Nicht-triviale Nullen außerhalb der kritischen Linie

Wenn nicht-triviale Nullen die kritische Linie verlassen (wie im Bild unten gezeigt),

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müssten sie zu viert kommen, anstatt paarweise zu konjugieren (wie das Diagramm zeigt)?

Ich gehe davon aus, dass sie es tun würden ∑ ρ Li ( X ρ ) ist bedingt konvergent und wird als Mittelwert genommen ∑ ρ | Li ( X ρ ) + Li ( X 1 − ρ ) | , und da 1 − ( σ + B ich ) und sein Paar heben imaginäre Terme nur dann auf, wenn σ = 1 2 , (Wenn S = 1 4 + B ich , Dann 1 − S = 3 4 − B ich ), müssten sie vermutlich zu viert kommen, z. S 1 = 1 4 + B ich , 1 − S 1 = 3 4 − B ich , S 2 = 3 4 + B ich , 1 − S 2 = 1 4 − B ich .

Meine zweite Frage: Kann es im kritischen Streifen Nullen mit genau demselben imaginären Wert geben?

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Ich habe gerade ein bisschen herumgespielt und es ist einfacher, sich vorzustellen, wie dies in einem Konturdiagramm von passieren könnte ξ ( σ + B ich ) :

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Ja zu deiner ersten Frage, das folgt aus der Funktionsgleichung für die Zeta-Funktion. Angesichts dessen ist Ihre zweite Frage im Wesentlichen die Riemann-Hypothese (auf die ich die Antwort nicht kenne).
Danke - schön, einen Zweifel zu bestätigen :)

Antworten (1)

Wenn S eine nichttriviale Null von ist ζ abseits der kritischen Linie dann die vier Zahlen { S , S ¯ , 1 − S , 1 − S ¯ } wären alle nichttriviale Nullen von der Leitung. Notiz 1 − S ¯ ist das Bild von S über die kritische Linie, so dass sie eng beieinander liegen, aber S ¯ ist das Bild von S über die reale Achse, die nicht in der Nähe aussehen wird S . Ihr Bild zeigt sogar ein Paar nichttrivialer Nullen oben mit einem entsprechenden Paar unten. Also ja, die nichttrivialen Nullen außerhalb der kritischen Linie kommen in Viererpaketen.

Es gibt genau dann zwei nichttriviale Nullstellen mit demselben Imaginärteil, wenn es eine nichttriviale Nullstelle außerhalb der Linie gibt. Denn wenn solche zwei Nullen existieren, können sie nicht beide denselben Realteil haben (sonst wären sie insgesamt dieselbe komplexe Zahl), also muss eine von ihnen einen Realteil haben ≠ 1 / 2 , daher muss es nicht trivial und offline sein. Umgekehrt, wenn es eine nichttriviale Null gibt ρ dann aus der linie 1 − ρ ¯ ebenfalls eine Null sein und den gleichen Imaginärteil haben.

Wir wissen nicht, ob es nichttriviale Nullstellen außerhalb der kritischen Linie gibt. Dies ist das Thema der Riemann-Hypothese, die ein Millenium-Problem ist, das buchstäblich eine Million Dollar wert ist.

Danke für deine Antwort. Ist dies also im Grunde eine Neuformulierung der Hypothese?
Nicht-triviale Nullen außerhalb der kritischen Linie
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