Eine Beobachtung zu nicht-trivialen Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion.

Ich habe diese Eigenschaft im Monat Juli dieses Jahres beobachtet, bin aber nicht in der Lage, einen mathematischen Beweis oder eine mathematische Methode zu entwerfen, um meine Beobachtung auszudrücken. Ich brauche Hilfe, um diese Eigenschaft anzugeben.

Wir wissen, dass für bestimmte Werte von 'b' in s = 1/2 + ib ζ(s) = 0 ist.

Als ich hier die meisten Werte von 'b' beobachtete

Ich habe festgestellt, dass die meisten Primzahlen mit diesen Werten von 'b' in quadratischen Formen zusammenhängen wie:

    Property:    [b] = p^2        {where 'p' is a prime number and [b] is the Box Function}

Beispiel: b = 841.0363...

    so,         [841.0363...] = 29^2

Unter 200 gibt es nur 6 Primzahlen , die dieser obigen Eigenschaft nicht folgen.

Ich suche eine Formel oder ein Programm, um all die Primzahlen herauszufinden, die der obigen Eigenschaft folgen, aber bis jetzt habe ich keine Lösung gefunden. Ich bin auch nicht gut im Programmieren, bitte helfen Sie mir bei diesem Problem.

Antworten (1)

Der N te Zeta Null hat B ( N ) ∼ 2 π N / W ( N / e ) , Wo W ist die Lambert-Funktion. Die Lambert-Funktion wächst ungefähr um den Logarithmus ihres Arguments, also sehen wir, dass die Zeta-Nullen dichter werden als N erhöht, und bei N ≈ 10 4 , sollten ihre Imaginärteile beginnen, jede ganze Zahl zu treffen. Dies ist der Fall, da das letzte Quadrat einer Primzahl fehlt 103 2 = 10609 .

Wir können auch die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass jedes Quadrat einer Primzahl keine Zeta-Null in der Nähe hat. Die Dichte der Zeta-Nullen ist W ( N / e ) / ( 2 π ) , also erwarten wir, dass jedes Quadrat einer Primzahl mit Wahrscheinlichkeit nicht in der Nähe einer Zeta-Null liegt 1 − W ( P 2 / e ) / ( 2 π ) . Wenn wir dies über alle Primzahlen summieren, bei denen dieser Wert positiv ist, erhalten wir eine erwartete Anzahl von 7.7 , was ziemlich nahe am tatsächlichen Wert von 6 liegt.

Vielen Dank für Ihre Antwort, aber sind Sie sicher, dass ihr Imaginärteil nach n = 10 ^ 4 beginnt, jede ganze Zahl zu treffen? Wenn ja, dann sagen Sie mir bitte, wo ich den Beweis sehen kann.
@AdarshKumar Meine Aussage ist wahrscheinlich etwas zu stark, aber es gibt bekanntlich welche N nachdem [ B ( N ) ] trifft jede ganze Zahl. Es ist auch bekannt, die Anzahl der Nullen mit Imaginärteil kleiner als zu zählen B , mit der hier angegebenen Formel . Nur die dominanten Terme beizubehalten und zu invertieren, gibt meine Schätzung in der Antwort wieder. Es ist möglich, dass Ganzzahlen fehlen, die deutlich größer als sind 10 4 , aber Primquadrate haben insgesamt eine sehr geringe Dichte N , was es sowieso unwahrscheinlich macht, dass es sich um Gegenbeispiele handelt.
Das bedeutet also, dass nach einem n, von dem Sie sagen, dass es sicher existieren wird und nach dem b(n) jede ganze Zahl trifft, es auch möglich ist, dass alle Primzahlen, deren Quadrat größer als n ist, auch existieren . Meine Eigenschaft ist also bis zu unendlichen Primzahlen wahr. ??
Ja, diese Eigenschaft gilt für alle hinreichend großen Primzahlen. Da dies jedoch wahr ist, weil es für alle ausreichend großen ganzen Zahlen gilt, von denen Primzahlen eine Teilmenge sind, bin ich mir nicht sicher, wie viel uns dies über Primzahlen aussagt.
ok, vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, mein Problem zu lösen.
Ich habe auf der Website dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros1 nachgesehen und festgestellt, dass es nach 10^4 nicht notwendig ist, dass [b(n)] jede Ganzzahl trifft. Stimmen Sie Ihrer Antwort jetzt noch zu??
Eine Beobachtung zu nicht-trivialen Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion.
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