffs

H

$H$ und den Ausdruck "im Durchschnitt klein", siehe dieses Papier von Mikawa und die in der Einleitung erwähnten Referenzen.

Um zu sehen, dass Ihre Aussage die Primzahlzwillingsvermutung impliziert, nehmen Sie außerdem an, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt, und lassen Sie $L$ sei der Größte von ihnen. Wählen Sie eine Primzahl $q > L$ . Dann gibt es nach Ihrer Behauptung Primzahlzwillinge $p$ Und $p+2$ so dass $q$ teilt ihre Summe. Aber klar $p > q > L$ , im Widerspruch zu der Tatsache, dass $L$ war der größte Primzahlzwilling. Es gibt also unendlich viele Primzahlzwillinge.

Eine alternative Version des letzten Absatzes besteht darin, das Gegenteil der „Fall 1“-Analyse zu nehmen, die mit der Feststellung endet, dass, wenn TP falsch ist, C falsch ist (wobei C die Behauptung des OP ist, ist falsch. Durch das Gegenteil, wenn C wahr ist, dann muss TP wahr sein.

Ist es möglich, dass jedes PPP als Primzahl als Primfaktor von EEE ausgedrückt werden kann, sodass EEE die Summe eines Paars von Primzahlzwillingen ist?

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