„Offensichtliche“ Theoreme, die eigentlich falsch sind

Satz (falsch):

Man kann die Terme in einer konvergenten Reihe beliebig neu anordnen, ohne ihren Wert zu ändern.

Eine Form mit endlichem Volumen muss eine endliche Oberfläche haben.

Vermuten$A$Und$B$spielen folgendes Spiel:$A$wählt zwei verschiedene Nummern über eine unbekannte Methode$B$, schreibt sie auf Zettel und steckt die Zettel in einen Hut.$B$zieht zufällig einen der Zettel und prüft seine Nummer. Sie sagt dann voraus, ob es die größere der beiden Zahlen ist.

Wenn$B$wirft einfach eine Münze, um ihre Vorhersage zu treffen, sie wird die Hälfte der Zeit richtig liegen.

Offensichtlich gibt es keine Methode, die besser abschneiden kann als der Münzwurf.

Aber es gibt ein solches Verfahren, beschrieben in Thomas M. Cover „ Pick the largest number “ ( Open Problems in Communication and Computation Springer-Verlag, 1987, p152), das ich hier kurz und hier ausführlich beschrieben habe .

Dies ist im Vergleich zu den meisten anderen Beispielen elementar, aber wie wäre es

Es gibt mehr rationale Zahlen als ganze Zahlen.

Ich rede immer wieder darauf herum, weil ich denke, dass es ein spektakuläres Beispiel für etwas ist, das sich als völlig offensichtlich erweisen lässt (nicht nur, weil es so scheint, sondern weil es so lange so weit verbreitet war) und doch völlig falsch ist:

Vermuten$\Phi$ist eine Eigenschaft, die für ein Objekt gelten kann oder nicht. Dann gibt es eine Sammlung$S_\Phi$aller Objekte mit Eigentum$\Phi$.

Viele ernsthafte und sogar berühmte Mathematiker gingen mit diesem intuitiv offensichtlichen, aber völlig falschen Prinzip vor, dessen Zerstörung die Mathematik in ihren Grundfesten erschütterte und den Beginn der modernen Logik und Mengenlehre markiert.

(Es gibt viele Gegenbeispiele, von denen das bekannteste ist$\Phi(x) =$„$x$ist kein Mitglied der Sammlung$x$“. Für andere siehe Ist das Russell-Paradoxon der einzig mögliche Widerspruch zum Axiomschema des Verständnisses von Frege (1893)?$\{x:P(x)\}$und Paradox des allgemeinen Verständnisses in der Mengenlehre, außer Russells Paradox .)

In einem verwandten mathOverflow-Thread wies Gowers auf die folgende offensichtliche, aber falsche Behauptung hin:

Lassen$I_1, I_2, \ldots$Teilintervalle von sein$[0,1]$deren Gesamtlänge strikt kleiner als 1 ist. Dann ist die Vereinigung der$I_i$kann nicht enthalten$\Bbb Q\cap [0,1]$.

(Beachten Sie, dass wenn$\Bbb Q$wird durch ersetzt$\Bbb R$, die Behauptung ist wahr.)

Ich finde die Tatsache, dass alle$\Bbb Q$kann von einer willkürlich kleinen Familie von Intervallen abgedeckt werden, um eine der bizarrsten kontraintuitiven in der gesamten Mathematik zu sein.

Wenn eine Funktion$f(x)$hat also eine horizontale Asymptote$\lim f'(x) = 0$

$0.\overline{9} < 1$

Wahrscheinlich das berühmteste der "offensichtlichen", aber falschen.

Die Falschheit von

Lassen$S$sei eine unendliche Familie streng positiver Zahlen. Dann$\sum S = \infty$

verblüfft die Menschen seit Tausenden von Jahren. Es ist die Grundlage für Zenos Paradoxon, aber wenn Sie denken, dass Zenos Paradoxon alt und müde ist, bedenken Sie, dass es auch die Grundlage für das Gabriel's Horn-Paradoxon (auch in diesem Thread erwähnt) ist, das die Leute immer noch verwirrt .

Jede Kette von Teilmengen von$\mathbb N$ist zählbar.

Kellers Vermutung ist offensichtlich wahr:

Lassen$\Bbb R^n$vollständig mit identischen, nicht überlappenden bedeckt sein$n$-Würfel. Es müssen zwei Würfel sein, die eine Seite teilen.

(Zum Beispiel wann$n=2$Wir bedecken die Ebene mit kleinen quadratischen Kacheln, und die Vermutung besagt, dass es zwei Kacheln geben muss, die eine Kante teilen. Das ist wahr.)

Die Vermutung ist jedoch für alle falsch$n>7$.

• Wenn$U$ist eine offene Teilmenge von$\mathbb{R}^n$das ist homöomorph zu$\mathbb{R}^n$, man könnte es für "offensichtlich" halten, dass es tatsächlich diffeomorph zu ist$\mathbb{R}^n$(vielleicht so etwas denken wie "topologisch sieht es so aus$\mathbb{R}^n$, und differenzierbar ist es lokal trivial"). Tatsächlich gilt dies (aber keineswegs offensichtlich!) für$n\neq 4$. Aber für$n=4$es ist falsch: es gibt Exoten$\mathbb{R}^4$'s (differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die homöomorph, aber nicht diffeomorph sind, bis$\mathbb{R}^4$), einschließlich "kleiner", die zu einer offenen Teilmenge von diffeomorph sind$\mathbb{R}^4$.

• Viel weniger tiefgründig, aber immer noch lustig: Es ist "offensichtlich", dass die Summe zweier konvexer offener Mengen in der Ebene deren Rand ist$C^\infty$hat auch eine$C^\infty$Grenze (vielleicht denken Sie so etwas wie "Die Grenze der Summe wird durch eine glatte Funktion der Grenzen der Summanden parametrisiert"). Aber das ist falsch: Tatsächlich ist die Grenze der Summe immer$C^{20/3}$(d. h. sechsmal differenzierbar und mit einer sechsten Ableitung, die passenderweise Hölder ist) und nicht mehr im Allgemeinen. Ein einfaches Gegenbeispiel liefern die Inschriften von$x^4/4$Und$x^6/6$. Einzelheiten siehe Kiselman, "Smoothness of Vector Sums of Plane Convex Sets", Math. Scannen. 60 (1987), 239–252.

$i^i$ist eingebildet.$\ \ \ \ \ \ $

Dieser Teil ist wahr (Jordan-Brouwer-Trennsatz):

(a) Jede Einbettung der$2$-Sphäre hinein$3$-dimensionaler euklidischer Raum trennt den Raum in zwei disjunkte Bereiche.

Aber dieser Teil, der eine natürliche Verallgemeinerung des Jordan-Schönflies-Kurvensatzes zu sein scheint, ist nicht wahr:

(b) Die Regionen sind homöomorph zum Inneren und Äußeren der Einheitskugel.

Ich mag "falsche Beweise" sehr, da Ihnen normalerweise die Einsicht, warum der Beweis falsch ist, ein gewisses Verständnis des Themas vermittelt. Eine sehr einfache Version ist diese, die ich in meinen ersten Semestern als Tutor geworfen habe:

Jede binäre Relation, die symmetrisch und transitiv ist, ist auch reflexiv und damit eine Äquivalenzrelation.

"Nachweisen":

Lassen$\sim$eine symmetrische und transitive Relation bezeichnen und sei$x$,$y$seien zwei Elemente mit$x \sim y$. Als$\sim$symmetrisch ist, gilt das$y \sim x$. Seit$x \sim y$Und$y\sim x$folgt aus der Transitivität von$\sim$Das$x \sim x$, was die Definition von Reflexivität ist.

Bearbeiten: Da ich gefragt wurde, ist hier der Grund, warum der Beweis falsch ist (bewegen Sie die Maus dorthin, um es anzuzeigen):

Betrachten Sie die leere Relation auf einer nicht leeren Menge$S$, so dass es keine gibt$x, y \in S$so dass$x \sim y$. Diese Relation ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv. Reflexivität braucht$x \sim x$für alle halten $x$. Der Beweis geht davon aus, dass es ay gibt, so dass x ~ y, was nicht unbedingt für alle gilt$x$.

Hier ist einer meiner Favoriten: Nehmen wir an, wir spielen mit einer fairen Münze.

Satz (falsch) Bei einem langen Münzwurfspiel wird jeder Spieler etwa die Hälfte der Zeit auf der Gewinnerseite stehen, und die Führung wird nicht selten von einem Spieler auf den anderen übergehen.

Das Folgende ist aus W. Fellers Klassiker Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen , Band 1:

Nach weitverbreiteter Meinung soll ein sogenanntes Gesetz der Mittelwerte den obigen Satz sicherstellen . Tatsächlich ist dieser Satz jedoch falsch und entgegen der üblichen Annahme gilt:

Mit Wahrscheinlichkeit$\frac{1}{2}$ Unabhängig von der Spieldauer kam es in der zweiten Spielhälfte zu keinem Ausgleich. Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe des Endpunkts am größten .

Tatsächlich führt dies zum Arcus-Sinus-Gesetz für letzte Besuche (siehe zB Band 1, Kap. 3, Abschnitt 4, Theorem 1).

Hinweis: Bitte beachten Sie die bemerkenswerten Aussagen aus Kapitel III: Fluktuationen beim Münzwurf und Irrfahrten :

Beispielsweise wird in verschiedenen Anwendungen angenommen, dass Beobachtungen an einem einzelnen Münzwurfspiel während eines langen Zeitintervalls die gleichen statistischen Eigenschaften ergeben wie die Beobachtung der Ergebnisse einer großen Anzahl unabhängiger Spiele zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das ist nicht so.

und später:

Dennoch liegt es auf der Hand, dass, wenn selbst das einfache Münzwurfspiel zu paradoxen Ergebnissen führt, die unserer Intuition widersprechen, diese in komplizierteren Situationen nicht als verlässlicher Leitfaden dienen kann.

[16.07.2015] Laut einem Kommentar von @HenningMakholm zeigen einige Beispiele auffällige Aspekte.

• Nehmen wir an, dass ein ganzes Jahr lang Tag und Nacht sehr viele Münzwurfspiele gleichzeitig mit einer Rate von einem pro Sekunde durchgeführt werden. Im Durchschnitt findet in einem von zehn Spielen der letzte Ausgleich vorher statt$9$Tage vergangen sind, und die Führung ändert sich während der folgenden 356 Tage nicht. In einem von zwanzig Fällen findet der letzte Ausgleich innerhalb statt$2\frac{1}{2}$Tagen, und in einem von hundert Fällen tritt es innerhalb des ersten auf$2$Stunden und$10$Protokoll.

• Nehmen wir an, dass ein Kind in einem Lernexperiment, das ein Jahr dauert, ständig hinterherhinkt, außer vielleicht in der ersten Woche. Ein anderes Kind war beständig voraus, außer vielleicht in der letzten Woche. Würden die beiden Kinder als gleich beurteilt werden? Doch lassen Sie eine Gruppe von$11$Kinder einem ähnlichen Lernexperiment ausgesetzt werden, das keine Intelligenz, sondern nur Zufall beinhaltet. Einer unter den$11$würde für alle bis auf eine Woche als Anführer auftreten, ein anderer für alle bis auf eine Woche als Nachzügler.

Die obigen Beispiele sind tatsächlich eine Folge des Arcus-Sinus-Gesetzes für letzte Besuche .

Theoreme, die intuitiv wahr, aber tatsächlich fehlerhaft sind:

• Es gibt keine stetige, nirgendwo differenzierbare reelle Funktion.

• Es gibt keine reelle Funktion, die auf einem nicht-trivialen Intervall differenzierbar und nicht monoton ist.

• Wenn eine reelle Funktion erfüllt$\forall x, y, f(x+y) =f(x) +f(y)$, es ist von der Form$x\to ax$.

• Unendliche Summen und Integrale können jederzeit ausgetauscht werden.

• Ein zusammenhängender metrischer Raum ist wegzusammenhängend.

Folgende Aussage hielt ich mal für "offensichtlich":

Wenn$f:\mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)$kontinuierlich ist so, dass$\int_{-\infty }^{\infty }f(x)\text{d}x<{\infty }$, Dann$\lim \limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$

was eigentlich falsch ist.

(Anmerkung: Es ist wahr, wenn$f$ist gleichmäßig stetig!)

Es gibt eine ganze Reihe kontraintuitiver Wahrscheinlichkeitssituationen da draußen. Einer meiner Favoriten sind nichttransitive Würfel:

Es gibt 3 Würfel, A, B und C. Die Würfel haben Zahlen von 1-9 auf ihren Seiten (Wiederholungen möglich). Wenn Würfel B (höhere Zahl) Würfel A mehr als die Hälfte der Zeit schlägt und Würfel C Würfel B mehr als die Hälfte der Zeit schlägt, dann schlägt Würfel C Würfel A mehr als die Hälfte der Zeit.

Dies ist nicht unbedingt eine wahre Aussage. Würfel können so entworfen werden, dass die Eigenschaft "x schlägt y" nicht transitiv ist. A schlägt B, das C schlägt, das A schlägt.

Die reellen Zahlen/Cantor-Menge sind abzählbar.

Es gibt mehrere falsche "offensichtliche" Beweise:

1. „Beweis“ . Betrachten Sie den Baum$\{0,\ldots,9\}^\Bbb N$, dann entspricht jede reelle Zahl einem Knoten im Baum. Da es nur abzählbar viele Ebenen gibt und jede endlich ist, folgt daraus, dass die reellen Zahlen endlich sind.

   Warum scheitert es? Dieses Set ist eigentlich kein Baum. Sie können es so anordnen, dass es wie ein Baum aussieht, aber tatsächlich würde der Baum aus Anfangssegmenten jeder Funktion bestehen, die nach Fortsetzung geordnet sind. Dieser Baum hätte dann eine letzte Ebene (nämlich eine Ebene, auf der kein Punkt dort einen Nachfolger hat), und es wäre genau die Ebene der Funktionen selbst (die vorherigen Ebenen wären echte Anfangssegmente der Funktionen).

   Wenn wir diese letzte Ebene entfernen, ist der Baum tatsächlich zählbar, aber jetzt entspricht jede reelle Zahl einem Zweig im Baum und nicht mehr einem Knoten. (Es ist der eindeutige Zweig, dessen Limit gleich der Funktion ist, die zuvor auf dieser letzten Ebene aufgetreten ist.)

2. „Beweis“ . Die rationalen Zahlen sind abzählbar, und zwischen jeweils zwei reellen Zahlen gibt es eine rationale Zahl. Daher definiert dies eine Bijektion zwischen Paaren von reellen Zahlen und den rationalen Zahlen.

   Warum scheitert es? Da es viele, viele, viele Paare gibt, die auf dieselbe rationale Zahl abgebildet werden, ist dies eigentlich keine Bijektion.

3. „Beweis“ . Die Cantor-Menge ist abgeschlossen, ihr Komplement ist offen, also ist sie eine abzählbare Vereinigung von Intervallen, also ist die Cantor-Menge abzählbar.

   Warum scheitert es? Denn nicht jeder Punkt in der Cantor-Menge ist Endpunkt eines solchen Intervalls. Zum Beispiel$\frac14$. Allerdings bilden die Endpunkte dieser Intervalle eine abzählbare dichte Teilmenge.

4. BONUS! ,$\mathcal P(\Bbb N)$ist zählbar.

   „Beweis“ . Für jede Endlichkeit$n$,$\mathcal P(n)$ist endlich, und$\mathcal P(\Bbb N)=\mathcal P(\bigcup n)=\bigcup\mathcal P(n)$, ist eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen, die abzählbar ist.

   Warum scheitert es? Da die Vereinigung nur endliche Teilmengen von enthält$\Bbb N$, aber keine seiner unendlichen Teilmengen.

Hypothese: Jede unendlich differenzierbare Funktion ist irgendwo reell-analytisch.

Dies ist falsch, wie (zum Beispiel) die Fabius-Funktion zeigt .

Ich bin überrascht, dass noch niemand diese Antwort gegeben hat, also hier ist sie:

Es gibt mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen.

Es ist offensichtlich, nicht wahr?

Das Bild eines Maß-Nullsatzes unter einer kontinuierlichen Karte hat das Maß Null!

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen beliebigen Punkt auf einer Dartscheibe treffen, ist$0$aber die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Dartscheibe treffen, ist$1$(solange du nicht so schlecht Darts werfen kannst wie ich ;D).

BEARBEITEN:

Wie @JpM betonte, habe ich das Format dieser Beiträge nicht befolgt, obwohl die Idee ( meiner Meinung nach leicht ) aus dem, was ich oben gesagt habe, verstanden werden kann.

Pseudo-Claim: Die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Punkt auf einer Dartscheibe zu treffen, ist größer als$0$da die Wahrscheinlichkeit, es überhaupt zu treffen (vorausgesetzt, Sie treffen die Dartscheibe), hoch ist$1$.

Scheint offensichtlich in dem Sinne, dass ein Haufen von$0$kann sich nicht summieren$1$also muss jeder Punkt eine gewisse Wahrscheinlichkeit haben. Eigentlich falsch wegen einiger Eigenschaften von Maßen.

Mein "Theorem":

Die Aussage Jeder liebt mein Baby, aber mein Baby liebt niemanden außer mir handelt von einem Liebespaar

Es ist so einfach und so offensichtlich, sogar meine Oma wird es verstehen. Und egal, wie sehr Sie die einfache Logikrechnung erklären, die zeigt, dass wir hier von einem einzelnen Narzissten sprechen, die halbe Klasse der Logikstudenten im ersten Semester wird weiterhin darauf bestehen, dass Ihr Beweis falsch ist, und sie wissen nicht, was falsch ist darüber, aber es kann sich nicht auf eine einzelne Person beziehen.

Betrachten Sie eine Funktion$f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$das ist$\mathcal{C}^\infty$in diesem Intervall. Auf den ersten Blick könnte man meinen, wenn$\lim(f) = 0$als$x \rightarrow \infty$, Dann$\lim(f') = 0$als$x \rightarrow \infty$. Dies ist jedoch falsch. Hier nur ein Gegenbeispiel:

Wenn wir ferner die Bedingung hinzufügen, dass$f$auch monoton sein, es lassen sich immer noch Gegenbeispiele finden (allerdings recht pathologisch).

Ein einfacher Bogen (homöomorphes Bild des geschlossenen Einheitsintervalls) in der Ebene hat$2$-dimensionales Lebesgue-Maß Null.

Jede reelle Zahl kann irgendwie berechnet werden.

Formeller:

Für jede reelle Zahl gibt es ein Programm endlicher Länge, das diese Zahl berechnet.

Da reelle Zahlen nicht zählbar sind, während berechenbare Zahlen zählbar sind, kann das einfach nicht der Fall sein.

Diese Einschränkung ergibt sich aus der Tatsache, dass wir festgefahren sind, Programme endlicher Länge zu verwenden. Programme mit unendlicher Länge können definiert werden, um (trivialerweise) jede reelle Zahl zu berechnen. Es gibt also einen Sinn, in dem alle reellen Zahlen berechnet werden können .

Nur nicht von Menschen. Beachten Sie, dass, da ein einzelnes Programm unendlicher Länge unendlich viel Speicher beanspruchen würde (und wir scheinen keine unendlichen Computer/Gehirne zu haben), die Mehrheit dieser Programme unendlicher Länge niemals bekannt, geschweige denn berechnet werden kann. Berechenbare Zahlen sind also nur solche Zahlen, die von einem Programm endlicher Länge berechenbar sind. Und die Menge der Programme endlicher Länge ist abzählbar.

Satz: Sei$f_1(x,y)$Und$f_2(x,y)$seien zwei gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichten, von denen jede ihre hat$x,y$Komponenten positiv korreliert ($Cov_1(x,y)>0$,$Cov_2(x,y)>0$). Lassen$f_3=\alpha f_1 + (1-\alpha) f_2$für einige die Mischungsdichte sein$0\le \alpha\le 1$. Dann$Cov_3(x,y)>0$.

In Worten: Das Mischen von Populationen bewahrt das Korrelationszeichen. Mit anderen Worten: Wenn der durchschnittliche männliche MSE-Benutzer heller als der Mittelwert ist und wenn die durchschnittliche weibliche MSE-Benutzerin heller als der Mittelwert ist, dann ist der durchschnittliche MSE-Benutzer heller als der Mittelwert. Offensichtlich wahr.

FALSCH. Siehe Simpsons Paradoxon .

Beanspruchen:

Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, dann sind sie linear unabhängig.

Mein Prof hat mir heute diese Frage gestellt und ich bin darauf hereingefallen.

Meiner Meinung nach sind die interessantesten (aber manchmal auch nicht intuitiven) Ergebnisse in der Mathematik diejenigen, die einen Satz aussagen, der am Ende falsch ist, weil er tatsächlich in vielen Fällen gilt, außer in sehr wenigen oder sehr seltsamen Fällen. Mit anderen Worten, die "offensichtlichsten" falschen Theoreme sind für mich diejenigen, die sehr schwierige Gegenbeispiele haben.

Einige Beispiele:

• Banach-Tarski: Es gibt eine strikte Teilmenge$A$des Euklidischen$n$-Ball$B$so dass man sich aufteilen kann$A$Und$B$in ebenso viele weitere Teilmengen, die durch Isometrien aufeinander abgebildet werden können. Dies zeigt, dass nicht alle Mengen messbar sind und dass es möglich ist, Partitionen durchzuführen, die das Maß nicht erhalten.

• Nichtendlichkeit differenzierbarer Strukturen: Für$\mathbb{R}^n$mit$n = 4$, gibt es unzählige verschiedene differenzierbare Strukturen.

• Divergenz der Fourier-Reihe: Es existiert eine integrierbare Funktion auf$[-\pi, \pi]$deren Fourierreihe überall divergiert. Dies ist äußerst ungewöhnlich, da für jede typische Funktion, die wir aufschreiben könnten, ihre Fourier-Reihe normalerweise an einem oder einer endlichen Anzahl von Punkten divergieren kann, aber wahrscheinlich überall sonst konvergieren wird.

Ein "offensichtliches", aber falsches Theorem: Es gibt mehr offene Mengen$\mathbb R^2$(oder$\mathbb R^n$) als es reelle Zahlen gibt.

Und in ähnlicher Weise haben wir diese Folgerung zur ersten Aussage: Es gibt mehr stetige Funktionen$\mathbb R\rightarrow\mathbb R$als es reelle Zahlen gibt.

(Beide Aussagen sind falsch.)

Hier sind einige der falschen Aussagen, die mir in den Sinn kamen und mich mindestens eine Augenbraue hochziehen ließen, als ich zum ersten Mal merkte, dass sie nicht wahr waren.

Jede lineare Funktion zwischen zwei Vektorräumen ist stetig.

Wahr nur, solange der Bereich endlichdimensional ist. Ist dies nicht der Fall, dann existiert eine lineare Funktion, die nicht stetig ist – an keinem Punkt!

Die Menge der reellen Zahlen kann auf keinen Fall (vollständig) so geordnet werden, dass jede nichtleere Menge darin ein kleinstes Element hat.

Falsch, wenn nach dem Wohlordnungssatz eine Auswahl angenommen wird.

$\mathbb Q$ist nicht zählbar.

Ich bin immer noch versucht, es manchmal zu glauben ...

Wenn die Ableitung einer stetigen Reell-zu-Reell-Funktion fast überall existiert und (wo immer sie existiert) fast überall verschwindet, dann muss die Funktion konstant sein.

FALSCH. Tatsächlich gibt es eine Funktion, die die Prämisse erfüllt, und sie ist strikt [ sic! ] zunehmend!

Jede kompakte Menge ist abgeschlossen.

Der Name „kompakt“ würde dies suggerieren, was aber nur in Hausdorff-Räumen gewährleistet werden kann.

Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in ihr eine konvergente Teilfolge enthält.

Während es in metrischen Räumen wahr ist, ist es nicht nur in einigen allgemeineren topologischen Räumen falsch, sondern impliziert auch keine Bedingung die andere!

Die Hauptvermutung besagt, dass es auf einer Mannigfaltigkeit im Wesentlichen nur eine PL-Struktur gibt. Genauer gesagt besagt es, dass zwei beliebige Triangulationen eine gemeinsame Unterteilung haben. Der Grund, warum dies "offensichtlich wahr" erscheint, ist, dass Sie beide Triangulationen nehmen und übereinander legen können, indem Sie die Mannigfaltigkeit in eine Reihe von Zellen unterteilen und dann die baryzentrische Unterteilung nehmen, um eine Triangulation zu erhalten. Es stellt sich heraus, dass dies falsch ist und man einige ziemlich subtile Invarianten braucht, um es zu entdecken. Das Problem mit dem Argument, das ich gegeben habe, ist, dass eine Triangulation in Bezug auf die andere sehr wild sein könnte (fraktisch wackelig), so dass ihre Vereinigung die Mannigfaltigkeit nicht in eine schöne Ansammlung von Zellen unterteilt.

Steins Paradoxon ist für mich der verwirrendste mathematische Begriff, den ich je gekannt habe (obwohl ich kein Mathematiker bin), hauptsächlich weil es kein mathematisches "Artefakt" ist, aber seine Nicht-Intuition sehr greifbare Fehlerfolgen mit sich bringt.

Satz: (falsch)

Man kann nichts Besseres tun als eine gewöhnliche Entscheidungsregel zum Schätzen des Mittelwerts einer multivariaten Gaußschen Verteilung unter dem mittleren quadratischen Fehler.

Mit anderen Worten können tatsächlich völlig unabhängige Phänomene für einen geringeren gemeinsamen Schätzfehler kombiniert werden.

Was ist damit:

$\mathbb{R}$Und$\mathbb{R}^2$sind nicht isomorph (wie abelsche Gruppen mit Addition).

Es fällt unter die Kategorie „Nehmen wir die Hamel-Basis von$\mathbb{R}$...", aber ich mag es sehr.

"Eine Folge von Zahlen, in der jede Zahl größer als die vorherige ist, wird immer irgendwann einen bestimmten Wert L überschreiten."

Ich möchte wirklich, dass Folgendes wahr ist:

Satz: Sei$S$eine Teilmenge eines Vektorraums. Wenn$S$ist paarweise linear unabhängig (d.h. jede$\{v,w \} \subseteq S$linear unabhängig ist) dann$S$ist linear unabhängig.

Und doch ist es falsch. Zum Beispiel,

Eines der ersten Male, bei dem ich dabei erwischt wurde, dass ich mich bei etwas so Offensichtlichem geirrt habe, war zu glauben:

abs(x) ist nie gleich -x

Natürlich abs(x)ist wie für definiert-xx < 0

Ich denke , dies wird in keiner der anderen Antworten behandelt (obwohl es sicherlich viele davon gibt). Das Simpson-Paradoxon ist nah, aber ich denke, das ist anders und etwas einfacher zu verstehen:

Wenn$X$positiv korreliert mit$Y$, Und$Y$positiv korreliert mit$Z$, Dann$X$positiv korreliert mit$Z$.

Mit anderen Worten, positive Korrelation ist transitiv. Ich denke, es ist ziemlich intuitiv, aber falsch.

"Offensichtlich"

Etwas, zu dem ich mich in meiner mathematischen Unreife (die leider immer noch existiert) verführen ließ:

Nehme an, dass$P_n$sind eine Familie von Anweisungen, die von indiziert werden$n\in\mathbb{N}$und wir können Bedeutung zuordnen$P_{\infty}$. Dann wenn$P_n$gilt für alle$n\in\mathbb{N}$, Dann$P_{\infty}$stimmt auch.

Der Satz von Cauchy impliziert, dass:

Wenn man ein physikalisches Modell eines konvexen Polyeders herstellt, indem man starre Platten für jede der Polyederflächen mit flexiblen Scharnieren entlang der Polyederkanten miteinander verbindet, dann bildet dieses Ensemble von Platten und Scharnieren notwendigerweise eine starre Struktur.

Es gibt jedoch Gegenbeispiele, wenn Sie ein allgemeines Polyeder (nicht konvex) zulassen.

EDIT: Das Gegenbeispiel, das ich im Sinn hatte, ist falsch; Ich habe eine andere Frage gestellt , um zu versuchen, die Angelegenheit auf die eine oder andere Weise zu klären. Unabhängig davon denke ich, dass es sicher ist zu sagen, dass dies nicht mehr offensichtlich ist! Aber ich werde meine Antwort entsprechend aktualisieren (oder löschen), sobald ich etwas mehr Klarheit habe.

Hier ist ein topologisches Beispiel, dessen Verfälschung einige Überlegung erfordert: Grob gesagt „gibt es für jede sich nicht schneidende Kurve zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken eines Quadrats eine Kurve zwischen den beiden anderen Ecken, die es nur einmal schneidet“. Formal:

Lassen$f: [0, 1]\mapsto [0,1]^2$sei eine sich nicht selbst schneidende Kurve mit$f(0) = (0,0)$,$f(1) = (1,1)$, Und$f(t)\in (0,1)^2$für$t\in(0,1)$. Dann gibt es eine sich nicht selbst schneidende Kurve$g: [0, 1]\mapsto [0,1]^2$mit$g(0) = (1,0)$,$g(1) = (0,1)$, Und$g(t)\in (0,1)^2$für$t\in(0,1)$so dass es einzigartige gibt$t_0$Und$t_1$mit$f(t_0) = g(t_1)$.

Dies scheint (zumindest für mich) auf den ersten Blick offensichtlich, und sogar auf den zweiten Blick legt das Beispiel des Jordan-Kurven-Theorems nahe, dass es wahr sein sollte; Schließlich erhalten wir durch die JCT eine „linke Seite“ und eine „rechte Seite“ unserer Kurve, und bedeutet das Theorem von Schoenflies nicht, dass wir in der Lage sein sollten, eine inverse Abbildung unserer Kurve auf den Kreis zu finden? Aber es ist falsch; es gibt kurven$f()$die von keiner Kurve nur einmal geschnitten werden kann$g()$. Ein Gegenbeispiel zu finden, ist eine schöne Übung ...

Das Folgende ist offensichtlich falsch, aber es ist tatsächlich wahr, wie im Wikipedia-Artikel über Vitali-Sets gezeigt wird .

Es existiert eine zählbare Sammlung$\left\{V_n\right\}$von Teilmengen des Einheitskreises, so dass:

1. Irgendwelche zwei unterschiedlich$V_n$sind disjunkt.
2. Beliebig$V_n$kann durch eine Drehung von jedem anderen erhalten werden.
3. Die Vereinigung aller$V_n$ist der ganze Kreis.

All die$V_n$muss nach Eigenschaft zwei die gleiche "Größe" haben (für jede vernünftige Definition von "Größe"), aber wenn die obige Tatsache wahr wäre, wäre die Summe ihrer (gleichen) Größen die Größe des Kreises (positiv, aber endlich). Aber wenn die Größe Null war, sollte die Summe Null sein, und wenn die Größe positiv war, sollte die Summe unendlich sein.

Eine Folge davon ist, dass Folgendes falsch ist (obwohl wir es alle gerne wahr hätten):

Es existiert eine Funktion$\mu$dass, gegeben eine begrenzte Teilmenge von$\mathbb{R}$, sagt Ihnen seine "Größe". Genau:

1. Wenn$A\subset\mathbb{R}$ist dann begrenzt$\mu\left(A\right) \in \left[0,\infty\right[$.
2. Wenn$\left\{A_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ist eine Folge von beschränkten disjunkten Teilmengen von$\mathbb{R}$(das ist,$A_n \cap A_m=\emptyset$wann immer$n\neq m$) mit beschränkter Vereinigung (das heißt,$\bigcup A_n$ist beschränkt), dann$\sum\mu\left(A_n\right)=\mu\left(\bigcup A_n\right)$.
3. Wenn$A$ist begrenzt,$x$eine reelle Zahl ist, und wir definieren$A+x=\left\{a+x:a\in A\right\}$, Dann$\mu\left(A+x\right) = \mu\left(A\right)$.
4. $\mu\left(\left[0,1\right]\right) = 1$

Tatsächlich wird die erste Tatsache umgeschrieben, indem der Kreis durch das halboffene Intervall ausgetauscht wird$\left[0,1\right[$und Austausch von Rotationen gegen zyklische Verschiebungen "mod$1$“, das merken wir, wenn$\mu$dann die ersten drei Bedingungen oben erfüllt$\mu\left(A\right)=0$für alle$A$.

Das Geburtstagsparadoxon

Wenn 30 Personen zufällig ausgewählt werden und sie unabhängig voneinander (identisch) gleichmäßig über das Kalenderjahr verteilt Geburtstage haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei (oder mehr) von ihnen denselben Geburtstag haben, ungefähr gleich$\frac{1}{12}$.

Vor 1955 „wusste“ das jeder, die n-te Dezimalstelle von zu kennen$\pi$(und für alle anderen irrationalen) war es notwendig, die vorherigen Ziffern zu kennen. Ein Genie wie Archimedes (" In Archimedes Kopf steckte mehr Vorstellungskraft als in Homers Kopf ": Voltaire) "wusste" dies sehr gut, wie die Geschichte zeigt. Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel (BBP-Formel) endete jedoch mit diesem seit Jahrhunderten heiligen „Wissen“, und jetzt ist es möglich, zum Beispiel die 33-te Ziffer zu kennen, ohne die Präzedenzfälle zu kennen.

Was die intuitive Wahrnehmung betrifft, so ist es falsch, dass eine stetige numerische Funktion zumindest in einem Punkt ableitbar sein muss; es ist auch falsch, dass ein kleines Quadrat keine Kurve von unendlicher Länge enthalten kann.

Hier sind einige "offensichtliche" Aussagen, auf die Richards Paradoxon zutreffen kann:

1. Für ein gegebenes Prädikat$P$, es existiert eine Menge$S$von$x$wofür$P(x)$ist wahr. (Russells Paradoxon)
2. Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen haben dieselbe unendliche Größe. (Cantors diagonales Argument.)
3. Es gibt eine Formalisierung der Arithmetik, in der alle wahren Aussagen genau die sind, die beweisbar sind. (Satz von Gödel)
4. Es gibt ein Computerprogramm (Turing-Maschine), das effektiv feststellen kann, ob ein anderes Computerprogramm nicht anhält. (Halteproblem)

Es gibt viele Beispiele in der (extremen) Graphentheorie, wo ein offensichtliches Argument zeigt, dass eine Aussage wahr ist, außer dass es eine Reihe kleiner Gegenbeispiele gibt, die leicht zu übersehen sind.

Betrachten Sie die folgende Aussage: Let$G$sei ein Graph mit$n$Ecken und die größte Anzahl von Kanten unter der Bedingung, dass$G$enthält kein Paar disjunkter Kanten (d. h$K_2 + K_2$). Dann$G$ist ein Stern (z$K_{1,n-1}$).

Das ist offensichtlich wahr, wenn man einen Moment darüber nachdenkt. Aber für$n=3$, ist eine bessere Lösung zu nehmen$G = C_3$. Und für$n=4$, nehmen$C_3$plus ein isolierter Scheitelpunkt ist genauso gut wie das Nehmen$K_{1,3}$.

Eine lineare Ordnung kann eindeutig (bis auf Isomorphie ) aus der Menge der Ordnungstypen ihrer eigentlichen Anfangssegmente rekonstruiert werden .

Update: Selbst wenn wir die Kardinalität der linearen Ordnung kennen und wissen, dass sie kein maximales Element hat, gilt dieser "Satz" immer noch nicht.

Alle Unendlichkeiten sind gleich groß.

Aber der Satz von Cantor zeigt etwas anderes.

Eine Untergruppe einer endlich erzeugten Gruppe darf nicht endlich erzeugt werden und es gibt bis auf Isomorphie höchstens zwei$pq$Gruppen, wo$p$Und$q$sind prim.

Um Ihr Beispiel zu stärken,$\sum_{p \ prime} 1/p$weicht ab.

Die Kontinuumshypothese scheint auch in ZFC eine Antwort zu haben, was nicht der Fall ist.

Auf einer anderen Seite dachten Mathematiker, dass zyklotomische Felder "offensichtlich den einzigartigen Faktorisierungssatz erfüllen", was zu einigen falschen Beweisversuchen für Fermats letzten Satz führte.

Als nächstes könnte man denken, dass die "Winkeldreiteilung" möglich ist oder dass jede Menge analytischer Funktionen$\{f_\alpha\}$, so dass für jeden$z \in \mathbb C$, der Satz$\{f_\alpha(z)\}$zählbar ist, muss selbst zählbar sein.

Dies sind nur einige zufällige Beispiele, die mir in den Sinn gekommen sind, und da der Begriff „offensichtlich“ subjektiv ist, können Sie den Punkten auf meiner Liste sehr wohl widersprechen. Ich denke, es hängt stark von Ihrem mathematischen Hintergrund ab.

Wenn Sie anfangen, über die Steifigkeit dünner Schalen nachzudenken$\mathbb{R}^3$, stoßen Sie schnell auf eine Reihe kontraintuitiver Ergebnisse.

Zum Beispiel ist es offensichtlich, dass eine Kugelschale ($C^2$) starr, und das stimmt tatsächlich. Eine glatte, geschlossene, kompakte Fläche mit überall positiver Gaußscher Krümmung ist ebenfalls starr. Man könnte sich vorstellen, diese Ergebnisse zu verallgemeinern

• Jede geschlossene Oberfläche;
• Jede geschlossene Fläche mit positiver Gaußscher Krümmung überall, aber an endlich vielen Punkten;
• Jede Fläche mit Rand mit überall positiver Gaußscher Krümmung;

und all dies ist falsch.

Darüber hinaus ist es, nachdem man über Reflexionen nachgedacht oder einen Tischtennisball angestupst und angestoßen hat, intuitiv offensichtlich, dass eine kugelförmige Hülle dies nicht ist$C^0$starr. Aber Sie können keinen wirklichen Unterschied zwischen a$C^1$und ein$C^2$Verformung der Kugel, so sicher ist die Kugel$C^1$starr? Weit gefehlt – angesichts einer beliebigen geschlossenen Fläche, die topologisch eine Kugel ist, und einer Entfernung$\epsilon$, es ist möglich zu$C^1$- Eine Kugel isometrisch einbetten$\epsilon$-nah an der Zielfläche!

Das Folgende ist ein sehr bekanntes Beispiel, wenn auch wahrscheinlich etwas außerhalb der Welt der Mathematik, eher der Physik. Sehr viele Menschen würden „intuitiv“ Folgendes für wahr halten:

The heavier the object, the faster it falls down.

Tatsächlich besagt die Geschichte, dass dies allgemein bekannt sein sollte, bis Galileo Galilei es widerlegte (wie die Geschichte besagt, indem er zwei Kugeln des Turms in Pisa fallen ließ, was jedoch nie geschah).

Einer der ersten Physikkurse, die viele Leute haben (ich spreche hier von der Grundschule), zielt darauf ab, zu zeigen, dass dieses Theorem falsch ist, und tatsächlich fällt alles mit der gleichen Beschleunigung (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands), unabhängig vom Gewicht.

Es ist nicht gerade ein Theorem, aber es täuscht jeden Mathe-Neuling:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

$(1 + 1/\infty)$Ist$1$, offensichtlich. Und 1 hoch$\infty$ist offensichtlich immer noch 1.

Nein, es ist 2,718 ...

Hier ist eine Behauptung, von der ein Durchschnittsmensch behaupten würde, dass sie wahr ist, wenn sie in Laienform ausgedrückt wird.

Jede Teilmenge reeller Zahlen hat ein Maß.

Wie kann das falsch sein, wenn Sie eine Region markieren, sagen wir in zwei Dimensionen, natürlich hat sie eine Fläche?! Sofern Sie nicht irgendwann eine Vitali-Menge konstruiert haben, neigen wir dazu zu glauben, dass das Konzept von Länge/Fläche/Volumen sich auf alle möglichen Teilmengen erstrecken sollte.

Hier ist eine weitere solche falsche Behauptung.

Axiom der Bestimmtheit

Wenn wir ein Endlosspiel für zwei Spieler spielen, in dem wir eine reelle Zahl erzeugen$[0,1]$indem wir abwechselnd Dezimalziffern wählen und einer von uns versucht, die resultierende Zahl in einem vorbestimmten Auszahlungssatz zu landen, der uns beiden bekannt ist, und der andere versucht, dies zu vermeiden, wie könnte es sein, dass es ein Spiel gibt, bei dem keines von beidem vorkommt uns haben eine Gewinnstrategie? Wir haben beide vollständige Informationen über den Auszahlungssatz, welche Zahlen zu vermeiden und welche Zahlen zu treffen sind, einer von uns sollte in der Lage sein, eine Strategie zu entwickeln. Nun, leider nein.

Diese beiden Aussagen widersprechen dem Axiom der Wahl, mit dem Sie die Gegenbeispiele konstruieren können, die sich nicht "nett benehmen".

Tatsache: Der letztere Satz impliziert den ersteren. (in ZF, mit der angenommen wird, dass AD konsistent ist).

$\textbf{Counter-Intuitive Example}$

Geometriebeweise informell durch Zeichnen von Figuren an der Tafel. Sie umgehen dann die Axiome der euklidischen Geometrie, Sie tun so, als müssten Sie sie nicht aufrufen, da die gezeichneten Zahlen ausreichend erscheinen. In der Schwerkraft der Erde ist die euklidische Geometrie jedoch nur eine Annäherung.

Unendlich viele Terme haben immer eine Summe gleich unendlich.

Jemand anderes erwähnte "es gibt mehr rationale Zahlen als ganze Zahlen". In ähnlicher Weise fiel es mir schwer, das zu akzeptieren

Es gibt mehr ganze Zahlen als reelle Zahlen zwischen 0 und 1

ist falsch. Ich meine, ich verstehe es jetzt, aber es erschien mir intuitiv sehr falsch, bevor ich mich mit transfiniten Zahlen befasste.

Ein weiteres Beispiel dafür, dass „offensichtlich“ nicht wahr ist, ist das Bus Waiting Time Paradox .

Wenn die mittlere Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bussen, die an einem Busbahnhof ankommen, ist$M$, sollte man damit rechnen, dass die mittlere Wartezeit am Bahnhof bis zur Ankunft des nächsten Busses ebenfalls M ist. Aber das stimmt nicht; und abhängig von der jeweiligen Busankunftszeitverteilung müssen Sie eine Zeit warten$M'\geqslant M$

Für mich ein schönes Beispiel für alle "Beweise", die darauf hindeuten, dass es wahr ist

bis Skewes das gezeigt hat$\pi(x) - \operatorname{li}(x)$wechselt unendlich oft das Vorzeichen

Hier ist eine Sache, die allgemein für wahr gehalten wird, aber in vielen Fällen ziemlich falsch ist:

There is a notion of mathematics where we can say things are 
"actually true" or "actually false".  

Ein Beispiel für diesen Fehler: das OP. Andere Beispiele: die vielen Antworten.

Es gibt mehrere Gründe, warum dies falsch ist. Erstens haben wir in dem System, von dem die meisten Mathematiker ausgehen, wenn es nicht explizit ist, kein Standardmodell (wir haben keine Modelle innerhalb dieses Systems, weil jedes Modell das System konsistent zeigen würde, von dem wir wissen, dass wir es in diesem System nicht durch blah blah Godel blah zeigen können. Ich weiß, dass Sie keine Details wollen, sondern nur erklären, worauf ich hinaus will). Wahrheit und Falschheit sind semantisch – sie existieren in Modellen, und ohne eines erheben wir keine Behauptungen über Wahrheit oder Falschheit.

Aber auch Mathematik ist nicht "das System, das die meisten Mathematiker annehmen, wenn sie nicht explizit sind" - es ist Formalisierung im Allgemeinen. Es gibt viele Systeme, die ernsthaft von Mathematikern untersucht werden, die zahlreiche "kontraintuitive" Ableitungen machen. Zum Beispiel sind diese in verschiedenen Systemen alle offensichtlich und falsch:

• Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. (In der parakonsistenten Logik können Aussagen sowohl wahr als auch falsch sein und das System kollabiert nicht zu trivial – tatsächlich argumentieren eine Reihe von Diatheisten, dass dies ein viel genaueres logisches System für das Denken in der realen Welt ist).
• Es gibt unstetige Gesamtfunktionen. (In einer Reihe konstruktiver Systeme ist es nicht möglich, die Existenz unsteter Gesamtfunktionen zu beweisen. Einige sind sogar stark genug, um zu beweisen, dass alle Gesamtfunktionen stetig sind.)
• Jede unendliche Menge A hat die gleiche Kardinalität wie AxA. (Dies gilt nicht unbedingt für Systeme ohne Wahlaxiom. Bekanntlich versuchte Tarski, sein Ergebnis zu dieser Implikation zu veröffentlichen, und wurde sowohl von Frechet als auch von Lebesgue abgelehnt. Frechet dachte, dass das Papier offensichtlich und bekannt sei und keinen mathematischen Wert habe. Lebesgue dachte, sowohl das Axiom der Wahl als auch die Implikation daraus seien falsch, daher hatte die Arbeit keinen mathematischen Wert.)

Ich erwähne diese Beispiele nur nicht als Antworten auf das OP, sondern nur, um meine eigentliche Antwort zu veranschaulichen, dass die Frage selbst eine äußerst häufige Annahme in der Mathematik demonstriert, die tatsächlich falsch ist.

BEARBEITEN

Dies ist ein Bereich, von dem ich denke, dass er oft ein Ort häufiger Missverständnisse ist, und die Diskussion in den Kommentaren macht deutlich, dass ich näher darauf eingehen sollte. Die moderne Mathematik trennt die Bereiche, über die wir Aussagen machen, in Syntax und Semantik.

Syntax

Die Syntax ist die Theorie - die formale Sprache, Axiome, die als Sätze in der formalen Sprache spezifiziert sind, und einige metalogische Schlußregeln. In der Syntax sprechen wir von Sätzen, Aussagen, Termen, Ableitungen und Beweisen. Es ist ein Ort der Symbolmanipulation.

Semantik

Die Semantik ist das Modell – es ist die Bedeutung, die wir den Aussagen der Theorie zuschreiben. Eine Interpretation einer Theorie ist ein Modell, das jeder Formel der Theorie einen Bedeutungswert zuweist – typischerweise Wahrheit. Wahrheit ist semantisch und spezifisch für ein Modell.

Das Problem"

Ein Modell ist eine konsistente Interpretation der Wahrheitsbedeutung einer Theorie. Wenn eine Theorie ein Modell hat, hat sich fast trivialerweise gezeigt, dass sie widerspruchsfrei ist. Aber ... es ist bekannt, dass eine Theorie, die stark genug ist, um die Gödel-Diagonalisierung auszudrücken, niemals ihre eigene Konsistenz beweisen kann. Für diese Theorien werden wir nie ein Modell haben und können keine Aussage über die Bedeutung irgendeiner Formel treffen.

In diesen Theorien ist es falsch, von Wahrheit oder Falschheit zu sprechen. Wir haben kein Modell, das dem eine Bedeutung gibt. Wir werden nie ein Modell haben.

Das ist nicht wirklich ein Problem. Mathematiker hatten jahrhundertelang Herleitung und Wahrheit lose kombiniert und sie meist als eine Sache diskutiert. Ableitung und Beweis wurden als wichtiger Teil der Mathematik und Formalisierung angesehen. Das hast du noch.

Auch ist es durchaus sinnvoll, Ergebnisse abzuleiten, die sagen „ wenn diese Theorie widerspruchsfrei ist und ein Modell hat, dann …“. Die Modelltheorie tut dies seit fast einem Jahrhundert.

Was ist mit Wahrheitsprädikaten?

Aber die Leute scheinen mehr zu wollen. Sie wollen über die Wahrheit sprechen, da das eine Bedeutungsform ist, die einen besonderen Platz einnimmt. Sie unternehmen oft große Anstrengungen, um weiterhin Wahrheit und Falschheit zuzuordnen. Ein üblicher Ansatz besteht darin, Wahrheitsprädikate zu bilden – Prädikate in der Syntax, die die Eigenschaft haben, dass die Behauptung des Prädikats für eine Formel der Behauptung der Gültigkeit der Aussage entspricht (dass sie in allen Modellen wahr ist).

Beachten Sie den Schalter - ein Wahrheitsprädikat ist syntaktisch. Wir sprechen hier immer noch nicht von wahr oder falsch - der Kontext ihrer Verwendung ist immer noch, ob Aussagen mit dem Prädikat "ableitbar" oder "erhalten" sind. Theorien können mehrere Modelle haben – die meisten Theorien sind nicht nur von Dingen wie Löwenheim-Skolem kategorisch, daher können Prädikate nicht über die Wahrheit sprechen. Sie können von Validität sprechen - und darum geht es hier wirklich -, aber selbst das ist äußerst problematisch.

Unvollständige Theorien können eigentlich nichts über Gültigkeit auf die Gesamttheorie ableiten. Und tatsächlich kommt hier der Satz von Tarski über die Nichtdefinierbarkeit ins Spiel und es wird gezeigt, dass ein solches Prädikat eigentlich nicht existiert. So bleiben andere bei einer Hierarchie und Reflexionserweiterungen der Basistheorie und suchen nach einer Annäherung an einen Fixpunkt für die Gültigkeit.

Aber das hat eigentlich nichts mit der Einsicht in die Wahrheit zu tun. Es kann nicht. Es gibt nichts, was Sie tun können, um die Wahrheit zu erreichen, weil Sie nicht wissen können, ob die Theorie konsistent ist oder nicht und ob die Wahrheit existiert. Und keine Versuche, über die Ableitbarkeit hinauszugehen, geben tatsächlich ein Prädikat, das verwendet werden kann und sagen "das ist wahr". Das Prädikat ist nur nützlich, um zu sagen "das ist beweisbar".

Aber es gibt bereits Beweisbarkeitsprädikate, und diese Untersuchung ist viel profitabler. Wahrheitsprädikate sind stimmlose Orakel. Sie helfen niemandem dabei, Behauptungen über die Wahrheit aufzustellen. Sie sind einfach Neuformulierungen von „wenn wir wüssten, dass X konsistent ist, und wir einen platonischen Blick hätten, der die Wahrheitswerte in allen Modellen sehen könnte, und wir könnten die unendlichen Möglichkeiten zusammentragen und die für immer verborgenen Gültigkeiten sehen, dann würde dieses Prädikat darauf angewendet Klasse von Aussagen würde mit den gültigen Behauptungen übereinstimmen". Aber wenn wir diesen übernatürlichen Anblick hätten, könnten wir leichter einfach sagen: "Hey, das stimmt in diesem Modell - und das dort drüben ist falsch." Ohne das können wir das Prädikat verwenden, um zu sagen "Wahrheit ist in dieser Ableitung bewahrt". Was nichts hinzufügt.

Ein Wahrheitsprädikat spricht nicht über Wahrheit. Es ist für den Punkt irrelevant.

So...

Also... das Leben geht weiter. Mein einziger Punkt beim Posten dieser Antwort war, zu veranschaulichen, dass die ursprüngliche Frage eine gemeinsame offensichtliche Annahme war, die tatsächlich falsch ist. Sie sollten nicht in der allgemein verwendeten Ambient-Theorie über die Wahrheit sprechen - sprechen Sie einfach über das, was beweisbar ist, und Sie sind in Ordnung. Wenn Sie über die Wahrheit sprechen wollen, stellen Sie sicher, dass Sie die Ambient-Theorie spezifizieren, und es ist eine, in der solche Diskussionen sinnvoll sind. Oder sprechen Sie von bedingten Modellen, wie es Modelltheoretiker tun.

Es mag für manche Menschen intellektuell nicht befriedigend sein. Während ich dies schreibe, hat meine Antwort eindeutig drei negative und zwei positive Stimmen erhalten, sodass sie bei einigen anonymen Lesern einer Mathematik-Website nicht richtig ankommt. Aber an dem Punkt gibt es nichts Kontroverses. Es ist seit fast 100 Jahren bekannt und es ist immer noch ein häufiger Irrtum.

Folgende Aussage ist falsch:

The inner angles of a triangle always sum to 180 degrees.

Während es plausibel klingt, dass die Summe der Winkel eine Konstante ist, ist sie tatsächlich eine Eigenschaft des Raums. Im euklidischen Raum ergeben die Innenwinkel eines Dreiecks immer 180 Grad.

Wenn ein Aussagenkalkül A alle Sätze des Aussagenkalküls B unter Ablösung und gleichförmiger Substitution für Aussagenvariablen enthält, B aber nicht alle Sätze von A enthält, dann ist eines der kürzesten einzelnen Axiome von A länger als eines der kürzesten einzelnen Axiome von B. Oder man könnte willkürlicher sagen: "Wenn der Aussagenkalkül A größer ist als der Aussagenkalkül B, dann ist eines der kürzesten einzelnen Axiome von A länger als eines der kürzesten einzelnen Axiome von B."

Vielleicht ist das nicht ganz das, wonach Sie gesucht haben, aber es macht trotzdem Spaß! Wie wäre es mit einem Beweis, der offensichtlich falsch ist, aber (für Neulinge) ist es schwierig herauszufinden, was falsch ist.

Lassen$x = y$. Dann

Ein "offensichtlich wahrer" Satz:

Wenn Sie ein 3D-Objekt nehmen$U$und zerhacke es in endlich viele Stücke, irgendein Objekt$V$Ich ordne diese Teile so an, dass sie das gleiche Volumen wie das Objekt haben$U$Ich begann mit.

Aber tatsächlich sagt uns das Banach-Tarski-Paradoxon, dass dies nicht wahr ist – wenn wir unsere endlich vielen Teilmengen von konstruieren$U$„komisch“ genug, wir können tatsächlich einen bauen$V$mit jedem Volumen, das wir möchten.

Jede stetige Funktion ist zumindest irgendwo differenzierbar, oder?

Falsch, die Wierstraß-Funktion ist ein berühmtes Gegenbeispiel

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstraß_Funktion

Sie ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Eine analytische Funktion mit kompakter Unterstützung verschwindet identisch.

Lebesgue sagte einmal, dass die Projektionen von Borel einsetzten$\mathbb R ^2$Auf einer seiner Achsen befinden sich auch Borel-Mengen. Diese Tatsache ist eigentlich falsch, deren Erkenntnis dem kurzlebigen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin zugeschrieben wird.

Leider ist es sehr schwierig, ein Gegenbeispiel zu finden. Die einzige, die ich je gesehen habe, bringt ein Ergebnis in der deskriptiven Mengenlehre zustande$\mathbb N ^ {\mathbb N}$und nutzt die Tatsache, dass es homöomorph zu ist$\mathbb R$.

Der Traum des Neulings:

Offensichtlich falsch. Aber wahr in der Charakteristik$p$.